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1、第2章经典板理论的基本方程第1页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程均质等厚板弯曲横向位移均质等厚板弯曲横向位移w的经典运动微分方程为的经典运动微分方程为（z2.1）其中其中 D为弯曲刚度为弯曲刚度E为杨氏模量，为杨氏模量，h是板的厚度，是板的厚度，n 为泊松比，为泊松比，r 为板的质量面密度。为板的质量面密度。4 =2 2，2为拉普拉斯算子。为拉普拉斯算子。当自由振动时，运动可假设为当自由振动时，运动可假设为当自由振动时，运动可假设为当自由振动时，运动可假设为w为圆频率为圆频率W只是位置的函数。将（只是位置的函数。将（2.3）代入）代入（2
2、.1），得），得其中其中将此方程（将此方程（2.4）分解为因子方程会更方便）分解为因子方程会更方便（z2.2）（z2.5）（z2.4）（z2.6）（z2.3）Q:为什么要当自由振动时，运动可假设为什么要当自由振动时，运动可假设为为2.3？Q:k在波的传播中叫做什么概念？在波的传播中叫做什么概念？第2页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程由由线性微分方程理论线性微分方程理论，方程的全解可由下列方程的解叠加而得，方程的全解可由下列方程的解叠加而得（z2.7）对于无质量弹性支承的板（或弹性基础上的板），方程（对于无质量弹性支承的板（或弹性基础上的板
3、），方程（2.1）变为）变为为支承刚度，量纲为单位接触面积、单位挠度的力。（为支承刚度，量纲为单位接触面积、单位挠度的力。（2.8）的解仍可设为（）的解仍可设为（2.3），），但（但（2.5）中的）中的k变为变为注意，以上所有方程都是与坐标无关的。注意，以上所有方程都是与坐标无关的。（z2.8）（z2.9）Q:线性微分方程的具体哪个理论？线性微分方程的具体哪个理论？Q：2.3中不是有中不是有x,y等直角坐标系的坐标吗。那为何上述方程不是等直角坐标系的坐标吗。那为何上述方程不是以上所有方程都是与坐标无关的？以上所有方程都是与坐标无关的？第3页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板
4、理论的基本方程经典板理论的基本方程1.1 极坐标系极坐标系 极坐标系中一点极坐标系中一点P示于图示于图2.1,在极坐标中的在极坐标中的Laplacian 算子表达式为算子表达式为 用位移表示的弯矩和扭矩为用位移表示的弯矩和扭矩为横向剪力由下式给出横向剪力由下式给出（z2.11）（z2.10）（z2.12）图图2.1 边界反作用剪力表达式为边界反作用剪力表达式为（z2.13）第4页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程板的应变能为板的应变能为（z2.14）其中其中 dA=r dr/dq?。1.1.2 方程的解方程的解 将极坐标形式的振型函数将极坐
5、标形式的振型函数W(r,q)展成展成q 的的Fourier 级数级数（z2.15）（z2.16）(2.15)代入（代入（2.7），得关于），得关于Wn(r)的两个微分方程的两个微分方程关于的两个微分方程与以上方程完全相同关于的两个微分方程与以上方程完全相同 第5页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程方程（方程（2.16）具有）具有Bessel方程的形式，其解为方程的形式，其解为（z2.17）Jn、Yn 是第一类和第二类是第一类和第二类Bessel函数，函数，In、Kn 是第一类和第二类变型是第一类和第二类变型Bessel函数，系数函数，系数A
6、n，Dn决定模态形状，由边界条件确定。因此极坐标形式下，方程决定模态形状，由边界条件确定。因此极坐标形式下，方程（2.4）的通解为）的通解为（z2.18）Q：极坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个：极坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子实际例子.第6页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程1.2 椭圆坐标系椭圆坐标系椭圆坐标示于图椭圆坐标示于图2.2，与直角坐标，与直角坐标x，y的关系为的关系为 其中其中2c为内焦距。分离实部和虚部得为内焦距。分离实部和虚部得1.2.1 经典方程经典方程（z2.20）（z2.19）（z2
7、.21）图图2.1 用位移表示的弯矩和扭矩为用位移表示的弯矩和扭矩为（z2.22）椭圆坐标中椭圆坐标中Laplacian算子的表达式为算子的表达式为 第7页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程1.2.2 方程的解方程的解（z2.23）已经证明椭圆坐标下，方程（已经证明椭圆坐标下，方程（2.7）的解由两部分组成）的解由两部分组成 其中其中是是m阶阶Mathieu函数和修正函数和修正Mathieu函数函数 为积分常数。为积分常数。（z2.24）（z2.16）方程（方程（2.7）的全解为）的全解为（z2.25）第8页，共14页，编辑于2022年，星
8、期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程对于包含坐标原点的固体域，正则性条件要求将（对于包含坐标原点的固体域，正则性条件要求将（2.24）式中的一半项丢弃，全解变为）式中的一半项丢弃，全解变为（z2.26）Q：椭圆椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子个实际例子.第9页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程1.3 直角坐标系直角坐标系 直角坐标系中的一点直角坐标系中的一点P示于图示于图2.3 1.3.1 经典方程经典方程 用位移表示的弯矩和扭矩为用位移表示的弯矩和扭矩为
9、直角坐标系中直角坐标系中Laplacian算子为算子为（z2.28）（z2.27）（z2.29）图图2.3 边界反作用剪力表达式为边界反作用剪力表达式为（z2.30）横向剪力由下式给出横向剪力由下式给出（z2.31）第10页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程板的应变能为板的应变能为（z2.32）其中其中dA=dx dy 2.3.2 方程的解方程的解 直角坐标下，方程（直角坐标下，方程（1.4）的一般解可将）的一般解可将W(x,y)对变量对变量x或或y展成展成Fourier级数得到。若对变量级数得到。若对变量x展展成成Fourier级数：级数
10、：(2.33)代入（代入（2.7），得关于），得关于Ym(x,y)的两个微分方程的两个微分方程（z2.33）（z2.34）关于关于?的两个微分方程与以上方程类似。其中的两个微分方程与以上方程类似。其中？za a=mp p/a Q:为什么值得到两个微分方程？如何得到的？为什么值得到两个微分方程？如何得到的？Q;a 为什么等于为什么等于?mp p/a 第11页，共14页，编辑于2022年，星期一当当?时，方程（时，方程（2.34）的解为）的解为 第第1 1章章 板的基本方程板的基本方程因此方程（因此方程（1.4）的全解为）的全解为（z1.35）当当 时，方程（时，方程（2.34）的解为）的解为（z
11、1.36）（z1.37）第12页，共14页，编辑于2022年，星期一第第2章章 经典板理论的基本方程经典板理论的基本方程1.4 斜交坐标系斜交坐标系（z2.38）一点一点P的斜交坐标的斜交坐标x、h示于图示于图2.4。斜交坐标与直角坐标的关系为。斜交坐标与直角坐标的关系为1.4.1 经典方程经典方程 斜交坐标系中的斜交坐标系中的Laplacian算子为算子为 用位移表示的弯矩和扭矩为用位移表示的弯矩和扭矩为（z2.39）（z2.40）第13页，共14页，编辑于2022年，星期一横向剪力由下式给出横向剪力由下式给出 第第1 1章章 板的基本方程板的基本方程其中其中 边界反作用剪力表达式为边界反作用剪力表达式为板的应变能为板的应变能为其中其中dA=cos a dx dh?（z2.43）（z2.42）（z2.41）1.4.2 方程的解方程的解 斜交坐标系中，还没有方程（斜交坐标系中，还没有方程（1.4）的分离变量形式的一般解。）的分离变量形式的一般解。Q：椭圆椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子个实际例子.Q:为什么希望有为什么希望有分离变量形式？分离变量形式？第14页，共14页，编辑于2022年，星期一