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1、第2讲 命题充要条件第1页，共27页，编辑于2022年，星期一知识梳理 1四种命题四种命题(1)命题是命题是_ _ _，具有，具有“_”的形式的形式(2)一般地，用一般地，用p和和q分别表示命题的条件和结论，用分别表示命题的条件和结论，用p和和 q分别表示分别表示p和和q的的否定，于是四种命题的形式就是：否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若原命题：若p，则，则q；逆命题：逆命题：_；否命题：否命题：_ _ _；逆否命题：逆否命题：_ _ _.(3)四种命题的关系：四种命题的关系：第第2 2讲讲 知识梳理知识梳理若若p，则，则q 若若q，则，则p 若若 p，则，则 q 若若 q，则，则 p
2、能判断真假的陈述句能判断真假的陈述句 第2页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 知识梳理知识梳理2充分条件、必要条件与充要条件的概念充分条件、必要条件与充要条件的概念“若若p，则，则q”为真，即为真，即pq，则，则p是是q的的_，q是是p的的_若若pq且且qp，则，则p是是q的的_ _ _条件，简称条件，简称_ 充分条件充分条件 必要条件必要条件 充分且必要充分且必要 充要条件充要条件 第3页，共27页，编辑于2022年，星期一要点探究探究点探究点1四种命题及相互关系四种命题及相互关系 例例1(1)2010天津卷天津卷 命题命题“若若f(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)是奇
3、函数是奇函数”的否命题是的否命题是()A若若f(x)是偶函数，则是偶函数，则f(x)是偶函数是偶函数 B若若f(x)不是奇函数，则不是奇函数，则f(x)不是奇函数不是奇函数 C若若f(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)是奇函数是奇函数 D若若f(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)不是奇函数不是奇函数 第第2 2讲讲 要点探究要点探究第4页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路将命题写成将命题写成“若若p则则q”的形式，再写出其逆命题、否命的形式，再写出其逆命题、否命题和逆否命题题和逆否命题 答案答案 B解析解析因为一个命题的否命题是对其条件和结论都进
4、行否因为一个命题的否命题是对其条件和结论都进行否定，所以选定，所以选B.第5页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 (2)2010泉州质检泉州质检 命题命题“若若x2y2，则，则xy”的逆否命题是的逆否命题是()A“若若xy，则，则x2y2”B“若若xy，则，则x2y2”C“若若xy，则，则x2y2”D“若若xy，则，则x2y2”思路思路将命题写成将命题写成“若若p则则q”的形式，再写出其逆命题、否命题和逆否命题的形式，再写出其逆命题、否命题和逆否命题 答案答案 C解析解析将条件与结论否定，并互换得：若将条件与结论否定，并互换得：若xy，则，则x2y2，故选，故
5、选C.第6页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 点评点评 原命题写出其他三个命题时，将命题化为原命题写出其他三个命题时，将命题化为“若若p则则q”的形式，利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命题的形式，利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命题当一个命题有大前提而写其他三种命题时，必须保留大前提且不当一个命题有大前提而写其他三种命题时，必须保留大前提且不做改换；另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假做改换；另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假时，可以转化为判断其逆否命题的真假，如：时，可以转化为判断其逆否命题的真假，
6、如：第7页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 (1)命题命题“已知已知c0，若，若ab，则，则acbc”的逆命题的逆命题是是_。解析解析“已知已知c0”是大前提，因此不做改换，而逆命题只是将是大前提，因此不做改换，而逆命题只是将条件与结论互换，因此其逆命题为条件与结论互换，因此其逆命题为“已知已知c0，若，若acbc，则，则ab”答案答案已知已知c0，若，若acbc，则，则ab 第8页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 （2）命题）命题“若若x2且且x4，则，则x22x80”是是_命题命题(填真、假中的一种填真、假中的一种)解
7、析解析命题命题“若若x2且且x4，则，则x22x80”的逆否命题为的逆否命题为“若若x22x80，则，则x2或或x4”，其逆否命题是真命题，其逆否命题是真命题，因此原命题也为真命题因此原命题也为真命题 答案答案 真真 第9页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 （3）2010威海模拟威海模拟 关于命题关于命题“若抛物线若抛物线yax2bxc的开口向下，的开口向下，则则x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是()A都真都真 B都假都假 C否命题真否命题真 D逆否命题真逆否命题真解析解析对于原命题，
8、对于原命题，“若抛物线若抛物线yax2bxc的开口向下，则的开口向下，则x|ax2bxc0”，这是一个真命题，所以逆否命题也为真命题，但其逆命题，这是一个真命题，所以逆否命题也为真命题，但其逆命题，“若若x|ax2bxc0，则抛物线，则抛物线yax2bxc的开口向下的开口向下”是一个是一个假命题，因为当不等式假命题，因为当不等式ax2bxc0且且0，即，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.答案答案 D 第10页，共27页，编辑于2022年，星期一探究点探究点2充要条件的判断充要条件的判断 例例2 (1)2010温州模拟温州模拟
9、已知已知a，b是实数，则是实数，则“a1且且b1”是是“ab2”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路利用定义直接判断利用定义直接判断 答案答案 A解析解析若若a1且且b1，则，则ab2；若；若ab1，则，则a0，b2也符合所以也符合所以“a1且且b1”是是“ab2”的充分不必要条件，故选的充分不必要条件，故选A 点评点评判断充分条件、必要条件的方法有三种：直接法，集合法，等价法判断充分条件、必要条件的方法有三种：直接法，集合法，等价法 第
10、11页，共27页，编辑于2022年，星期一 (2)2010深圳模拟深圳模拟 设集合设集合Mx|x1|2，Nx|x(x3)|0，那么，那么“aM”是是“aN”的的()A必要而不充分条件必要而不充分条件 B充分而不必要条件充分而不必要条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路将条件进行适当的化简，利用集合法并借助数轴进行判断将条件进行适当的化简，利用集合法并借助数轴进行判断 第12页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究答案答案 A解析解析 Mx|1x3，Nx|0 x3，NM，“aM”是是“
11、aN”的必要而不充分条件的必要而不充分条件 点评点评利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而使利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解问题易于求解 第13页，共27页，编辑于2022年，星期一 (3)2010无锡模拟无锡模拟 已知已知P：x2y20(x，yR)，Q：x0或或y0，则，则 P是是Q的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 第第2 2讲讲 要点探究要点探究第14页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探
12、究 思路思路利用等价法进行判断利用等价法进行判断 答案答案 C解析解析 Q：x0且且y0，又命题，又命题P等价于等价于“xy0”，Q是是P的充要条件，的充要条件，P是是Q的充要条件，故选的充要条件，故选C 点评点评对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断等价命题进行判断 第15页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路结合等比中项的性质，利用定义进行判断结合等比中项的性质，利用定义进行判断 第16页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究
13、要点探究答案答案 D点评点评在进行充分条件、必要条件判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个在进行充分条件、必要条件判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键，如：解决问题的关键，如：第17页，共27页，编辑于2022年，星期一第第1 1讲讲 要点探究要点探究 (1)2010长沙模拟长沙模拟 平面平面垂直于平面垂直于平面(、为不重合的平面为不重合的平面)成成立的一个充分条件是立的一个充分条件是()A存在一条直线存在一条直线l，l，l B存在一个平面存在
14、一个平面，C存在一个平面存在一个平面，D存在一条直线存在一条直线l，l，l解析解析对于选项对于选项A，l，l；对于选项；对于选项B，；对于选项对于选项C，当，当，成立时，平面成立时，平面、的关系是不确定的；对于选项的关系是不确定的；对于选项D，当，当l，l成立时，说明在成立时，说明在内必存在一条直线内必存在一条直线m，满足，满足m，从而有，从而有成立成立 答案答案 D 第18页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究 (2)已知已知p是是r的充分条件而不是必要条件，的充分条件而不是必要条件，q是是r的充分条件，的充分条件，s是是r的必要条的必要条件，件，q是是s的必
15、要条件现有下列命题：的必要条件现有下列命题：r是是q的充要条件；的充要条件；q是是p的充分条件的充分条件而不是必要条件；而不是必要条件；r是是q的必要条件而不是充分条件；的必要条件而不是充分条件；p是是 s的必要条件的必要条件而不是充分条件；而不是充分条件；r是是s的充分条件而不是必要条件则不正确命题的序号是的充分条件而不是必要条件则不正确命题的序号是()A B C D 答案答案 C解析解析由已知有由已知有pr，qr，rs，sq.由此得由此得rq且且qr，正确，正确，不正确；不正确；pq，不正确；不正确；等价于等价于ps，正确；，正确；rs且且sr，不正不正确选确选C 第19页，共27页，编辑
16、于2022年，星期一探究点探究点3利用充分、必要条件求参数利用充分、必要条件求参数 例例3 设设p：实数：实数x满足满足x24ax3a20(a0)，设，设q：实数：实数x满足满足x2x60，且，且p是是 q的必要不充分条件，求的必要不充分条件，求a的取值范围的取值范围 第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路利用利用“p是是 q的必要不充分条件的必要不充分条件”的等价命题的等价命题“q是是p的必要的必要不充分条件不充分条件”，并转化为集合间的包含关系求解，并转化为集合间的包含关系求解 第20页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究第21页，共27页，编辑于202
17、2年，星期一探究点探究点4充要条件的探究和证明充要条件的探究和证明 例例4 已知集合已知集合M ，N .求证：求证：MN 的的充要条件是充要条件是a5或或a3 第第2 2讲讲 要点探究要点探究 思路思路 集合集合M与集合与集合N表示二元二次方程的根，其交集为它们联立而得的表示二元二次方程的根，其交集为它们联立而得的方程组的根，利用充分条件和必要条件的定义，通过推证条件与结论之间的推方程组的根，利用充分条件和必要条件的定义，通过推证条件与结论之间的推出关系来证明出关系来证明 第22页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究第23页，共27页，编辑于2022年，星期一第
18、第2 2讲讲 要点探究要点探究 点评点评 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，证明时，分两个环节，一是证明命题的充分性，哪个是结论，证明时，分两个环节，一是证明命题的充分性，即由即由“条件条件”推出推出“结论结论”，二是证明命题的必要性，即由，二是证明命题的必要性，即由“结论结论”推出推出“条件条件”对于充要条件的问题，我们不仅要会用定义进行证明，而且对于充要条件的问题，我们不仅要会用定义进行证明，而且还要掌握充要条件的探求，如：还要掌握充要条件的探求，如：第24页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 要点探究要点探究
19、某同学在一本旧资料看到这样一道题：某同学在一本旧资料看到这样一道题：求证：关于求证：关于x的方程的方程ax2 2x10至少有一负根的充要条件是至少有一负根的充要条件是.由于资料较旧，由于资料较旧，处破损，题目不完整请问破损处的条件是什么，并证明处破损，题目不完整请问破损处的条件是什么，并证明 第25页，共27页，编辑于2022年，星期一规律总结第第2 2讲讲 规律总结规律总结 1在判断四个命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题在判断四个命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原
20、命题，也就相的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的应地有了它的“逆命题逆命题”“否命题否命题”“逆否命题逆否命题”2原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，一真俱真，一假俱假；原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，一真俱真，一假俱假；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假 3判断充分必要条件时，第一是要分清命题的条件与结论；第二是要善于将文字语判断充分必要条件时，第一是要分清命题的条件与结论；第二是要善于将文字语言转化为符号语言进行推理；第
21、三是要注意等价命题的运用；第四是当判断多个命题之言转化为符号语言进行推理；第三是要注意等价命题的运用；第四是当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题直观，易于判断间的关系时，常用图示法，它能使问题直观，易于判断 第26页，共27页，编辑于2022年，星期一第第2 2讲讲 规律总结规律总结4判断命题充要条件的三种方法：判断命题充要条件的三种方法：(1)定义法；定义法；(2)等价法：即利用等价法：即利用AB与与B A；BA与与 A B；AB与与 B A的等价关系，对于条件或结论是不等关系的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式否定式)的命题，一般运用的命题，一般运用等价法；等价法；(3)利用集合间的包含关系判断，若利用集合间的包含关系判断，若AB，则，则A是是B的充分条件或的充分条件或B是是A的的必要条件；若必要条件；若AB，则，则A是是B的充要条件的充要条件第27页，共27页，编辑于2022年，星期一