第二章行列式精选文档.ppt

《第二章行列式精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章行列式精选文档.ppt（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第二章行列式本讲稿第一页，共六十六页2.1 n 阶行列式 1.二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式（对角线法则）对角线法则）本讲稿第二页，共六十六页横排称为行行，纵排称为列.其中aij称为行列式的元素第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示表示该元素所在的列数.本讲稿第三页，共六十六页例例1 1 计算三阶行列式解：解：本讲稿第四页，共六十六页二阶和三阶行列式是最简单的行列式.下面介绍n阶行列式.首先需要弄清楚二阶和三阶行列式的结构规律，分析它们的共性,然后加以推广,给出n阶行列式的定义.为此,需要一些预备知识 .本讲稿第五页，共六十六页2.排列定义:n个数码1,2,n的一个排列指的是由这n个

2、数码组成的一个有序组，记为j1j2 jn n个数码的不同排列共有n(n1)21=n！种例如1234,2314 都是四个数码的排列例如1,2,3这三个数码的所有不同的排列共有3！6种123,132,231,213,312,321本讲稿第六页，共六十六页例如，排列132有一个反序，321有三个反序在一 (132)=1 (321)=3在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个逆序(反序)记为(j1j2 jn)(451362)=个排列里出现的反序总数叫做反序数,反序数为奇数的排列称为奇排列,反序数为偶数的排列称为偶排列.2+4+2+0+0+0=8 (523146

3、879)=3+1+1+1+0+0+1+0+0=7本讲稿第七页，共六十六页在一个排列里，如果交换两个数码 i 和 j 的位置，称为进行了一次对换.定理定理1 定理定理2 在n个数码的所有排列中,奇偶排列各占一半.任一对换(i,j)改变排列的奇偶性.（各为 个）本讲稿第八页，共六十六页3.n阶行列式 有了前面的准备工作,我们可以对二阶和三阶行列式作进一步的研究,从而得出它们的结构规律,利用这些规律来定义 n 阶行列式.仅对三阶行列式加以研究本讲稿第九页，共六十六页1.三阶行列式共有3！项.总结三阶行列式规律如下:3.每一项的元素都有两个下标,第一个下标都是按自然分析二阶行列式也会发现完全类似的规律

4、,根据这个规律来定义n阶行列式.2.三阶行列式的每一项都是三个元素的乘积,这三个元素既位于不同的行,也位于不同的列,而且所有既位于不同的行也位于不同的列的三个元素的乘积都在行列式中出现.顺序排列的,而第二个下标构成三个数码的一切排列,与偶排列对应的项取正号,与奇排列对应的项取负号.本讲稿第十页，共六十六页定义定义 表示的n阶行列式指的是 n！项的代数和.用符号也就是说,当j1j2jn是偶排列时,这一项的符号为正,当j1j2jn是奇排列时,这一项的符号为负.这些项是一切可能的取自的不同的行和不同的列上的n个元素的乘积项 的符号为本讲稿第十一页，共六十六页这一定义又可写成表示对所有的n阶排列求和.

5、一个n阶行列式正是前面二阶和三阶行列式的推广.这里特别地,n=1时,一阶行列式|a|=a (与绝对值不同)注意：对角线法则只适用于二阶和三阶行列式的计算本讲稿第十二页，共六十六页例1 计算解：这是一个四阶行列式，展开后应该有4！项，但是由于出现很多0，所以不为0的项就大大减少了.展开式中项的一般形式为本讲稿第十三页，共六十六页显然，如果 j14,则从而这一项就等于0，因此，只能是 j1=4.同理，只能是 j2=3，j3=2，j4=1即行列式中不为0的项只有因此，D=本讲稿第十四页，共六十六页例2 计算n阶下三角形行列式解:项的一般形式为显然，只能是 j1=1,j2=2,jn=n因此，D=即下三

6、角形行列式等于其主对角线上元素的乘积.本讲稿第十五页，共六十六页同理，上三角形行列式也等于其主对角线上元素的乘积.例3 计算本讲稿第十六页，共六十六页思考题：如何计算下面的行列式和本讲稿第十七页，共六十六页定理3 项在行列式中的符号为其中，s=(i1i2in),t=(j1j2jn)推论 项在行列式中的符号为本讲稿第十八页，共六十六页性质1 行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然例如容易算出 D=60，DT=60.2.2 行列式的性质本讲稿第十九页，共六十六页性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号推论 若行列式两

7、行(列)完全相同，则此行列式为零本讲稿第二十页，共六十六页将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后，中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式余子式，为 的代数余子式代数余子式本讲稿第二十一页，共六十六页性质3 行列式按行（列）展开法则 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 或 本讲稿第二十二页，共六十六页推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 或 即等于零.本讲稿第二十三页，共六十六页性质4 把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用此数乘行列式推论1 行列式某一行

8、（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2 若行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零本讲稿第二十四页，共六十六页性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：本讲稿第二十五页，共六十六页则D等于下面两个行列式之和：本讲稿第二十六页，共六十六页计算行列式的一种基本方法是利用性质将其化成三角行列式后计算性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变本讲稿第二十七页，共六十六页例1 计算本讲稿第二十八页，共六十六页解：本讲稿第二十九页，共六十六页本讲

9、稿第三十页，共六十六页例2 计算解：把第2，3，4列均加到第一列上，得到本讲稿第三十一页，共六十六页本讲稿第三十二页，共六十六页例3 计算本讲稿第三十三页，共六十六页解:本讲稿第三十四页，共六十六页例4 计算本讲稿第三十五页，共六十六页例5计算设A41+A42+A43+A44(Aij为aij的代数余子式)解:根据性质3的推论,第2行各元素与第4行对应元素的代数余子式乘机之和等于0,所以A41+A42+A43+2A44=0 A41+A42+A43+A44=A44即本讲稿第三十六页，共六十六页又因为所以A41+A42+A43+A44=9本讲稿第三十七页，共六十六页*例6这里记号“”表示全体同类因子

10、的乘积证明范德蒙（Vandermode）行列式本讲稿第三十八页，共六十六页证:用数学归纳法为此，从第n行开始，后行减去前行的 x1倍，所以,当n=2时等式成立.现假设等式对 n1阶范德蒙行列式成立.要证明等式对n阶范德蒙行列式也成立,因为则有本讲稿第三十九页，共六十六页就有按第一列展开，并把每列的公因子提出，本讲稿第四十页，共六十六页故上式右端的行列式是一个 n1阶范德蒙行列式,其中按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积本讲稿第四十一页，共六十六页解 行列式中每行元素之和均为 ，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行减去第1行：例7 计算n阶行列式本讲稿第四十二页，共六十六页本

11、讲稿第四十三页，共六十六页本讲稿第四十四页，共六十六页 在上述诸例的计算过程中，起关键作用的是性质3，6，特别是性质6，即运算 ri+krj,其它几种运算只是使计算过程变得简单一点而已 稍作分析，便不难发现任何行列式总能利用运算ri+krj化为上三角行列式，或化为下三角行列式类似地，利用运算ci+kcj也可把行列式化为上三角行列式或下三角行列式本讲稿第四十五页，共六十六页例8 设证明证明 本讲稿第四十六页，共六十六页证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为本讲稿第四十七页，共六十六页于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行

12、列式即本讲稿第四十八页，共六十六页例9 计算n阶行列式本讲稿第四十九页，共六十六页解：按第1列展开，得本讲稿第五十页，共六十六页这个式子对于任何n(n2)都成立.因此有而所以本讲稿第五十一页，共六十六页本讲稿第五十二页，共六十六页2.3 克克莱姆（Cramer）法则）法则对于方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组有下面的定理本讲稿第五十三页，共六十六页定理定理1（克（克莱姆法则）法则）如果线性方程组（1）的系数矩阵的行列式D=|A|0，那么线性方程组（1）有解并且解是唯一的，解可以通过系数表示为本讲稿第五十四页，共六十六页注意：将行列式注意：将行列式 按第按第 列展开，显然列展开，显然其

13、中 是把矩阵 中的第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵行列式，即 本讲稿第五十五页，共六十六页对于齐次线性方程组显然 一定是解，称为零解.将克克莱姆法则用于齐次线性方程组（5），可得定理1 如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。本讲稿第五十六页，共六十六页定理2 如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵的行列式D=|A|0，那么它只有零解.也就是说，如果方程组（5）有非零解，那么必有D=|A|=0本讲稿第五十七页，共六十六页例例1:解方程组解方程组 本讲稿第五十八页，共六十六页因为因为D0,所以，根据所以，根据Cramer 规则规则，它有唯一解，它有唯一解 解解:系数

14、行列式系数行列式本讲稿第五十九页，共六十六页因此本讲稿第六十页，共六十六页解：由定理2，如果方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式例2：为何值时，齐次线性方程组有非零解？本讲稿第六十一页，共六十六页由此得本讲稿第六十二页，共六十六页将行列式化为上（下）三角行列式来计算，这是计算行列式的最常用方法.第二章第二章 小结小结计算行列式的方法计算行列式的方法特殊的行列式或者是大多数元素为零的行列式的计算.(1)利用行列式的定义计算：但这种方法只适用于一些(2)利用行列式的性质计算：利用行列式的基本性质(3)利用降阶法计算：利用按行（列）展开公式将高阶行列式化为低阶行列式来计算.本讲稿第六十三页，共六

15、十六页(4)利用递推关系计算：利用行列式的性质或展开公式找出递推关系来进行计算，此方法一般适用于含有字母的行列式的计算。(5)利用升阶法计算：在行列式值不变的情况下，加上特殊的一行和一列进行计算。(6)利用范德蒙行列式计算：此方法仅适用于特殊的行列式的计算。本讲稿第六十四页，共六十六页例例1:填空题填空题(1)在五阶行列式中,项a12 a31 a54 a43 a25的符号为 (2)在四阶行列式中，带负号且包含因子a23和a31的项为(3)在n阶行列式中，如果负项的个数为偶数，则n (4)如果n阶行列式中等于0的元素个数大于n2n，那么此行列式的值为 (5)若a1i a23 a35 a5j a44是五阶行列式中带正号的一项,则i=,j=.本讲稿第六十五页，共六十六页(8)排列i1i2in可经过 次对换变为inin1i2i1.(7)设，是方程 x3+px+q=0的三个根，则行列式(6)在n阶行列式D中，当ij时，aij=0(ij=1,2,n)，则D=解：解：(1)正(2)a14 a23 a31 a42(4)0(3)4(5)1,2(6)a11 a22 ann(7)0(8)本讲稿第六十六页，共六十六页