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1、第第二二章章 极极限限与与连连续续2.1 数列的极限数列的极限一、概念引入一、概念引入二、数列定义二、数列定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质五、数列收敛判别法五、数列收敛判别法六、小结六、小结第1页，此课件共18页哦老农有十九头牛，遗嘱：大儿子分二分之一，二儿老农有十九头牛，遗嘱：大儿子分二分之一，二儿子分四分之一，小儿子分五分之一，不可杀牛子分四分之一，小儿子分五分之一，不可杀牛.如如何分割？何分割？1 1、九章算术中老农分牛、九章算术中老农分牛自由落体在时刻自由落体在时刻 t 的瞬时速度。的瞬时速度。一、概念的引入一、概念的引入2 2、截丈问题、截丈问题“
2、一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”3 3、物理问题、物理问题 1/1/6.1第2页，此课件共18页哦二、数列的定义二、数列的定义1 1、实数列、实数列说明：说明：1）数列对应着数轴上一个点列）数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2）数列是整标函数）数列是整标函数 1/2/6.2第3页，此课件共18页哦2 2、常见数列、常见数列3 3、有界数列、无界数列、有界数列、无界数列4 4、单调数列、单调数列调和数列、等比数列、常数列、摆动数列调和数列、等比数列、常数列、摆动数列有界数列：既有上界，也有下界；有界数列：既有上界，也有下界；无
3、界数列：可无上界，也可无下界无界数列：可无上界，也可无下界.单调增数列，单调减数列。单调增数列，单调减数列。2/2/6.2第4页，此课件共18页哦三、数列的极限三、数列的极限 1/7/6.31.1.观察数列：观察数列：问题问题1:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题2:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用如何用数学语言数学语言刻划它？刻划它？第5页，此课件共18页哦“无限接近无限接近”的自然语言描述的自然语言描述:2/7/6.3给定误差给定误差0.01，给定误差给定误差0.001，预先给定预先
4、给定误差误差，找到，找到标志标志，保证此标志以后，数列的，保证此标志以后，数列的所有项与某定值之差的绝对值小于预先给定误差。所有项与某定值之差的绝对值小于预先给定误差。如何用如何用数学语言数学语言刻划刻划“无限接近无限接近”？第6页，此课件共18页哦3.3.定义说明：定义说明：(6(6点点)1)具有任意性，具有任意性，刻画刻画 与与a的接近程度的接近程度;2)具有相对固定性，目的是为了找到满足条件的具有相对固定性，目的是为了找到满足条件的N，不同的不同的 ，对应的，对应的N一般也不同，即一般也不同，即 ；3/7/6.32.2.数列极限的数学定义：数列极限的数学定义：记作：记作：第7页，此课件共
5、18页哦4)，即当，即当n充分大充分大时，所有的时，所有的 都落在带形域都落在带形域 内；内；3)对不同的对不同的 ，只要找到满足条件的，只要找到满足条件的N即可，不必要即可，不必要一定找到最小的一定找到最小的N，所以，同一个，所以，同一个 可以有不同的可以有不同的N；5)如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的;6)数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.4/7/6.3第8页，此课件共18页哦例例1证证所以所以,取取 呢？呢？取取 呢？呢？.5/7/6.3第9页，此课件共18页哦例例 2证证取取 呢？呢？呢？呢？.小结小结:用定义证数列极限
6、存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.6/7/6.3第10页，此课件共18页哦例例 3证证故故 。7/7/6.3第11页，此课件共18页哦四、数列极限的性质四、数列极限的性质2.四则运算性质（定理四则运算性质（定理2）1.有界唯一性有界唯一性定理定理1 1 收敛数列有界，且有唯一的一个极限；收敛数列有界，且有唯一的一个极限；注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.结论：结论：无界数列必定发散；极限不唯一的数列无界数列必定发散；极限不唯一的数列必定发散必定发散.3.极限的比较性质（定理极限的比较性质（
7、定理3、4）4.极限的保号性质（定理极限的保号性质（定理3、4的推论）的推论）1/2/6.4第12页，此课件共18页哦例例4证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.所以，有界数列不一定收敛。所以，有界数列不一定收敛。2/2/6.4第13页，此课件共18页哦五、数列收敛判别法五、数列收敛判别法说明：说明：1）n充分大后，有不等式充分大后，有不等式 ；2 2）能确定极限能确定极限 成立成立.求极限：求极限：；1.夹挤原理（两边夹法则）（定理夹挤原理（两边夹法则）（定理5）例例1 1 1/4/6.5第14页，此课件共18页哦解解由夹逼定理
8、得由夹逼定理得说明：说明：必须同时满足单调性和有界性必须同时满足单调性和有界性.已知已知 ，求，求 .2.单调有界收敛原理（定理单调有界收敛原理（定理6）2/4/6.5第15页，此课件共18页哦例例2 2证：证：(舍去舍去)3/4/6.5第16页，此课件共18页哦求极限求极限 和和 .已知已知 求求 。3.一个重要的极限结果（例一个重要的极限结果（例7）4.迭代序列迭代序列 收敛性收敛性 4/4/6.5第17页，此课件共18页哦六六.小结小结数列数列:研究研究n向无穷大变化时一般项的变化趋势向无穷大变化时一般项的变化趋势;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性，唯一性有界性，唯一性.数列收敛判别法数列收敛判别法:夹挤原理，单调有界收敛原理夹挤原理，单调有界收敛原理.第18页，此课件共18页哦