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1、第五章线性空间与线性变换本讲稿第一页，共五十八页 数集也是数域.可见,有无穷多个数域.但任意数域都包含于有理数域.对几何空间中的向量,实数域上的n维向量,实数域上的矩阵等,它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两种运算,而且满足相同的运算规律,这就是线性空间.二二.线性空间的定义和例子线性空间的定义和例子本讲稿第二页，共五十八页 定义定义5.25.2 设V是一个非空集合,K是一个数域,如果在V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算,且满足 (1)+=+(加法交换律);(2)(+)+=+(+)(加法结合律);(3)V中有零元素0 0,使 V有 +0 0=;(4)V,-V,使 +(+(-)=0,)=0
2、,称-为 的负元素;(5)k(+)=k+k ,V,kK;(6)(k+l)=k+l ,V,k,lK;(7)(kl)=k(l ),V,k,lK;(8)1=,V,1K;则称V为数域K上的一个线性空间.记为VK,或V.本讲稿第三页，共五十八页 线性空间也称为向量空间,其元素都称为向量.例如:数域K上的所有n维向量组成的集合Kn,对向量的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn,对矩阵的加法和乘数两种运算,构成数域K上的一个线性空间.实系数齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U,对解向量的加法和乘数两种运算,构成实数域R上的一个线性空间.数域K上的所有次
3、数小于n的多项式的集合Kxn,对多项式的加法和乘数两种运算,构成K上的一个线性空间.本讲稿第四页，共五十八页 线性空间具有下列简单性质:1.零向量是唯一的.0 01=0 01+0 02=0 02 2.每个向量的负向量是唯一的.-1=(-1)+0 0=(-1)+(+(-2)=(-1)+)+(-2)=0 0+(-2)=-2 3.0=0 0,k0 0=0 0,V,kK 0+=0+1=(0+1)=,由1.得0=0 0.4.若k=0 0,则,k=0或=0 0.=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0 0=0 0本讲稿第五页，共五十八页 三三.子空间子空间 定义定义5.35.3 设U是线性空间V的一个非
4、空子集.如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间,则称U是V的子空间.按定义可见,集合0是V的子空间,称之为零子空间,V也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间,其它的称为非平凡子空间.,U,kK,都有+U,k U 定理定理5.15.1 设U是线性空间V的一个非空子集.则U是V的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的.即本讲稿第六页，共五十八页例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子空间.设 1,2,r 是线性空间VK中的一组向量,则 Kxn是Kx的子空间.Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.L(1,2,r)=k1 1+k2 2+kr r|k1
5、,k2,krK是VK的子空间.称为由 1,2,r生成的子空间.本讲稿第七页，共五十八页2 2 基基 维数维数 坐标坐标 齐次线性方程组AxAx=0 0的全体解的集合U构成解空间,我们知道U中所有向量都可以有AxAx=0 0的基础解系表示.这是线性空间的重要性质.一一.基基 维数维数 坐标坐标 定义定义5.45.4 在线性空间V中,如果有n个向量 1,2,n线性无关,而且V中任意向量都可由它们线性表示,则称 1,2,n为V的一组基,n称为V的维数,V称为n维线性空间.仅含零向量的线性空间维数是零,如果V中有任意多个线性无关的向量,称其为无限维线性空间.如Kx.在线性代数中,只讨论有限维线性空间.
6、本讲稿第八页，共五十八页 可见,如果将线性空间V看成一向量组,所谓基就是V的一个极大线性无关组,所谓维数就是V的秩.Kxn是n维线性空间,1,x,x2,xn-1 是它的一组基.例如 齐次线性方程组AxAx=0 0的基础解系就是方程组解空间U的基,如果n元方程组的系数矩阵的秩为r,则U是n-r维线性空间.Rmn是mn维线性空间,如R23的一组基为:向量组 1,2,r的一个极大线性无关组,就是线性空间L(1,2,r)的一组基,其维数就是向量组的秩.本讲稿第九页，共五十八页 定理定理5.25.2 设V是n维线性空间,如果V中向量组 1,2,m线性无关,则在V中必有n-m个向量 m+m+1,m+m+2
7、,n,使得 1,2,m,m+m+1,m+m+2,n是V的一组基.定义定义5.55.5 设 1,2,n是线性空间VK的一组基,如果 VK可以表示为:由定理可见,含有非零向量的线性空间一定存在基.基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.=x1 1+x2 2+xn n则称(x1,x2,xn)T为向量 在基 1,2,n下的坐标.可见,坐标是由向量及基的选取唯一确定的.本讲稿第十页，共五十八页 例例1 1 试求线性空间R3中向量=(1,2,3)T在基:=x1 1+x2 2+x3 3 解 设所求坐标为(x1,x2,xn)T,则即解之得,x1=2,x2=-1/2,x3=-1/2.所以,向量 在基
8、1,2,3下的坐标是(2,-1/2,-1/2)T.1=(1,1,1)T,2=(1,1,-1)T,3=(1,-1,-1)T下的坐标.本讲稿第十一页，共五十八页也可以写成:一般地,向量 在基 1,2,n下的坐标为(x1,x2,xn)T,也可表示为:本讲稿第十二页，共五十八页二二.基变换与坐标变换基变换与坐标变换 线性空间如果有基,显然基不唯一.那么一个向量在不同基下就有不同的坐标,下面就来讨论它们之间的关系.设 1,2,n和 1,2,n是线性空间VK的两组基,则,这两个向量组等价.如果则合起来就有:本讲稿第十三页，共五十八页简记为 定义定义5.65.6 矩阵C称为由基 1,2,n到基 1,2,n的
9、过渡矩阵.过渡矩阵是可逆的.定理定理5.3 5.3 设 1,2,n和 1,2,n是线性空间VK的两组基.如果向量 在这两组基下的坐标分别为x x=(x1,x2,xn)T,y y=(y1,y2,yn)T,则x x=CyCy.其中C是过渡矩阵.本讲稿第十四页，共五十八页 证明证明 由于 由于向量在一组基下的坐标是唯一的,所以x x=CyCy.如例1中,=(1,2,3)T在基 1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T,且由基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为(1,2,3),所以,=(1,2,3)T在基 1,2,3下的坐标为:(1,2,3)
10、-1(1,2,3)T=(2,-1/2,-1/2)T本讲稿第十五页，共五十八页3 3 线线 性性 变变 换换 线性变换是线性空间上的重要运算,本节介绍线性变换的概念,并讨论线性变换与矩阵之间的关系.一一.定义和例子定义和例子 定义定义5.75.7 设是线性空间VK到VK的一个映射,且满足,VK,kK都有则称为VK的一个线性变换.(+)=()+()(k)=k()本讲稿第十六页，共五十八页例如 A ARnn,定义(A A)=A AT,则为Rnn的一个线性变换.取0 0VK,VK,定义()=0 0,则为VK的一个线性变换,称为零变换.(2)()=();线性变换具有下列简单性质:(1)(0)=0;取A
11、ARnn,Rn,定义()=A,则为Rn的一个线性变换.VK,定义()=,则为VK的一个线性变换,称为恒等变换或单位变换.(3)(x1 1+x2 2+xm m)=x1(1)+x2(2)+xm(m)本讲稿第十七页，共五十八页二二.线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设为线性空间VK的一个线性变换,1,2,n是VK的一组基,VK,如果=x1 1+x2 2+xn n,则即,()是由(1),(2),(n)唯一确定的.由于(1),(2),(n)VK,故可由 1,2,n线性表示,记 ()=x1(1)+x2(2)+xn(n)(1)=a11 1+a21 2+an1 n (2)=a12 1+a22 2+an2 n (n
12、)=a1n 1+a2n 2+ann n本讲稿第十八页，共五十八页也就是其中 (1,2,n)=(1,2,n)A A矩阵A的第j列为向量(j)在基 1,2,n下的坐标.矩阵A称为线性变换在基 1,2,n下的矩阵.本讲稿第十九页，共五十八页例如 线性空间Kxn中,求微商的变换在基1,x,x2,xn-1下的矩阵为:零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.本讲稿第二十页，共五十八页 线性空间Kxn中,求微商的变换在基1,x,x2/2,xn-1/(n-1)下的矩阵为:本讲稿第二十一页，共五十八页 A AR22,定义(A A)=A AT,则在基E11,E12,E21,E22下
13、的矩阵为:本讲稿第二十二页，共五十八页 定理定理5.45.4 设线性变换在基 1,2,n下的矩阵是A A,向量 在基 1,2,n下的坐标为x x=(x1,x2,xn)T,则()在这组基下的坐标是AxAx.证明证明 因为=x1 1+x2 2+xn n,所以 =(1,2,n)AxAx ()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(1),(2),(n)x x所以,()在基 1,2,n下的坐标是AxAx.本讲稿第二十三页，共五十八页 定理定理5.55.5 设是线性空间V的线性变换,如果在两组基 1,2,n和 1,2,n下的矩阵分别为A A和B B,且由基 1,2,n到基 1,2,n的过渡矩阵为C,则B
14、B=C C-1ACAC.证明证明 由于(1,2,n)=(1,2,n)A A (1,2,n)=(1,2,n)C C于是 (1,2,n)B=B=(1,2,n)=(1,2,n)CC =(1,2,n)C=C=(1,2,n)ACAC =(1,2,n)C C-1ACAC由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的,故B=C C-1AC.AC.本讲稿第二十四页，共五十八页 例例2 2 设线性空间R3的线性变换在基 1,2,3下的矩阵为 解解 由于(1,2,3)=(1,-3 1-2 2+2 3,1+2 2+2 3)求在基 1=1,2=-3 1-2 2+2 3,3=1+2 2+2 3下的矩阵.所以，由基 1,2,3到基
15、 1,2,3的过渡矩阵为：本讲稿第二十五页，共五十八页所以,在基 1,2,3下的矩阵为:B B=C C-1ACAC本讲稿第二十六页，共五十八页4 4 欧几里得空间欧几里得空间 欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积.一一.定义和例子定义和例子 定义定义5.85.8 设V是实数域R上的一个线性空间,在V上定义一个二元实函数,满足:,V,kR,有则称二元实函数,是V上的内积,此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间.(1)对称性:,=,(2)线性性:+,=,+,k,=k,(3)正定性:,0,且仅当=0=0时,=0.本讲稿第二十七页，共五十八页例如:在Rn中,=(a1,a2,an)T,=
16、(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+2a2b2+nanbn,则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间.在Rxn中,f(x),g g(x)Rxn,定义内积为:在Rn中,=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+a2b2+anbn,则Rn成为Euclid空间.则Rxn也成为Euclid空间.利用内积的概念,可以定义Euclid空间中向量的长度,向量的夹角等概念.本讲稿第二十八页，共五十八页 向量的长度具体下列性质:定义定义5.95.9 设V是Euclid空间,V,非负实数,1/2称为向量 的长度(或范数,或模),记为|(或).还
17、有下面的Cauchy-Schwarz不等式:(1)非负性:|0,且仅当=0=0时,|=0;(2)齐次性:|k|=|k|;(3)三角不等式:|+|+|.|,|.若|=1,称 为单位向量.若 0 0,则(1/|)是单位向量.本讲稿第二十九页，共五十八页 定义定义5.105.10 在Euclid空间中,两个非零向量,的夹角记为,规定为:定义定义5.12 5.12 在Euclid空间中,一组两两正交的非零向量称为正交向量组,由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.可见,=/2当且仅当,=0.定义定义5.115.11 如果,=0,则称 与 正交.可见,1,2,n为规范正交组 i,j=ij.定理定理
18、5.65.6 正交向量组必线性无关.本讲稿第三十页，共五十八页 在线性空间R3中,取标准内积,=x1y1+x2y2+x3y3,使R3成为一个 Euclid空间.解之得一个解为,=(-2,1,1)T,将 单位化得:解解 先求与 1,2都正交的向量,记=(x1,x2,x3)T,则 1,=x1+x2+x3=0,2,=x2-x3=0 例例3 3 在Euclid空间R3中,求一个单位向量,使其与两个向量 1=(1,1,1)T,2=(0,1,-1)T 都正交.本讲稿第三十一页，共五十八页二二.规范正交基规范正交基 定理定理5.7 5.7 在Euclid空间中,如果向量组 1,2,m线性无关,则有规范正交向
19、量组 1,2,m与之等价.证明证明 先正交化,取 1=1,本讲稿第三十二页，共五十八页 再将 1,2,m单位化,取 则 1,2,m就是所求规范正交向量组.上述由线性无关向量组 1,2,m,得到正交向量组 1,2,m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.定义定义5.135.13 在n维Euclid空间V中,含有n个向量的正交向量组称为V的正交基.由单位向量构成的正交基称为规范正交基.本讲稿第三十三页，共五十八页 例例4 4 在线性空间Rx3中,定义内积试求Rx3的一组规范正交基.解解 取Rx3的一组基,1=1,2=x,3=x2,将其正交化得:1=1=1,本讲稿第三十四页，共五十八页 1
20、,2,m就是Rx3的一组规范正交基.再将 1,2,3单位化,取本讲稿第三十五页，共五十八页 例例5 5 求L(1,2,3,4)的一组规范正交基.其中 解解 由于本讲稿第三十六页，共五十八页 可见,1,2,4是L(1,2,3,4)的一组基,正交化 1=1本讲稿第三十七页，共五十八页再单位化得L(1,2,3,4)的一组规范正交基为:本讲稿第三十八页，共五十八页 定义定义5.14 5.14 若实方阵A A满足AAAAT=E E,则称A A是正交矩阵.若记则,由于 本讲稿第三十九页，共五十八页可见,AAAAT=E E的充分必要条件是:所以说,n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是Euclid空间R
21、n的一组规范正交基.注意:i i j jT=ai1aj1+ai2aj2+ainajn=i i,j j 例如,下列矩阵都是正交矩阵:在Euclid空间中,两组规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵.本讲稿第四十页，共五十八页填空题4 已知线性变换f(P)=P,其中P为多项式,P为P关于x的导数,那么该变换在基3,x+2,x2+2x+1下的矩阵为:6.线性空间R3中向量在基下的坐标为51023本讲稿第四十一页，共五十八页第五章习题第五章习题A A（9898页）页）(1)所有二次实系数多项式的集合,对于多项式的加法和数与多项式的乘法;1.判断下述集合对于所指定的运算是否构成实数域上的线性空间.不是线性空间.
22、(2)非齐次线性方程组AxAx=的所有解向量,对于向量的加法和数与向量的乘法;不是线性空间.(3)所有n阶实可逆矩阵,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法;不是线性空间.(4)所有3阶实对称(反对称)矩阵,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法;是线性空间.本讲稿第四十二页，共五十八页(5)所有与 可交换的矩阵,对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法;(X X与A A可交换是指XAXA=AXAX)是线性空间.2.求第一题中线性空间的一组基和维数.解解 (4)因为向量组线性无关,且任意3阶实对称矩阵都能由它们线性表示,所以,它们就是线性空间的一组基.线性空间是6维的.本讲稿第四十三页，共五十八页(5)因为所有与A可交
23、换的矩阵就是所有2阶对角矩阵,所以线性空间是2维的,它的一组基是:所有3阶反对称矩阵组成的线性空间是3维线性空间,它的一组基是:3.求线性空间L(1,2,3,4)的一组基和维数.其中本讲稿第四十四页，共五十八页 解解 由于 可见,1,2,3,4线性相关,1,2,4线性无关,所以线性空间L(1,2,3,4)是3维线性空间,1,2,4就是它的一组基.本讲稿第四十五页，共五十八页(1)V1=(0,x2,x3,xn)T|x2,x3,xnK;4.下述集合中哪些是Kn的子空间:是线性空间.(2)V2=(1,x2,x3,xn)T|x2,x3,xnK;不是线性空间.(3)V3=(x1,x2,xn)T|x1+x
24、2+xn=0;是线性空间.(4)V4=(x1,x2,xn)T|x1+x2+xn=1;不是线性空间.(5)V5=(x,2x,nx)T|xK;是线性空间.(6)V6=(x,y,y)T|x,yK;是线性空间.5.求第4题中的子空间的一组基和维数.(1)V1是n-1维线性空间,e e2,e e3,e en是V1的一组基.本讲稿第四十六页，共五十八页(3)V3是n-1维线性空间,V3的一组基为:(1,0,0,-1)T,(0,1,0,-1)T,(0,0,1,-1)T.(5)V5是1维线性空间,(1,2,n)T是V5的一组基.(6)V6是2维线性空间,(1,0,0)T,(0,1,1)T 是V6的一组基.6.
25、设(1)证明 1,2,3,4是线性空间K4的一组基.(2)求向量=(1,-5,0,4)T 在基 1,2,3,4下的坐标.本讲稿第四十七页，共五十八页 可见,1,2,3,4线性无关,所以 1,2,3,4是线性空间K4的一组基.(1)证明证明 由于 (2)解解 设=(1,-5,0,4)T=(1,2,3,4)x x,由于本讲稿第四十八页，共五十八页本讲稿第四十九页，共五十八页所以,于是,x x=(1,2,3,4)-1 =(1,2,-1,3)T 故,=(1,-5,0,4)T在基 1,2,3,4下的坐标为:(1,2,-1,3)T.本讲稿第五十页，共五十八页7.设a是一个实常数,证明1,x-a,(x-a)
26、n-1是线性空间Rxn的一组基,并求向量f(x)=1+x+xn-1在此基下的坐标.证明证明 令k1+k2(x-a)+kn(x-a)n-1=0所以,向量f(x)=1+x+xn-1在此基下的坐标为:则k1=k2=kn=0,故1,x-a,(x-a)n-1线性无关.所以,1,x-a,(x-a)n-1是线性空间Rxn的一组基.由于,本讲稿第五十一页，共五十八页8.设(1)在K3中求由基 1,2,3到基 1,2,3的过渡矩阵;(2)求向量=(2,5,3)T在这两组基下的坐标.解 (1)基 1,2,3到基 1,2,3的过渡矩阵为本讲稿第五十二页，共五十八页所以,向量=(2,5,3)T在基 1,2,3下的坐标
27、为(1,0,2)T.在基 1,2,3下的坐标为C(1,0,2)T=(2,-5,10)T.(2)由于本讲稿第五十三页，共五十八页9.下述的映射哪些是线性空间K22的线性变换:是线性变换.不是线性变换.10.求第9题中线性变换在基E11,E12,E21,E22下的矩阵.是线性变换.是线性变换.本讲稿第五十四页，共五十八页所以,此线性变换在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为本讲稿第五十五页，共五十八页所以,此线性变换在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为本讲稿第五十六页，共五十八页所以,此线性变换在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为11.求线性空间K3的线性变换在基 1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T下的矩阵.本讲稿第五十七页，共五十八页习题习题A A 第第9898页页线性空间、基、维数、坐标 1、2、3、6、7、8作作 业业 线性变换、欧几里得空间9、10、12、13、15、16、17、18本讲稿第五十八页，共五十八页