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1、第六章下线性控制系统的数学模型本讲稿第一页，共五十五页系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间表达式一一 系统数学模型系统数学模型本讲稿第二页，共五十五页线性系统的微分方程模型本讲稿第三页，共五十五页传递函数模型MATLAB输入语句本讲稿第四页，共五十五页传递函数输入举例例 输入传递函数模型MATLAB输入语句 在MATLAB环境中建立一个变量 G本讲稿第五页，共五十五页另外一种传递函数输入方法例 如何处理如下的传递函数？定义算子 ，再输入传递函数本讲稿第六页，共五十五页应该根据给出传递函数形式选择输入方法例 输入混合运算的传递函数模型 显然用第一种方法麻烦，所以本讲稿第七页，共五十
2、五页系统传递函数模型1 连续系统格式:sys=tf(num,den)2 离散系统格式:sys=tf(num,den,Ts)num为Z传递函数分子系数向量,den为Z传递函数分母系数向量,Ts为采样周期。调用方式与连续系统相同，只是需预先给Ts赋值。本讲稿第八页，共五十五页系统零极点增益模型1 连续系统格式:sys=zpk(z,p,k)z、p、k分别为系统的零点向量、极点向量和增益。2 离散系统格式:sys=zpk(z,p,k,Ts)z、p、k分别为系统的零点向量、极点向量和增益，Ts为采样周期。本讲稿第九页，共五十五页状态空间模型1 连续系统格式:sys=ss(A,B,C,D)A、B、C、D分
3、别为系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。2 离散系统格式:sys=ss(A,B,C,D,Ts)A、B、C、D分别为系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。Ts为采样周期。本讲稿第十页，共五十五页系统模型的转换1.将非传递函数形式的系统模型sys转化成传递函数模型newsys：newsys=tf(sys)2.将状态空间方程转化为传递函数形式：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中，iu表示第iu 个输入。3.将非零极点增益形式的系统模型sys转化成零极点增益模型newsys。newsys=zpk(sys)本讲稿第十一页，共五十五页4.将状态空间方程转化为零极点形式：z
4、,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)5.将传递函数转化为零极点形式：z,p,k=tf2zp(num,den)6.将非状态空间形式的系统模型sys转化成状态空间模型newsys:newsys=ss(sys)7.将传递函数或零极点形式转化为状态空间形式：A,B,C,D=tf2ss(num,den)A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)本讲稿第十二页，共五十五页例：num=1,3,1;den=1 2 5 10;sys=tf(num,den);nsys=zpk(sys)结果为：Zero/pole/gain:(s+2.618)(s+0.382)-(s+2)(s2 +5)本讲稿第十三页，共五十五
5、页系统模型参数的获取num,den=tfdata(sys,v)求模型sys的分子系数向量和分母系数向量，v为返回的数据向量。z,p,k=zpkdata(sys,v)求模型sys的零点向量、极点向量和增益，v为返回的数据向量。本讲稿第十四页，共五十五页例：num=5,3;den=1,6,11,6;sys=tf(num,den)z,p,k=zpkdata(sys,v)结果为：Transfer function:5 s+3-s3+6 s2+11 s+6 本讲稿第十五页，共五十五页z=-0.6000p=-3.0000 -2.0000 -1.0000k=5说明：在第四行指令中，若省略v，则结果为，本讲稿
6、第十六页，共五十五页Transfer function:5 s+3-s3+6 s2+11 s+6 z=-0.6000p=3x1 doublek=5本讲稿第十七页，共五十五页MATLAB还提供了绘制系统传递函数零极点分布图的指令：pzmap(sys)说明：sys为已输入到MATLAB中的系统模型；该指令将在s平面上用符号表示零点，符号表示极点。例：num=5 3;den=1 6 11 6;本讲稿第十八页，共五十五页sys=tf(num,den);z,p,k=zpkdata(sys,v)pzmap(sys)结果为：z=-0.6000p=-3.0000 -2.0000 -1.0000k=5本讲稿第十
7、九页，共五十五页本讲稿第二十页，共五十五页时间延迟系统建模时间延迟环节的系统传函为：sys=tf(num,den,inputdelay,tao)sys=zpk(z,p,k,inputdelay,tao)说明：inputdelay为关键词，也可写成outputdelay,对于SISO系统，二者是等价的。tao为系统的延迟时间的数值。本讲稿第二十一页，共五十五页例：系统模型为num=5 3;den=1 6 11 6;sys=tf(num,den,inputdelay,0.5)结果为：Transfer function:5 s+3exp(-0.5*s)*-s3+6 s2+11 s+6本讲稿第二十二页
8、，共五十五页系统模型的连接1 模型串联 sys=series(sys1,sys2)上式可等价写成：sys=sys1*sys2。2 模型并联 sys=parallel(sys1,sys2)上式可等价写成：sys=sys1+sys2。3 反馈连接 sys=feedback(sys1,sys2,sign)sign表示反馈连接符号。本讲稿第二十三页，共五十五页例：sys1=tf(1 2,1 1 10);sys2=tf(2,1 3);sys=series(sys1,sys2)结果为：Transfer function:2 s+4-s3+4 s2+13 s+30本讲稿第二十四页，共五十五页例：sys1=t
9、f(1 2,1 1 10);sys2=tf(2,1 3);sys=parallel(sys1,sys2)结果为：Transfer function:3 s2+7 s+26-s3+4 s2+13 s+30本讲稿第二十五页，共五十五页例：sys1=tf(1 2,1 1 10);sys2=zpk(,-3,2);sys=feedback(sys1,sys2,-1)结果为：Zero/pole/gain:(s+3)(s+2)-(s+2.885)(s2 +1.115s+11.78)本讲稿第二十六页，共五十五页二 系统模型的响应曲线(一)阶跃响应仿真函数基本格式:step(sys)step(sys,Tfina
10、l)step(sys,T)说明:step(sys)用于绘制LTI系统的单位阶跃响应曲线,可用于连续和离散系统,也可用于SISO和MIMO系统。sys为系统模型，Tfinal为仿真终止时间，T为用户指定的仿真时间向量。本讲稿第二十七页，共五十五页多系统阶跃响应调用格式：step(sys1,sys2,)step(sys1,r,sys2,y,sys3,gx)说明：该指令用于在同一幅图中绘制多个系统的单位阶跃响应曲线。还可以定义每个系统响应曲线的颜色、线型和标志。返回仿真输出的调用格式：Y，T=step(sys)说明：Y为输出响应，T为仿真时间向量。这种调用格式不能绘制仿真曲线。本讲稿第二十八页，共五
11、十五页(二)脉冲响应仿真函数格式：impulse(sys)impulse(sys,Tfinal)impulse(sys,T)impulse(sys1,sys2,T)Y,T=impulse(sys)说明：impulse指令用来计算LTI系统的单位脉冲响应，调用格式与step()函数完全相同。本讲稿第二十九页，共五十五页(三)初始状态响应仿真函数基本格式：initial(sys,X0)限制仿真时间终值格式：initial(sys,X0,Tfinal)指定仿真时间向量格式：initial(sys,X0,T)多系统仿真格式：initial(sys1,sys2,X0,T)返回数据向量，不绘曲线格式：Y，
12、T，X=initial(sys,X0)说明：initial()指令用于计算零输入条件下，由初试状态X0所引起的响应。只能用于状态空间模型。本讲稿第三十页，共五十五页 指令的调用与step()类似。带有返回输出格式的指令中，除了返回输出响应Y和时间向量T外，还返回系统的状态向量的相应X。例：A=-0.5572,-0.7814;0.7814,0;B=1 0;C=1.6287,3.5609;D=0;sys1=ss(A,B,C,D);X0=1,2;initial(sys1,X0)本讲稿第三十一页，共五十五页本讲稿第三十二页，共五十五页三 控制系统频域分析频域响应分析方法的基本思想是频域响应分析方法的基
13、本思想是:把控制系统中的各个变量看成是由许多不同频率的正弦信号叠加而成的信号;各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应总和。本讲稿第三十三页，共五十五页（一）连续系统Bode图的绘制基本格式：bode(sys)指定频率范围格式：bode(sys，w)在同一图内，绘制多个模型的bode图格式：bode(sys1，sys2,sysn)返回响应的幅值和相位及对应的w,不绘制bode 图格式：mag,phase,w=bode(sys)仅绘制幅频bode图格式：bodemag(sys)说明：当不指定频率范围时，bode(sys)将根据系统零极点自动确定频率范围。本讲稿第三十四页，共五十五页（二）
14、离散系统Bode图的绘制格式为：mag,phase,w=dbode(a,b,c,d,Ts)mag,phase,w=dbode(a,b,c,d,Ts,iu)mag,phase,w=dbode(a,b,c,d,Ts,iu,w)mag,phase,w=dbode(num,den,Ts)mag,phase,w=dbode(num,den,Ts,w)说明：a,b,c,d为状态方程和输出方程的系数矩阵；Ts是内部采样时间；iu表示第iu个输入；w为用户指定的角频率范围；num、den为脉冲传递函数的分子和分母多项式系数向量。本讲稿第三十五页，共五十五页（三）Nyquist图的绘制基本调用格式：nyquis
15、t(sys)指定频率范围格式：nyquist(sys,w)在同一图内，绘制多个模型的Nyquist图格式：nyquist(sys1，sys2,sysn)在同一图内，绘制多个模型对指定频率范围的Nyquist图格式：nyquist(sys1，sys2,sysn，w)不绘图，返回频率响应的实部和虚部以及对应的w的格式：Re,Im,w=nyquist(sys)本讲稿第三十六页，共五十五页（四）Nichols图的绘制基本格式：nichols(sys)其它格式：nichols(sys,w)nichols(sys1,sys2,sysn)nichols(sys1,sys2,sysn,w)mag,phase,
16、w=nichols(sys)有关说明和bode()函数类似。本讲稿第三十七页，共五十五页（五）求系统幅值裕度与相位裕度基本格式：margin(sys)用于绘制Bode图，并在图中标出幅值裕度和相位裕度。Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)不绘制Bode图，返回幅值裕度Gm,相位裕度Pm,幅值穿越频率Wcg和相位穿越频率Wcp。Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)根据幅频向量、相频向量和频率向量求幅值裕度、相位裕度和它们的穿越频率。说明：是Nyquist图对应的幅值裕度，单位不是分贝。本讲稿第三十八页，共五十五页例：系统开环传递函数为：绘制当K=5、3
17、0时系统的Bode图，并判断系统的稳定性。sys1=zpk(,0,-10,-2,100);sys2=zpk(,0,-10,-2,600);figure(1),bode(sys1)title(system bode charts with k=5),gridfigure(2),bode(sys2)title(system bode charts with k=30),grid本讲稿第三十九页，共五十五页例 若进一步计算K=5、30时系统的幅值和相位裕度，则程序为：kg1,r1,wg1,wc1=margin(sys1)kg2,r2,wg2,wc2=margin(sys2)若绘制K=5、30时系统的
18、Nyquist图，则程序为：w=linspace(0.5,5,1000)*pi;figure(1)nyquist(sys1,w);title(system nyquist charts with k=5)figure(2)nyquist(sys2,w);title(system nyquist charts with k=30)本讲稿第四十页，共五十五页同样可以绘制K=5、30时系统的Nichols图，则程序为：figure(1)nichols(sys1,w);figure(2)nichols(sys2,w);本讲稿第四十一页，共五十五页四 系统分析的图形用户界面(一）一）ltiview lt
19、iview图形工具图形工具 MATLAB控制工具箱提供了线性时不变（LTI）系统仿真的图形用户分析界面LTI Viewer，可以更为直观地分析线性离散、连续系统的时域、频域响应。首先，在指令窗口中建立要分析的系统模型；然后，在指令窗口中输入：ltiview即可。本讲稿第四十二页，共五十五页例 设单位负反馈系统的开环传递函数为：首先，建立MATLAB系统模型：Gk=zpk(-5-40,0-0.1-20-20,20);sys=feedback(Gk,1,-1);执行以上命令，系统模型sys便存入MATLAB工作空间。本讲稿第四十三页，共五十五页在指令窗口输入ltiview,进入LTI Viewer
20、可视化仿真环境。进入LTI Viewer后，点击菜单FILE，选择import项后，弹出一个装入LTI系统的窗口。显示出系统的阶跃响应图形窗口后，在窗口内点击鼠标右键弹出现场菜单。在LTI Viewer窗口下，选择EditPlot Configurations后，弹出图形配置窗口，可以在一个窗口同时显示多个图形。本讲稿第四十四页，共五十五页（二）（二）sisotoolsisotool图形工具图形工具首先，在指令窗口中建立要分析的系统模型；然后，在指令窗口中输入：sisotool即可。G被控对象C补偿器H传感器F滤波器本讲稿第四十五页，共五十五页本讲稿第四十六页，共五十五页建立MATLAB系统模
21、型：Gk=zpk(-5-40,0-0.1-20-20,20);sys=feedback(Gk,1,-1);导入SISOTOOL环境中，本讲稿第四十七页，共五十五页点击FS，可以改变控制器结构。点击+/-，可以改变反馈极性。点击C或F，可以修改补偿器或滤波器的结构和参数。本讲稿第四十八页，共五十五页 在系统设计完成后，需要对其做进一步的分析：分析反馈系统的开环和闭环响应，以确保系统是否满足特定的设计要求。用户可以选择SISO设计器中Analysis菜单下可选择要绘制的曲线。此时将打开LTI浏览器，用户可在LTI浏览器中对系统的性能如过渡时间、峰值响应、上升时间等等进行分析，如图所示。本讲稿第四十
22、九页，共五十五页本讲稿第五十页，共五十五页 如果用户需要设计线性离散控制系统，可 以 选 择 Tools菜 单 下 的 Continuous/Discrete Conversions选项，以对离散控制系统的采样时间、连续信号的离散化方法等进行设置，如图所示。本讲稿第五十一页，共五十五页本讲稿第五十二页，共五十五页 4.SISO设计器与Simulink的集成：系统验证 在使用SISO完成系统的设计之后，在系统实现之前必须对设计好的系统进行仿真分析，以确保系统设计的正确性。如果直接按照系统设计逐步建立系统的Simulink，将是一件很麻烦的工作；庆幸的是，SISO提供了与Simulink集成的方法，用户可以直接使用SISO设计器Tools菜单下的Draw Simulink Diagram直接由设计好的系统生成相应的Simulink系统框图。在生成Simulink系统模型之前，必须保存线性系统的执行结构、补偿器以及传感器等LTI对象至MATLAB工作空间中。下图所示为此系统相应的Simulink系统模型以及MATLAB工作空间变量列表。本讲稿第五十三页，共五十五页本讲稿第五十四页，共五十五页本讲稿第五十五页，共五十五页