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1、第六章第二节均值不等式本讲稿第一页，共六十一页1.了解均值不等式的证明过程了解均值不等式的证明过程2会用均值不等式解决简单的最大会用均值不等式解决简单的最大(小小)值问题值问题 本讲稿第二页，共六十一页本讲稿第三页，共六十一页1均值定理均值定理 均均值值不等式不等式不等式成立的条件不等式成立的条件 等号成立的条件等号成立的条件a，b 当且当且仅仅当当“ab”时时取等号取等号R本讲稿第四页，共六十一页2.常用的几个重要不等式常用的几个重要不等式(1)a2b2(a，b R)；(2)ab()2(a，b R)；(3)()2(a，b R)；(4)(a，b同号且不为零同号且不为零)2ab2本讲稿第五页，共
2、六十一页3算术平均值与几何平均值算术平均值与几何平均值设设a0，b0，则，则a，b的算术平均值为的算术平均值为，几何平均，几何平均值为值为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值均值它的几何平均值它的几何平均值 不小于不小于本讲稿第六页，共六十一页4利用均值定理求最大、最小值利用均值定理求最大、最小值(1)两个正数的积为两个正数的积为时，它们的和有时，它们的和有；(2)两个正数的和为两个正数的和为时，它们的积有时，它们的积有(简记为：简记为：和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小)常数常数最小值最小值常数常数最大值最大值本讲稿第七页，共六十一页
3、思考探究思考探究在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？提示：提示：利用均值不等式求最值时，一定要注意利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”“一正一正”即公式中即公式中a、b必须是正数，必须是正数，“二定二定”即必须有即必须有定值定值(和为定值或积为定值和为定值或积为定值)，“三相等三相等”即公式中的等号必须成立，即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件 本讲稿第八页，共六十一页1设设a，b为实数，且为实数，且ab0，下列不等式中一定成
4、立的，下列不等式中一定成立的个数是个数是()2ab2；ab.A1B2C3D4 本讲稿第九页，共六十一页解析：解析：2，成立；成立；ab1时，时，不成立；不成立；，成立；成立；当当a1，b2时，时，不成立不成立答案：答案：B 本讲稿第十页，共六十一页2.已知已知f(x)x2(x0)，则，则f(x)有有()A.最大值为最大值为0B.最小值为最小值为0C.最大值为最大值为2D.最小值为最小值为2解析：解析：x0，f(x)x2220，当且仅当当且仅当x，即，即x1时，时，“”成立成立.答案：答案：B本讲稿第十一页，共六十一页3.下列函数中，下列函数中，y的最小值为的最小值为4的是的是()A.yxB.y
5、(xR)C.yex4exD.ysinx(0 x)本讲稿第十二页，共六十一页解析：解析：对于对于A，当，当x0时，最小值不存在且时，最小值不存在且y0；B中中y24，当且仅当，当且仅当x221时等号时等号成立，这样的实数成立，这样的实数x不存在，故不存在，故y(xR)取不到最小值取不到最小值4；同理对于同理对于D，等号成立的条件为，等号成立的条件为sin2x4，这也是不可能的；，这也是不可能的；只有只有C，yex4ex4，当且仅当，当且仅当ex2，即，即xln2时等号成立，函时等号成立，函数有最小值数有最小值4.答案：答案：C本讲稿第十三页，共六十一页4.若若ab1，P，Q(lgalgb)，Rl
6、g()，则，则P，Q，R的大小关系为的大小关系为.解析：解析：ab1，lg(lgalgb)，又，又(lgalgb)，RQP.答案：答案：RQP本讲稿第十四页，共六十一页5已知已知2(x0，y0)，则，则xy的最小值是的最小值是_解析：解析：22，所以，所以xy15，当且仅当，当且仅当时等号成立所以时等号成立所以xy的最小值是的最小值是15.答案：答案：15 本讲稿第十五页，共六十一页本讲稿第十六页，共六十一页1.创设应用均值不等式的条件创设应用均值不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时
7、需出现积标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值为定值或和为定值(2)列出等号成立的条件，它不仅是解题的必要步骤，而列出等号成立的条件，它不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法 本讲稿第十七页，共六十一页2利用均值不等式求最值需注意的问题利用均值不等式求最值需注意的问题求最值时应注意：求最值时应注意：(1)各数各数(或式或式)均为正；均为正；(2)和或积为和或积为定值；定值；(3)等号能否成立，即等号能否成立，即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可 特别警示特别警示利用均值不等式求
8、最值时，一定要注意等号成立利用均值不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，若等号取不到，则可用函数的单调性求解的条件，若等号取不到，则可用函数的单调性求解 本讲稿第十八页，共六十一页3均值不等式的几种变形公式均值不等式的几种变形公式对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：本讲稿第十九页，共六十一页(1)设设0 x2，求函数，求函数y的最大值；的最大值；(2)求求a的取值范围；的取值范围；(3)已知已知x0，y0，且，且xy1，求，求的最小值的最小值.
9、本讲稿第二十页，共六十一页思路点拨思路点拨(1)题可直接利用均值不等式，题可直接利用均值不等式，(2)、(3)题先配凑利用均值不等式的题先配凑利用均值不等式的条件条件 本讲稿第二十一页，共六十一页课堂笔记课堂笔记(1)0 x2，03x6,83x20，y4，当且仅当当且仅当3x83x，即，即x时，取等号时，取等号.当当x，y的最大值是的最大值是4.本讲稿第二十二页，共六十一页(2)显然显然a4，当当a4时，时，a40，a(a4)42424，当且仅当当且仅当a4，即，即a4时，取等号；时，取等号；当当a4时，时，a40，本讲稿第二十三页，共六十一页a(a4)4(4a)42424，当且仅当当且仅当(
10、4a)，即，即a4时，取等号时，取等号.a的取值范围是的取值范围是(，2424，).本讲稿第二十四页，共六十一页(3)x0，y0，且，且xy1，()(xy)1010218.当且仅当当且仅当，即，即x2y时等号成立，时等号成立，当当x，y时，时，有最小值有最小值18.本讲稿第二十五页，共六十一页若若x 0,1，求函数，求函数y的最大值的最大值.解：解：由例由例1(1)的解答知，当的解答知，当x 0,1时，函数的最大值不能用时，函数的最大值不能用基本不等式基本不等式.y(x 0,1)，函数在函数在0,1上单调递增上单调递增.ymax.本讲稿第二十六页，共六十一页利用均值不等式证明不等式是综合法证明
11、不等式的一种利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和均值不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其均值不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是特征是“由因导果由因导果”本讲稿第二十七页，共六十一页特别警示特别警示证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用形形式的应用.本讲稿第二十八页，共六十一
12、页已知已知a0，b0且且ab1.求证：求证：(1)4；(2)2.思路点拨思路点拨本讲稿第二十九页，共六十一页课堂笔记课堂笔记(1)a0，b0，且，且ab1.224.当且仅当当且仅当，即，即ab时，等号成立时，等号成立.原不等式成立原不等式成立.本讲稿第三十页，共六十一页(2)a0，b0，且，且ab1.原不等式原不等式4ab1242241本讲稿第三十一页，共六十一页1ab(ab)1ab11ab.a0，b0，1ab2(当且仅当当且仅当ab时取等号时取等号).ab.故原不等式成立故原不等式成立.本讲稿第三十二页，共六十一页应用均值不等式解决实际问题的步骤是：应用均值不等式解决实际问题的步骤是：(1)
13、仔细阅读题目，透彻理解题意；仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用均值不等式求出函数的最值；应用均值不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答还原实际问题，作出解答 本讲稿第三十三页，共六十一页特别警示特别警示(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围取值范围(2)在求函数最值时，除应用均值不等式外，有时会出现基本不在求函数最值时，除应用均值不等式外，有时
14、会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决 本讲稿第三十四页，共六十一页(2009湖北高考湖北高考)围建一个面积为围建一个面积为360m2的矩形场地，要求的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示的进出口，如图所示.已知已知旧墙的维修费用为旧墙的维修费用为45元元/m，新墙的造价为，新墙的造价为180元元/m.设利用的旧设利用的旧墙长度为墙长度为x(单位：单位：
15、m)，修建此矩形场地围墙总费用为，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元单位：元).本讲稿第三十五页，共六十一页(1)将将y表示为表示为x的函数；的函数；(2)试确定试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用并求出最小总费用.思路点拨思路点拨本讲稿第三十六页，共六十一页课堂笔记课堂笔记(1)如图，设矩形的另一边长为如图，设矩形的另一边长为am，则则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知xa360，得，得a，所以所以y225x360(x0).本讲稿第三十七页，共六十一页(2)x0，225x210800.y225x3
16、6010440.当且仅当当且仅当225x时，等号成立时，等号成立.即当即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是用是10440元元.本讲稿第三十八页，共六十一页以选择题或填空题的形式考查均值不等式在求最值中的以选择题或填空题的形式考查均值不等式在求最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法近几年高考中多次出应用，是高考对本节内容的常规考法近几年高考中多次出现应用均值不等式求最值的应用题，如现应用均值不等式求最值的应用题，如2009年湖北、江苏高年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问
17、题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向 本讲稿第三十九页，共六十一页考题印证考题印证(2009江苏高考江苏高考)(12分分)按照某学者的理论，假设一个人生产某按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意元，则他的满意度为度为如果他买进该产品的单价为如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易如果一个人对两种交易(卖出或买进卖出或买进)的满意度分别为的满意度分别为h1和和h2，则他对，则他对这两种交易的综合满意
18、度为这两种交易的综合满意度为本讲稿第四十页，共六十一页现假设甲生产现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为两种产品的单件成本分别为12元和元和5元，元，乙生产乙生产A、B两种产品的单件成本分别为两种产品的单件成本分别为3元和元和20元，设产品元，设产品A、B的单价分别为的单价分别为mA元和元和mB元，甲买进元，甲买进A与卖出与卖出B的综合满意度为的综合满意度为h甲甲，乙卖出乙卖出A与买进与买进B的综合满意度为的综合满意度为h乙乙.本讲稿第四十一页，共六十一页(1)求求h甲甲和和h乙乙关于关于mA、mB的表达式；当的表达式；当mAmB时，求时，求证：证：h甲甲h乙乙；(2)设设mAmB，当，当
19、mA、mB分别为多少时，甲、乙两人分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记记(2)中最大的综合满意度为中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取，试问能否适当选取mA、mB的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成立，但等号不同时成同时成立，但等号不同时成立？试说明理由立？试说明理由.本讲稿第四十二页，共六十一页【解解】设设mAx，mBy.(1)甲买进产品甲买进产品A的满意度：的满意度：h1甲甲；甲卖出产品；甲卖出产品B的满意度：的满意度：h2甲甲；甲买进产品；甲买进产品A和卖出产品和卖出产品B的综合满意度
20、：的综合满意度：h甲甲；3分分同理，乙卖出产品同理，乙卖出产品A和买进产品和买进产品B的综合满意度：的综合满意度：h乙乙4分分当当xy时，时，本讲稿第四十三页，共六十一页故故h甲甲h乙乙.6分分本讲稿第四十四页，共六十一页(2)当当xy时，时，由由(1)知知h甲甲h乙乙，因为因为，且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当y10时成立时成立.当当y10时，时，x6.因此，当因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为大，且最大的综合满意度为.8分分本讲稿第四十五页，共六十一页(3)由由(2)知知h0.因为因为h甲甲h乙乙10分分所以，当
21、所以，当h甲甲，h乙乙时，有时，有h甲甲h乙乙.因此，不能取到因此，不能取到mA，mB的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同时成立，同时成立，但等号不同时成立但等号不同时成立.12分分本讲稿第四十六页，共六十一页自主体验自主体验某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千千克，每千克饲料的价格为克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费元，购买饲料每次支付运费300元元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用求该厂多少天
22、购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时吨时其价格可享受八五折优惠其价格可享受八五折优惠(即为原价的即为原价的85%).问该厂是否可以考问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由虑利用此优惠条件？请说明理由.本讲稿第四十七页，共六十一页解：解：(1)设该厂应隔设该厂应隔x(xN)天购买一次饲料，平均每天支付天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元元)，x天饲料的保管与其他费用共是天饲料的
23、保管与其他费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元元).本讲稿第四十八页，共六十一页从而有从而有1y(3x23x300)2001.83x357417.当且仅当当且仅当3x，即，即x10时，时，y1有最小值有最小值.即每隔即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.本讲稿第四十九页，共六十一页(2)若厂家利用此优惠条件，则至少若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔设该厂利用此优惠条件，每隔x天天(x25)购买一次饲料，平均购买一次饲料，平均每天支付的总费用为每天支付的总费用为y2，则，
24、则 y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25).y23，本讲稿第五十页，共六十一页当当x25时，时，y20，即函数，即函数y2在在25，)上是上是增函数，增函数，当当x25时，时，y2取得最小值为取得最小值为390.而而390417，该厂可以接受此优惠条件该厂可以接受此优惠条件.本讲稿第五十一页，共六十一页本讲稿第五十二页，共六十一页1.下列结论正确的是下列结论正确的是()A.当当x0且且x1时，时，lgx2B.当当x0时，时，2C.当当x2时，时，x的最小值为的最小值为2D.当当00，22，当且仅当当且仅当，即，即x1时，等号成立时，等号成立.答案：答案：B本讲稿第五十
25、四页，共六十一页2设设a，b R，已知命题，已知命题p：ab；命题；命题q：()2，则，则p是是q成立的成立的()A必要不充分条件必要不充分条件B充分不必要条件充分不必要条件C充分必要条件充分必要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：命题命题p：ab是命题是命题q：()2等号成立的充等号成立的充分条件分条件答案：答案：B 本讲稿第五十五页，共六十一页3.(2009天津高考天津高考)设设x，yR，a1，b1.若若axby3，ab2，则，则的最大值为的最大值为()A.2B.C.1D.本讲稿第五十六页，共六十一页解析：解析：axby3，xloga3，ylogb3，log3alog
26、3blog3ablog3log331.答案：答案：C本讲稿第五十七页，共六十一页4.已知已知0 x，则函数，则函数y5x(34x)的最大值为的最大值为.解析：解析：因为因为0 x，所以，所以x0，所以所以y5x(34x)20 x(x)20当且仅当当且仅当xx，即即x时等号成立时等号成立.答案：答案：本讲稿第五十八页，共六十一页5.设设x，y，z为正实数，满足为正实数，满足x2y3z0，则则的最小值是的最小值是.解析：解析：由由x2y3z0得得y，代入代入得得3，当且仅当当且仅当x3z时取时取“”.”.答案：答案：3本讲稿第五十九页，共六十一页6.某学校拟建一块周长为某学校拟建一块周长为400m
27、的操场如图所示，操场的两的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？设计矩形的长和宽？本讲稿第六十页，共六十一页解：解：设矩形的长为设矩形的长为xm，半圆的直径是，半圆的直径是d，中间的矩形，中间的矩形区域面积为区域面积为Sm2.由题知：由题知：Sdx，且，且2xd400.S(d)(2x)当且仅当当且仅当d2x200，即，即x100时等号成立时等号成立.此时，此时，d故设计矩形的长为故设计矩形的长为100m，宽约为，宽约为63.7m时，矩形面积最大时，矩形面积最大 本讲稿第六十一页，共六十一页