第八章二阶电路课用精选文档.ppt

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1、第八章二阶电路课用1本讲稿第一页，共二十七页 第第 八八 章章 二二 阶阶 电电 路路 二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。电路中含有两个储能元件（一个电路中含有两个储能元件（一个L 和一个和一个C；或两个；或两个独立独立的的L 或两个或两个独立独立的的C）。所谓）。所谓独立独立，就是两个，就是两个L 不能串联或并联，或在电路中与电流源构成不能串联或并联，或在电路中与电流源构成回路；两个回路；两个C 不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则，仍属不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则，

2、仍属一阶电路。一阶电路。二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与一阶电路不同的是，这类电路的响应可能出现一阶电路不同的是，这类电路的响应可能出现 振荡振荡 的形式。为了突出这一重的形式。为了突出这一重要特点，本章首先从物理概念上阐明要特点，本章首先从物理概念上阐明 LC 电路的零输入响应具有电路的零输入响应具有 正弦振荡正弦振荡 的的形式，然后通过形式，然后通过 R L C 串联电路说明二阶电路的一般分析方法以及固有频率串联电路说明二阶电路的一般分析方法以及固有频率（特征根）与固有响应形式的关系。（特征根）

3、与固有响应形式的关系。本讲稿第二页，共二十七页基本要求：基本要求：理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念，理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念，重点掌握重点掌握 R L C 串联电路微分方程的建立及相应初串联电路微分方程的建立及相应初 始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路 的状态及零输入响应的形式，掌握直流的状态及零输入响应的形式，掌握直流 R L C 串联串联 电路的全响应及电路的全响应及 G C L 并联电路的分析。并联电路的分析。本讲稿第三页，共二十七页设设uC(0)=U0iL(0)=0,wL(0)=0CL+U0(a)CLi(b)

4、CL+U0(c)CLi(d)CL+U0(e)C放电放电,uCWC,WL L吸收能量吸收能量L释放能量释放能量WL,WC C反向充电反向充电C反向放电反向放电WC,WL L吸收能量吸收能量L释放能量释放能量WL,WC C重新充电重新充电 由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和方向（极性），形成（极性），形成周而复始周而复始的的振荡振荡。WC WL 注：注：1）若）若 R=0，则

5、为无阻尼等幅振荡；，则为无阻尼等幅振荡；2）若）若 R 0，则为阻尼衰减（减幅）振荡；，则为阻尼衰减（减幅）振荡；3）若）若 R 很大，则不产生振荡。很大，则不产生振荡。81 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡本讲稿第四页，共二十七页 例：图示为例：图示为 LC 振荡回路，设振荡回路，设 uC(0)=1V，iL(0)=0。CL+uC1F1HiL则由元件的则由元件的VAR可得：可得：此即为二阶电路的两个联立的一阶此即为二阶电路的两个联立的一阶微分方程微分方程 此式表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在要求有电流的变此式表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在要求有电流的变化。故电压、

6、电流都必须处于不断的变化状态之中。化。故电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始条件结合初始条件 uC(0)=1V，iL(0)=0，不难猜想：，不难猜想：uC(t)=cost ViL(t)=sint A 既满足方程又满足初始条件。因此，既满足方程又满足初始条件。因此，LC 回路中的回路中的 等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。能量特性：能量特性：W(t)=W(0)(t0)本讲稿第五页，共二十七页 设含设含L和和C的二阶电路如图的二阶电路如图(a)所示，运用戴维南定理后可得图所示，运用戴维南定理后可得图(b)所示所示 RLC 串联电路。串联电路。含源含源电

7、阻电阻网络网络iLC(a)iLC(b)+uOCuRuLuCR由图由图(b)：根据根据KVL：要求出微分方程要求出微分方程 uC(t)的解答，必须有的解答，必须有uC(0)和和uC(0)两个初始条件。两个初始条件。uC(0)电容电压初始值电容电压初始值t=0t=082 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应过阻尼情况过阻尼情况本讲稿第六页，共二十七页此处只研究图示电路的零输入响应此处只研究图示电路的零输入响应 即即 uOC(t)=0特征方程：特征方程：特征方程的根：特征方程的根：S 由电路本身参数由电路本身参数 R、L、C 值确值确定，与初始状态无关。故定，与初始状态无关。故 也称之为也

8、称之为固固有频率有频率。根据根据 R、L、C 值的不同，固有频率可能出现如下三种情况：值的不同，固有频率可能出现如下三种情况：1）当）当 时，时，S1、S2 为不相等的负实根为不相等的负实根过阻尼非振荡；过阻尼非振荡；2）当）当 时，时，S1、S2 为相等的负实根为相等的负实根临界阻尼非振荡；临界阻尼非振荡；3）当）当 时，时，S1、S2 为一对负实部共轭复根为一对负实部共轭复根欠阻尼振荡。欠阻尼振荡。注：本节只讨论第一种情况。注：本节只讨论第一种情况。即即本讲稿第七页，共二十七页 对应齐次微分方程的解答形式为：对应齐次微分方程的解答形式为：式中：待定系数（积分常数）式中：待定系数（积分常数）

9、K1、K2 由由 uC(0)和和 uC(0)确定。确定。即即 当当 ，即，即 时的过阻尼非振荡情况时的过阻尼非振荡情况此时此时即即衰减慢衰减慢衰减快衰减快本讲稿第八页，共二十七页 不难看出，不难看出，uC(t)和和iL(t)都是由随时间衰减的指数函数项表示的，表明电路的响应是非振荡性的。都是由随时间衰减的指数函数项表示的，表明电路的响应是非振荡性的。例：例：设设 uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0 相当于图示电路，换路前处于稳态，相当于图示电路，换路前处于稳态，t=0时换路时换路.1、uC(t)、i(t)、uL(t)及及uR(t)的变化特的变化特性性t=012+U0RLCuR(t)uL

10、(t)uC(t)i(t)由以上分析知（由以上分析知（t0）：）：uC(0)0uC(t)tuC(t)uC(t)由两个单调下降的指数函数构成，由两个单调下降的指数函数构成，C一直处于放电状态（非振荡）。一直处于放电状态（非振荡）。本讲稿第九页，共二十七页 i(t)始终为负（实际方向与参考方向相反）。始终为负（实际方向与参考方向相反）。tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)uC(0)0tuC、i、uL、uRt=0,i=0；t,i0；t=tm：i=imax。uR(t)和和 i(t)变化类似。变化类似。uL(t)的变化情况：的变化情况：1）t=0 时，时，uL(0)=uC(0)；2）

11、0 t tm：uL 为负并减小；为负并减小；3）t=tm：uL=0（与（与 i=imax 发生在同一时刻）发生在同一时刻）4）tm t 2tm：uL 0。关于关于tm 的确定的确定 （tm 即为即为 uL=0 和和 i=imax 的时间的时间）由由t=tm：即：即本讲稿第十页，共二十七页 证明：证明：为什么为什么 t=2tm 时，时，uL(t)=uLmax？证：由证：由令令则则即即（证毕）（证毕）tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)uC(0)0tuC、i、uL、uR本讲稿第十一页，共二十七页 2、过阻尼非振荡放电过程中的、过阻尼非振荡放电过程中的能量转换能量转换关系关系1

12、）0 t tm：i 恒为恒为“”，uC“+”，pC“”，C 放电放电；uL“”，pL“+”，L 吸收能吸收能量；量；uR“”，pR“+”，R 吸收能量。吸收能量。uL+uRuCRLCWCWLWR 2）t tm：i 恒为恒为“”，uC“+”，pC“”，C 继续放电继续放电；uL“+”，pL“”，L 释放释放能量；能量；uR“”，pR“+”，R 吸收能吸收能量。量。+uRuCRLCuLWCWLWR tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)uC(0)0tuC、i、uL、uR本讲稿第十二页，共二十七页当当即即时的临界阻尼非振荡情况时的临界阻尼非振荡情况 此时，固有频率此时，固有频率S

13、 为一对相等的负实数，即为一对相等的负实数，即 S1=S2=从高数知：这时齐次微分方程的解答形式为：从高数知：这时齐次微分方程的解答形式为：式中，待定系数（积分常数）式中，待定系数（积分常数）K1、K2 仍由仍由 uC(0)和和 uC(0)来确定。来确定。由上式得：由上式得：于是可得：于是可得：83 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应临界阻尼情况临界阻尼情况本讲稿第十三页，共二十七页t0：由上式可看出：各量的变化与前述过阻尼情况相似，属于非由上式可看出：各量的变化与前述过阻尼情况相似，属于非 振荡性质。振荡性质。在临界电阻条件下，电路的放电电压和电流仍为非振荡性质，故称在临界电阻条

14、件下，电路的放电电压和电流仍为非振荡性质，故称之为临界阻尼非振荡放电过程。之为临界阻尼非振荡放电过程。当当 uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0 时，得时，得 若若 R 稍小于稍小于 ，则变为振荡性质。故，则变为振荡性质。故 R=时的电阻，时的电阻，称为称为临界电阻临界电阻。本讲稿第十四页，共二十七页 如果如果 ，即即 时，电路的固有频率时，电路的固有频率 S 为一对共轭复数。为一对共轭复数。即即 S1、2=式中：式中：为正实数，称为为正实数，称为衰减系数衰减系数（决定振幅衰减快慢）。（决定振幅衰减快慢）。阻尼（衰减）振荡角频率：阻尼（衰减）振荡角频率：固有振荡（谐振）角频率：固有振荡（

15、谐振）角频率：三者关系：三者关系：0、d、构成一直角三角形构成一直角三角形d084 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应欠阻尼情况欠阻尼情况本讲稿第十五页，共二十七页 由高数知：此时齐次微分方程的解答形式为由高数知：此时齐次微分方程的解答形式为 式中，积分常数式中，积分常数 K1、K2 由初始条件由初始条件 uC(0)和和 uC(0)来确定。来确定。若给定若给定uC(0)和和 iL(0)，则，则可求出可求出K1、K2，进而求出，进而求出uC(t)。为了便于反映响应的特点，上式还可进一步写作为了便于反映响应的特点，上式还可进一步写作uC(t)式中：式中：k1k2k(d)(0)()把把

16、K1、K2 之值代入上式可得：之值代入上式可得：uC(0)=K1本讲稿第十六页，共二十七页其中：其中：由上两式表明，由上两式表明，uC(t)、iL(t)都是一个振幅逐渐减小的衰减振荡。都是一个振幅逐渐减小的衰减振荡。t0t0等等幅幅振振荡荡 综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率S（亦即取决（亦即取决于电路中的参数于电路中的参数 R、L、C 之值）。显而易见，之值）。显而易见，电路参数的变化，可以引起过电路参数的变化，可以引起过渡过程性质的变化。渡过程性质的变化。当当 R=0 时，时，此时此时本讲稿第十七页，共二十七页iLC+u

17、OC=USuRuLuCR 即即 RLC 串联电路在非零初始条件下，外加直流（串联电路在非零初始条件下，外加直流（US）激励时产生的响应。）激励时产生的响应。电路如图示，此时以电路如图示，此时以uC(t)为变量的微分方程为：为变量的微分方程为：非齐次方程的非齐次方程的特解特解：uCp(t)=US 对应齐次微分方程的对应齐次微分方程的通解通解，视固有频率（特征方程的根）的不同，仍有三种不同的形，视固有频率（特征方程的根）的不同，仍有三种不同的形式，从而得出式，从而得出 uC(t)有三种不同的情况。有三种不同的情况。特征方程的根：特征方程的根：S1、2 1、过阻尼非振荡情况：、过阻尼非振荡情况：此时

18、此时S1、S2 为两个不等的负实数为两个不等的负实数85 直流直流RLC串联电路的完全响应串联电路的完全响应本讲稿第十八页，共二十七页 2、临界阻尼非振荡情况：、临界阻尼非振荡情况：此时此时S1、S2 为两相等的负实数为两相等的负实数 即即 S1=S2=3、欠阻尼振荡情况：、欠阻尼振荡情况：此时此时S1、S2 为一对负实部的共轭复数为一对负实部的共轭复数即即 S1、2=uC(t)本讲稿第十九页，共二十七页 然后根据初始状态然后根据初始状态 uC(0)和和 i(0)得出的初始条件得出的初始条件 uC(0)和和 uC(0)，便可，便可确定积分常数确定积分常数 K1、K2，从而求出，从而求出 uC(

19、t)，进而求出，进而求出 i(t)、uL(t)及及uR(t)。以以 S1、S2 为两个不等的负实数为例，计算为两个不等的负实数为例，计算 K1 和和 K2。此时此时uC(t)由由解得：解得：本讲稿第二十页，共二十七页 例：零状态电路如图示，已知例：零状态电路如图示，已知R=4，L=1H，C=1/3F，uS(t)=16V（t0）。（）。（1）求）求t0时时uC(t)和和i(t)；（；（2）若）若R=2，求，求i(t)。uC(t)i(t)LC+uS(t)R 解：依题意：解：依题意：uC(0)=0,iL(0)=i(0)=0t0：（1）代入参数得：）代入参数得：特解：特解：uCp(t)=16v特征方程

20、：特征方程：即即解得：解得：S1=1，S2=3通解：通解：uCh(t)uC(t)由由 uC(0)=k1+k2+16=0uC(0)=k13k2=i(0)/c=0K1+k2=16k13k2=0即即解得：解得：k1=24,k2=8本讲稿第二十一页，共二十七页 uC(t)i(t)(t0)(t0)（2）若）若R=2则则解得：解得：S1、2=由由本讲稿第二十二页，共二十七页 设含设含 L 和和 C 的二阶电路如图的二阶电路如图(a)所示，运用诺顿定理可得图所示，运用诺顿定理可得图(b)所示所示 GCL 并联电路。并联电路。含源含源电阻电阻网络网络LC(a)iG(t)iL(t)iC(t)GLC+u(t)iS

21、C(t)(b)由图由图(b)：KCL:iC(t)+iG(t)+iL(t)=iSC(t)由于由于即即iLC+uOCuRuLuCR(c)注：图注：图(b)与图与图(c)所示所示电路具有对偶性。电路具有对偶性。86 GCL并联电路的分析并联电路的分析本讲稿第二十三页，共二十七页 特解：若特解：若 iSC(t)=0，则，则 iLp(t)=0；若；若 iSC(t)=IS，则，则 iLp(t)=IS 2、临界阻尼非振荡情况：、临界阻尼非振荡情况：此时此时 S1、S2 为两个相等的负为两个相等的负 实数实数 通解：通解：视固有频率（特征方程的根）的不同也有三种不同的解答形式。视固有频率（特征方程的根）的不同

22、也有三种不同的解答形式。特征根：特征根：S1、2 =1、过阻尼非振荡情况：、过阻尼非振荡情况：此时此时S1、S2 为两个不等的负实数为两个不等的负实数（即（即 ）本讲稿第二十四页，共二十七页 3、欠阻尼振荡情况：、欠阻尼振荡情况：此时此时S1、S2为一对负实部的共轭复数为一对负实部的共轭复数S1、2iLh(t)根据初始状态根据初始状态 iL(0)和和 uC(0)得出的初始条件得出的初始条件 iL(0)和和 iL(0)，便可，便可 确定积分常数确定积分常数 k1、k2，从而求出，从而求出 iL(t)，进而求出，进而求出 u(t)、iC(t)及及 iG(t)。注：此处注：此处本讲稿第二十五页，共二

23、十七页 例：以例：以 S1、S2 为两个不等的负实数为例，计算为两个不等的负实数为例，计算 k1 和和 k2。（设设 iSC(t)=IS ）此时此时iL(t)由由可解得：可解得：87 一般二阶电路一般二阶电路 （从略）（从略）本讲稿第二十六页，共二十七页 例：例：GCL 并联电路如图所示，并联电路如图所示，C=1/2F，L=1/50H，G=1S；uC(0)=1V，iL(0)=2A。求。求 uC(t)的零输入响应。的零输入响应。iG(t)iC(t)iL(t)GCL+u(t)由由 iL(0)=k1=2 k1=2iL(t)uC(t)(t0)(end)解：由图示电路：解：由图示电路：uC(t)=uL(t)=uG(t)=u(t)即即特征方程：特征方程：解得：解得：S1、2 1 j10本讲稿第二十七页，共二十七页