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1、第三讲平均数标准差第三讲平均数标准差和变异系数和变异系数本讲稿第一页，共四十一页第三章第三章 平均数、标准平均数、标准差和变异系数差和变异系数平均数（平均数（meanmean）用于反映资料的集中性，即观测）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。值以某一数值为中心而分布的性质。标准差（标准差（standard deviationstandard deviation）与变异系数（）与变异系数（variation variation coefficientcoefficient）反映资料的离散性，即观测值分散变）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。异的性质。本讲稿第二页，
2、共四十一页第一节第一节 平均数平均数一、平均数的意义和种类二、算术平均数的计算方法三、算术平均数的重要特性四、算术平均数的作用五、总体平均数本讲稿第三页，共四十一页一、平均数的意义和种类一、平均数的意义和种类 平均数平均数(average)是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：1.1.算术平均数（arithmetic mean）2
3、.2.中位数（中位数（median）3.3.众数（modemode）4.4.几何平均数（几何平均数（geometric meangeometric mean）5.5.调和平均数（harmonic mean）本讲稿第四页，共四十一页 算术平均数:一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数(arithmetic mean)，记作 。因其应用广泛，常简称平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观察值。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均数平均数=5平均数平均数=6 1 2 3 4 5 6 7 141、算术平均数、算术平均数本讲稿第五页，共四十一页2、
4、中位数、中位数 中位数中位数:将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数(median)，计作，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的由
5、小到大依次排列，找到中间的1个数（个数（n为奇数）或为奇数）或2个数（个数（n为偶数），之后求平均为偶数），之后求平均即可。即可。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中位数中位数=5中位数中位数=5本讲稿第六页，共四十一页众数众数:资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数(mode)，记为，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。3、众数、众数众数可能不存在众数可能不存在可能有多个众数可能有多个众数多用于属性数据多用
6、于属性数据0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 众数众数=9没有众数没有众数本讲稿第七页，共四十一页几何平均数几何平均数:如有如有n个观察值，其相乘积开个观察值，其相乘积开n次方，即次方，即为几何平均数为几何平均数(geometric mean)，用，用G代表。代表。其计算其计算公式如下：公式如下：4、几何平均数、几何平均数本讲稿第八页，共四十一页 为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以n，得，得lgG，再求，再求lgG的反对数，即得的反对数，即得G值，即：值，即：本讲稿第九页，共四十一页 调和平均数调和平均数:（h
7、armonic mean）各观测值倒）各观测值倒数的数的 算术平均数算术平均数 的倒数，称为调和平均数，记的倒数，称为调和平均数，记为为H。即。即 （4.6）5、调和平均数、调和平均数本讲稿第十页，共四十一页对于同一资料：对于同一资料：算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。本讲稿第十一页，共四十一页 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。用直接法或加权法计算。(一一)直接法直接法主要用于未经分组资料平均数的计算。主要用于未经分组资料平均
8、数的计算。二、算术平均数的计算方法二、算术平均数的计算方法本讲稿第十二页，共四十一页 设某一资料包含设某一资料包含n个观测值：个观测值：x1、x2、xn，则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：（4.1）简写：简写：本讲稿第十三页，共四十一页【例【例1】某植保站测得某植保站测得10只某类害虫的体重分别为只某类害虫的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（mg），），求其平均数。求其平均数。由于由于 x=500+520+535+560+585 +600+480+510+505+490 =5285，n=10得：得：即即 10只害虫的
9、平均体重为只害虫的平均体重为528.5 mg。本讲稿第十四页，共四十一页（二）加权法（二）加权法（4.2）式中式中：xi-第第i 组的组中值组的组中值；fi-第第i组的次数组的次数；k-分组数分组数 第第i组的次数组的次数 fi 是权衡第是权衡第i组组中值组组中值 xi 在资料中所占比重大在资料中所占比重大小的数量，因此将小的数量，因此将 fi 称为是称为是 xi 的的“权权”，加权法也由此而得，加权法也由此而得名。名。对于样本含量对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以在以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计
10、算公式为：为：本讲稿第十五页，共四十一页【例【例2】从从A、B两小区分别抽取两小区分别抽取4个和个和5个小麦麦穗，测得个小麦麦穗，测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。本讲稿第十六页，共四十一页【例【例3】140行水稻产量（行水稻产量（P38），用两种方法求其平均数，），用两种方法求其平均数，并比较计算结果。并比较计算结果。（1）直接法：）直接法：本讲稿第十七页，共四十一页（2）加权法：）加权法：本讲稿第十八页，共四十一页 1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。2、如果、如果
11、是是n1个值的平均数个值的平均数,是是n2个值的个值的平均数，那么全部平均数，那么全部n1n2个值的算术平均数是个值的算术平均数是 （加（加权权平均数）平均数）三、算术平均数的重要特性三、算术平均数的重要特性本讲稿第十九页，共四十一页 3、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。均差之和等于零。或简写成或简写成本讲稿第二十页，共四十一页 4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。平方和为最小。（常数（常数 ）或简写为：或简写为：本讲稿第二十一页，共四十一页5、若、若A为
12、任意常数，为任意常数，本讲稿第二十二页，共四十一页6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。注意：注意：必须性状同质时，必须性状同质时，才有代表性才有代表性。本讲稿第二十三页，共四十一页本讲稿第二十四页，共四十一页 算术算术算术算术平均数是描述观测资料的重要特征数，它的平均数是描述观测资料的重要特征数，它的作用主要有以下两点：作用主要有以下两点：1.指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平。性状的数量水平和质量水平。2.可以作为样本或资料的代表数据与其他资料可以作为样本或资料的代表数据与
13、其他资料进行比较。进行比较。四、算术平均数的作用四、算术平均数的作用本讲稿第二十五页，共四十一页 对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用表示总体平均数，有限总体的平均数表示总体平均数，有限总体的平均数为：为：（4.3）式中，N 表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）的估计）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计
14、量。的无偏估计量。五、总体平均数五、总体平均数本讲稿第二十六页，共四十一页第二节第二节 变异数变异数 平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有一批观察值，中各观测值变异程度的影响。每个样本有一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的统计数。常
15、用的描述变异程度指标有：有度量变异的统计数。常用的描述变异程度指标有：1、极差（、极差（range）2 2、方差（、方差（variancevariance）3 3、标准差（、标准差（standard deviationstandard deviation）4 4、变异系数（、变异系数（variation coefficientvariation coefficient）本讲稿第二十七页，共四十一页一、极差一、极差n n极差(range)，又称全距，记作R，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。n n极差虽可以对资料的变异有所说明，但它只是两个极端数据决定的，没有充分利用资料的全部信息，而且易于
16、受到资料中不正常的极端值的影响。所以用它来代表整个样本的变异度是有缺陷的。本讲稿第二十八页，共四十一页二、方差二、方差n n为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。本讲稿第二十九页，共四十一页 为为 了了 准准 确确 地地 表示样本内各个观测值的变异程度表示样本内各个观测值的变异程度，人们，人们 首首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的先会考虑到以平均数为
17、标准，求出各个观测值与平均数的离差，离差，()，称为离均差。，称为离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负但因为离均差有正、有负，离均差之和，离均差之和 为零，即为零，即()=0，因，因 而而 不不 能能 用离均差之和用离均差之和()来来 表表 示示 资料中所有资料中所有观测值的总偏离程度。观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问、有负，离均差之和为零的问 题，可先求题，可先求 离离 均均 差的绝差的绝 对对 值值 并并 将将 各各 离离 均均 差差 绝对绝对 值
18、值 之之 和和 除以除以 观观 测测 值值 个个 数数n 求求 得得 平平 均均 绝绝 对对 离差，即离差，即|x x|/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，使用很不方便，在统计学中未被采用。在统计学中未被采用。本讲稿第三十页，共四十一页 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。差有正、有负，且离均差之和为零的问题。先将各先将各 个离个离 均差平方，即均差平方，即(
19、)2，再求，再求 离离均差平方和均差平方和，即即 ，简称平方和，记为，简称平方和，记为SS；由由 于于 离差平方和离差平方和 常常 随随 样样 本本 大大 小小 而而 改改 变变，为为 了了 消消 除除 样样 本大小本大小 的的 影影 响响，用平方和用平方和 除除 以以 样样 本本 大大 小，小，即即 ，求出离均差平方和的，求出离均差平方和的平均数平均数；本讲稿第三十一页，共四十一页 为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量分母不用样本含量n，而
20、用自由度，而用自由度 n-1，于是，我们于是，我们 采采 用统计量用统计量 表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。统计量统计量 称为均方（称为均方（mean square,缩缩写为写为MS）,又称又称样本方差样本方差，记为，记为S2，即，即 S2=（4.7）本讲稿第三十二页，共四十一页 相应的总体参数叫相应的总体参数叫 总体方差总体方差，记为，记为2。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，2的计算公式的计算公式为：为：（4.8）本讲稿第三十三页，共四十一页n n标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：同样，样本标准差是总体标
21、准差的估计值。总体标准差用表示：本讲稿第三十四页，共四十一页 由于由于 样本方差样本方差 带有原观测单位的带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这用，这 时应时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为的平方根叫做样本标准差，记为S，即：，即：三、标准差三、标准差本讲稿第三十五页，共四十一页由于由于所以（所以（4.9）式可改写为
22、：）式可改写为：（4.10）本讲稿第三十六页，共四十一页 相应的总体参数叫总体标准差，记为相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于。对于有限总体而言，有限总体而言，的计算公式为：的计算公式为：（4.11）在统计学中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差估计总体标准差。本讲稿第三十七页，共四十一页四、变异系数四、变异系数 标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样本的标准差对均能用标准差进行
23、直接比较。这时可计算样本的标准差对均数的百分数，称为变异系数数的百分数，称为变异系数(coefficient of variation)(coefficient of variation)。变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、不同变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、不同尺度下各样本变异程度的比较。尺度下各样本变异程度的比较。本讲稿第三十八页，共四十一页【例【例7】已知某甲品种猪平均体重为已知某甲品种猪平均体重为 190kg，标准差为标准差为10.5kg，而乙品种猪平均体重为，而乙品种猪平均体重为196kg，标，标准差为准差为8.5kg，试问两个品种的猪，那一个体重变，试问两个品种的猪，那一个体重变异程度大。异程度大。本讲稿第三十九页，共四十一页由于，甲品种猪体重的变异系数：由于，甲品种猪体重的变异系数：乙品种猪体重的变异系数：乙品种猪体重的变异系数：所以，甲品种猪体重的变异程度大于乙品种所以，甲品种猪体重的变异程度大于乙品种猪猪。本讲稿第四十页，共四十一页注意：变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。课后作业，教材23页：习题2.2；习题2.3；习题2.4；习题2.9本讲稿第四十一页，共四十一页