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1、第五章 测量误差,第一节 偶然误差特性第二节 衡量精度的指标第三节 算术平均值及其误差第四节 误差传播定律,第一节 偶然误差特性,对单个偶然误差而言，其大小和符号均没有规律性，但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。例如，在相同观测条件下，对一个三角形的内角进行观测，由于观测带有误差，其内角和观测值(li)不等于它的真值(X=180)，两者之差称为真误差(i)。 现观测162个三角形的全部三个内角，将其真误差按绝对值大小排列组成表5一1 。,下一页,返回,第一节 偶然误差特性,从上表可以看出，偶然误差具有以下四个特性。 (1)有限性。偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 (2)聚中性。绝对值
2、小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多。 (3)对称性。绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。 (4)抵消性。随着观测次数的无限增加，偶然误差的理论平均值趋近于零。 由偶然误差特性可知:当对某量有足够的观测次数，其正、负误差是可以相互抵消的。,上一页,返回,第二节 衡量精度的指标,一、中误差 在相同观测条件下，作一系列的观测，并以各个真误差平方和的平均值的平方根作为评定观测质量的标准，称为中误差m。 中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观测精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测的精度就高;反之，中误差m值
3、较大，表明误差的分布较为离散，观测值之间的差异也大，这组观测的精度就低。,返回,下一页,第二节 衡量精度的指标,二、容许误差 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为容许误差，也称限差或极限误差。偶然误差的第一特性说明，在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值。根据误差理论和大量的实践证明，在等精度观测某量的一组误差中，大于两倍中误差的偶然误差，其出现的概率为5%，大于三倍中误差的偶然误差，其出现的概率为0.3%， 0.3%是概率接近于零的小概率事件。工程测量规范(GB 50026-2007)中规定以两倍中误差作为极限误差。 超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。,上
4、一页,返回,下一页,第二节 衡量精度的指标,三、平均误差 在相同的观测条件下，一组独立的真误差为1，2，n，则平均误差的定义式为: 当观测数，了有限时，可用下式计算的估计值，称之为平均误差。即,上一页,返回,下一页,第二节 衡量精度的指标,四、相对误差 对于某些观测成果，用中误差还不能完全判断测量精度。例如，用钢尺丈量100m和200m两段距离，观测值的中误差均为0.01m，但不能认为两者的测量精度是相同的，因为量距误差与其长度有关。为厂能客观反映实际精度，通常用相对误差来表达观测值的精度。相对误差K就是观测值中误差m的绝对值与观测值D的比，并将其化成分子为1的形式。,上一页,返回,第三节 算
5、术平均值及其误差,一、算术平均值 设对某量作了n次等精度的独立观测，观测值为l1，l2ln，则算术平均值为: 可以利用偶然误差的特性，证明算术平均值比组内的任一观测值更为接近于真值。,返回,下一页,第三节 算术平均值及其误差,二、观测值的中误差 由于未知量的真值往往是不知道的，真误差也就无法求得，通常采用算术平均值x与观测值li之差的改正数vi来计算误差 将对某一量进行n次观测所得的观测值代入上式，并对两端相加求和可得零。 由此可知，在相同观测条件下，一组观测值的改正数之和恒等于零。 这个结论常用于检核计算。,上一页,返回,下一页,第三节 算术平均值及其误差,根据中误差定义可得： 上式就是利用
6、观测值的改正数计算等精度观测值中误差的公式，m代表每一次观测值的精度，故称为观测值中误差。,上一页,返回,下一页,第三节 算术平均值及其误差,三、算术平均值的中误差 根据算术平均值和线性函数，得出算术平均值中误差的计算公式为,上一页,返回,第四节 误差传播定律,一、线性函数 1.倍数函数 设函数 式中，k为常数;x为独立观测值;Z为x的函数。 2.和差函数 设有函数 式中x和y均为独立观测值;Z是x和y的函数。,返回,下一页,第四节 误差传播定律,二、非线性函数 常用函数的中误差关系式均可由一般函数中误差关系式导出。现将各种常见函数的中误差关系式统一列于表5-2中。,上一页,返回,表5一1 真误差绝对值大小排列表,返回,表5一2 观测函数中误差,返回,