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1、第三章第一节矩阵的概念与运算1第1页，共26页，编辑于2022年，星期二一、矩阵的概念一、矩阵的概念第2页，共26页，编辑于2022年，星期二则线性变换则线性变换(1)与数表与数表(2)存在着一一对应关系存在着一一对应关系.线性变换线性变换(1)中的系数按方程的顺序可排成中的系数按方程的顺序可排成m行行n列的一张数表列的一张数表引例引例2 2.一般线性方程组一般线性方程组第3页，共26页，编辑于2022年，星期二 方程组方程组(3)的解取决于系数与常数项的解取决于系数与常数项,而系而系数与常数项按方程的顺序也可排成如下数与常数项按方程的顺序也可排成如下m行行(n+1)列的数表列的数表第4页，共
2、26页，编辑于2022年，星期二则线性方程组则线性方程组(3)与数表与数表(4)也构成一一对应关系也构成一一对应关系.因此因此,对线性变换对线性变换(1)和线性方程组和线性方程组(3)的的研究可转化成对数表研究可转化成对数表(2)与数表与数表(4)的研究的研究.为此下面引进矩阵的概念为此下面引进矩阵的概念.第5页，共26页，编辑于2022年，星期二称为称为 矩阵矩阵.定义定义1.1.排成排成 m 行行 n 列的数表列的数表简记为简记为称为矩阵称为矩阵A的元素的元素.第6页，共26页，编辑于2022年，星期二元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵元素是复数的矩阵称
3、为复矩阵称为复矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.是数表是数表.1.方阵方阵.当行数与列数都等于当行数与列数都等于n 时时,矩阵矩阵A称为称为n阶阶方方阵阵.几类特殊矩阵几类特殊矩阵第7页，共26页，编辑于2022年，星期二是数是数,有行列式的运算规律有行列式的运算规律.2.行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵.只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵.只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵.第8页，共26页，编辑于2022年，星期二 对一般的对一般的 阵可构成阵可构成m个行阵个行阵,n个列阵个列阵.如如是零阵是零阵.元素都是零的矩阵称为元素都是零的矩阵称为零矩阵零矩阵,记为
4、记为O.O.3.零阵零阵.4.相等矩阵相等矩阵若若第9页，共26页，编辑于2022年，星期二A=B.例例1.若若第10页，共26页，编辑于2022年，星期二再如再如则则 A=B,AC.第11页，共26页，编辑于2022年，星期二二、矩阵的运算二、矩阵的运算1.加法加法 定义定义3.3.设有两个设有两个 矩阵矩阵 则矩阵则矩阵 A与与B的和记作的和记作A+B,规定为规定为第12页，共26页，编辑于2022年，星期二2.数与矩阵相乘数与矩阵相乘定义定义4.4.规定为规定为第13页，共26页，编辑于2022年，星期二例例3.又如又如:第14页，共26页，编辑于2022年，星期二应为应为:但是但是又如
5、又如:第15页，共26页，编辑于2022年，星期二3.3.矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘例例4.4.第16页，共26页，编辑于2022年，星期二11064114+6148493443+94=48.第17页，共26页，编辑于2022年，星期二一般一般:(第第i行行),(第第j列列)第18页，共26页，编辑于2022年，星期二则称则称C为为A与与B的的乘积乘积.记记C=AB.第19页，共26页，编辑于2022年，星期二注意注意:左阵的列数左阵的列数=右阵的行数右阵的行数.否则否则,“,“AB”AB”无意义无意义.例例5.则则第20页，共26页，编辑于2022年，星期二一般情况下一般情况下,对矩阵对矩
6、阵运算规律运算规律（其中（其中 为数）为数）;第21页，共26页，编辑于2022年，星期二4.矩阵的转置与对称阵矩阵的转置与对称阵矩阵的转置矩阵的转置定义定义6.6.一般一般:若若第22页，共26页，编辑于2022年，星期二称为称为A的的转置转置.运算规律运算规律第23页，共26页，编辑于2022年，星期二例例6 6.方阵方阵对称矩阵对称矩阵A特点特点:A特点特点:第24页，共26页，编辑于2022年，星期二一般一般:则称则称A为为对称阵对称阵.注意注意:A为对称阵为对称阵例例7.证明证明:对任何方阵对任何方阵A,证明证明:第25页，共26页，编辑于2022年，星期二 例例8.8.设设 A、B 均为均为n 阶对称阵阶对称阵,证明证明:AB是对称阵的充要条件是是对称阵的充要条件是AB=BA.证明证明:“”“”第26页，共26页，编辑于2022年，星期二