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1、第三章 功能原理和机械能守恒定律第1页，共32页，编辑于2022年，星期二 31 变力的功 功能定理 32 保守力与非保守力 势能 33 功能原理及机械能守恒定律第三章第三章 功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律第2页，共32页，编辑于2022年，星期二 31 变力的功 功能定理一、变力的功一、变力的功abO 功功(work)度量能量转换的基本物理量，度量能量转换的基本物理量，描写力对空间积累作用描写力对空间积累作用.定义：定义：力对质点所做的功为力在质点力对质点所做的功为力在质点 位移方向的分量与位移大小的乘积。位移方向的分量与位移大小的乘积。元功元功(elementary wo
2、rk)*功的计算与具体过程相联系功的计算与具体过程相联系,功是一个过程量功是一个过程量.变力的总功：变力的总功：第3页，共32页，编辑于2022年，星期二*合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和合力的元功合力的元功从从a到到b合力之功合力之功单位单位(SI):焦耳焦耳(J)说明说明 (1)功的计算与具体过程相联系功的计算与具体过程相联系,功是功是过程量过程量,不是状态量不是状态量,表征表征力对空间的累积效应力对空间的累积效应.第4页，共32页，编辑于2022年，星期二 (2)前式中涉及的位移是前式中涉及的位移是受力物体的位移受力物体的位移,只有按此定义只有按此定义,才能才
3、能得到后面的动能定理得到后面的动能定理.(3)变力做功在直角坐标系中的数学表达式变力做功在直角坐标系中的数学表达式.功率功率功率功率(power)定义定义 单位时间内力所作的功称为功率单位时间内力所作的功称为功率.(1)平均功率平均功率(2)瞬时功率瞬时功率第5页，共32页，编辑于2022年，星期二功率的单位功率的单位(SI)：例例1 在一个深在一个深h=18m的坑里的坑里,垂直悬挂着一根长绳垂直悬挂着一根长绳,从地面垂从地面垂至坑底至坑底.已知绳的质量线密度已知绳的质量线密度 =0.88kg/m,试问试问:若将此绳提到地若将此绳提到地面面,至少要做多少功至少要做多少功?yyh解解:取取如如图
4、图坐坐标标系系,绳绳运运动动到到图图示示任任意意位位置置y y 时时,所所受受重重力力(h-y)g.要要使使做做功功最最少少,作作用用于于绳绳子子的的力力刚刚好好等等于于重重力力,通通过过dy距距离离时时,元元功为功为:第6页，共32页，编辑于2022年，星期二全部拉上绳子拉力所做的功至少为全部拉上绳子拉力所做的功至少为 例例2 质量为质量为2t 的卡车的卡车,启动时在牵引力启动时在牵引力 的的作用下作用下,自原点从静止开始沿自原点从静止开始沿 x 轴做直线运动轴做直线运动,求在前求在前10s 内牵引力所做的功内牵引力所做的功.解解:由由 得得 积分积分得得 所以牵引力前所以牵引力前10s10
5、s做功为做功为:第7页，共32页，编辑于2022年，星期二第8页，共32页，编辑于2022年，星期二二、动能定理二、动能定理 (theorem of kinetic energy)在自然坐标系中在自然坐标系中,F 是作用在物体上的合力是作用在物体上的合力,则则从从 a 到到b 积分积分,有有动能动能(kinetic energy)单位：焦耳单位：焦耳(J)第9页，共32页，编辑于2022年，星期二动能定理动能定理 合力对质点所作的功等于质点动能的增量合力对质点所作的功等于质点动能的增量.研究质点系研究质点系,对第对第i 个质点个质点运用动能定理运用动能定理,内力功内力功外力功外力功求和求和,有
6、有动能增量动能增量第10页，共32页，编辑于2022年，星期二质点系的动能定理质点系的动能定理 作用于质点系中各个质点上的外作用于质点系中各个质点上的外力和内力所做的功的代数和力和内力所做的功的代数和,等于质点系动能的增量等于质点系动能的增量.注意注意1.功功是是过过程程量量,是是能能量量变变化化的的量量度度;动动能能是是状状态态量量,是是运运动动状状态态的单值函数的单值函数.它们的单位和量纲相同它们的单位和量纲相同.2.动动能能定定理理由由牛牛顿顿第第二二定定律律导导出出,只只适适用用于于惯惯性性参参考考系系,动动能能也与参考系有关也与参考系有关.第11页，共32页，编辑于2022年，星期二
7、 例例1 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端,绳的上端固定在天花板上.起初把绳子放在与竖直线成60度角处,然后放手使小球沿圆弧下落.试求 绳与竖直线成 10度角时小球的速率.解解:取取如如图图所所示示中中间间时时刻刻,小小球球受受拉拉力力和重力作用和重力作用,则则:第12页，共32页，编辑于2022年，星期二由动能定理由动能定理得得代入得代入得第13页，共32页，编辑于2022年，星期二三、三、“一对力一对力”的功的功 把作用力与反作用力把作用力与反作用力,更一般地更一般地,把两个大小相等把两个大小相等,方向相方向相反反,在一条直线上的力称为在一条直线上的力称为“一对力一对力
8、”.研究如图的两质点系统研究如图的两质点系统,相互作用力的元功为相互作用力的元功为:其代数和其代数和第14页，共32页，编辑于2022年，星期二对于整个过程对于整个过程物理意义物理意义 一对力的功等于以其中任一质点为参考系一对力的功等于以其中任一质点为参考系,计算计算它对另一个质点的作用力所做的功它对另一个质点的作用力所做的功.这说明一对力做功与这说明一对力做功与参考系无关参考系无关,因此可选取最方便的参考系来计算一对力的因此可选取最方便的参考系来计算一对力的功功.常见的常见的“一对力一对力”的功的功一对正压力的功恒为零一对正压力的功恒为零.(更普遍的更普遍的,无相对位移或相对位移与无相对位移
9、或相对位移与一对力垂直的情况一对力垂直的情况)一对静摩擦力的功恒为零一对静摩擦力的功恒为零.一对滑动摩擦力的功恒为负一对滑动摩擦力的功恒为负.第15页，共32页，编辑于2022年，星期二 32 保守力与非保守力 势能一、重力一、重力(gravity)所做的功所做的功ba以地球为参考系以地球为参考系二、万有引力二、万有引力(gravitation)所做的功所做的功以质点以质点M为参考系为参考系,如图如图万有引力的元功可写为万有引力的元功可写为:OMm第16页，共32页，编辑于2022年，星期二三、弹性力三、弹性力(elastic work)所做的功所做的功 建立如图所示建立如图所示坐标系坐标系,
10、弹性力的弹性力的元功可写为元功可写为:第17页，共32页，编辑于2022年，星期二四、摩擦力所做的功四、摩擦力所做的功以地面为参考系以地面为参考系,元功元功:是曲线路径的长度是曲线路径的长度显然显然,从从a到到b,沿不同的路径沿不同的路径,摩擦力做功不同摩擦力做功不同.第18页，共32页，编辑于2022年，星期二五、保守力与非保守力五、保守力与非保守力 做功的多少仅由始末两点的位置决定做功的多少仅由始末两点的位置决定,而与中间所经过的路径而与中间所经过的路径无关无关,这样的力称为这样的力称为保守力保守力(conservative force).而做功多少和物而做功多少和物体的运动路径有关的力称
11、为体的运动路径有关的力称为非保守力非保守力(nonconservative force).对于任意闭合路径对于任意闭合路径:即做功为零即做功为零,为保守力为保守力,如如:重力重力,弹性弹性力力.为非保守力为非保守力(耗散力耗散力).如如:摩擦摩擦力力为非保守力为非保守力(非耗散力非耗散力).如如:爆炸力爆炸力第19页，共32页，编辑于2022年，星期二六、势能六、势能(potential energy)可以将保守力的功表示为与可以将保守力的功表示为与相互作用物体相对位置相互作用物体相对位置有关的有关的某函数在起点和终点的取值之差某函数在起点和终点的取值之差.将该函数定义为此物体系的将该函数定义
12、为此物体系的势能势能,势能只与质点位置有关势能只与质点位置有关,是是状态函数状态函数.势能定理势能定理 势能增量的负值等于保守力所做的功势能增量的负值等于保守力所做的功.保守力和势能的微分关系保守力和势能的微分关系:第20页，共32页，编辑于2022年，星期二2)势能是势能是相对的相对的.零势能位置的选取不同零势能位置的选取不同,势能也不同势能也不同,故故势能是质点间相对位置的单值函数势能是质点间相对位置的单值函数.注意注意1)势能是属于系统的势能是属于系统的,保守力做功应理解为保守力做功应理解为一对力一对力做功做功.3)势能计算势能计算.令令 即得任一点的势能为即得任一点的势能为:4)常见势
13、能常见势能.弹性弹性势能势能引力引力势能势能重力重力势能势能势能势能 表达式表达式 零势能位置零势能位置地面附近地面附近弹簧自由状态时自由端位置弹簧自由状态时自由端位置两物体相距无限远两物体相距无限远第21页，共32页，编辑于2022年，星期二 33 功能原理及机械能守恒定律一、系统的功能原理一、系统的功能原理对于质点系的动能定理对于质点系的动能定理非保守内力做功非保守内力做功保守内力做功保守内力做功由前述势能定理由前述势能定理定义系统的机械能定义系统的机械能 ,则则系统的功能原理系统的功能原理 外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的增量的增量.第2
14、2页，共32页，编辑于2022年，星期二二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律由功能原理由功能原理,当当 时时,机械能守恒定律机械能守恒定律 外力和非保守内力做功的总和为零外力和非保守内力做功的总和为零,或者说只有保或者说只有保守内力作功的情况下，系统的机械能保持不变守内力作功的情况下，系统的机械能保持不变.注意注意1),并不要求并不要求 和和 为零为零.2)要求在任意一微小路程上要求在任意一微小路程上 都是成都是成立的立的,因此常用功率来描述机械能守恒的条件因此常用功率来描述机械能守恒的条件.恒量恒量,或或 恒量恒量第23页，共32页，编辑于2022年，星期二例：例：一粗细均匀的柔软绳子一粗细
15、均匀的柔软绳子,一部分置于光滑水平桌面上一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌边下垂另一部分自桌边下垂,绳全长为绳全长为 .开始时开始时,下垂部分长为下垂部分长为d，初速为零，初速为零,求整个绳全部离开桌面时瞬间的速度大小求整个绳全部离开桌面时瞬间的速度大小(设绳不可伸长设绳不可伸长).本题将分别用牛顿定律本题将分别用牛顿定律,动能定理动能定理,机械能守恒定律求解机械能守恒定律求解.第24页，共32页，编辑于2022年，星期二解一解一:用牛顿定律求解；用牛顿定律求解；用隔离体法：绳分成用隔离体法：绳分成两部分两部分,桌上桌上:AB,下垂下垂:BC,t时刻：时刻：牛顿第二定律牛顿第二定律,列方程
16、：列方程：AB:第25页，共32页，编辑于2022年，星期二绳不可伸长：绳不可伸长：牛顿第三定律：牛顿第三定律：绳质量均匀分布：绳质量均匀分布：联立求解：联立求解：所以所以,绳全部离开桌面的速度方绳全部离开桌面的速度方向向下向向下,大小大小BC:第26页，共32页，编辑于2022年，星期二解二解二:用动能定理求解；用动能定理求解；系统系统:整个绳子整个绳子,绳分成两部绳分成两部分分,桌上桌上：AB,下垂：下垂：BC,受力如受力如图图.作功：作功：其中其中:因为是因为是“一对力一对力”作功作功因为力与位移方向垂直因为力与位移方向垂直,有有系统动能：初态系统动能：初态第27页，共32页，编辑于20
17、22年，星期二由动能定理，由动能定理，有：有：即即系统系统:整个绳子和地球整个绳子和地球.并由于绳不可伸长，有：并由于绳不可伸长，有：系统机械能守恒系统机械能守恒.所以所以,绳全部离开桌面的速度方绳全部离开桌面的速度方向向下向向下,大小为大小为:解三解三:用机械能守恒定律求解；用机械能守恒定律求解；设水平桌面处重力势能设水平桌面处重力势能 .第28页，共32页，编辑于2022年，星期二比较三种方法：牛顿定律方程两端牛顿定律方程两端：均为瞬时值，需对方程两端积分；均为瞬时值，需对方程两端积分；动能定理方程两端：动能定理方程两端：功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需对过程量积分；功的一侧为过程
18、量，动能一侧为状态量，仅需对过程量积分；功能原理方程两端：功能原理方程两端：功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所以，最简功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所以，最简单。单。第29页，共32页，编辑于2022年，星期二三、势能曲线三、势能曲线重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能势能曲线的作用势能曲线的作用1)由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力.第30页，共32页，编辑于2022年，星期二2)确定质点的运动范围确定质点的运动范围.由于由于 ,质点不可能在质点不可能在 的区域内运动的区域内运动.3)确定平衡位置确定平衡位置,判断平衡的稳定性判断平衡的稳定性.一维情况下一
19、维情况下:稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡第31页，共32页，编辑于2022年，星期二 亥姆霍兹亥姆霍兹（18211894），德国），德国物理学家和生理学家物理学家和生理学家.于于1874年发表了年发表了论力（现称能量）守恒的演讲，首论力（现称能量）守恒的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律运动形式之间都遵守能量守恒这条规律.所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一者之一.四、能量守恒定律四、能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律(law of energy conservation)在孤立系统内在孤立系统内,无论发无论发生什么变化过程生什么变化过程,各种形式的能量可以互相转换各种形式的能量可以互相转换,但系统的总但系统的总能量保持不变能量保持不变.第32页，共32页，编辑于2022年，星期二