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1、第一章 矢量分析 比赛 试讲1第1页，共30页，编辑于2022年，星期一本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理2第2页，共30页，编辑于2022年，星期一1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状
2、态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 3第3页，共30页，编辑于2022年，星期一2.矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内
3、指向外，矢量场对闭合曲面的通量是向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量4第4页，共30页，编辑于2022年，星期一通过闭合曲面有净通过闭合曲面有净的矢量线穿出的矢量线穿出有净的矢量有净的矢量线进入线进入进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义5第5页，共30页，编辑于2022年，星期一3.矢量场的散度
4、矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度是矢量通过包含该点的散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量任意闭合小曲面的通量与与曲面元体积曲面元体积之比之比的极限。的极限。6第6页，共30页，编辑于2022年，星期一圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公
5、式：7第7页，共30页，编辑于2022年，星期一直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所为一直平行六面体，如图所示。则示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP8第8页，共30页，编辑于2022年，星期一根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由
6、点P 穿穿出该六面体的净通量为出该六面体的净通量为9第9页，共30页，编辑于2022年，星期一4.散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。10第10页，共30页，编辑于2022年，星期一1.5 矢量场的环流与
7、旋度矢量场的环流与旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。11第11页，共30页，编辑于2022年，星期一 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，
8、即成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线12第12页，共30页，编辑于2022年，星期一q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场无旋场，又称为又称为保守场保守场。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，的线积分，即即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于
9、任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢有旋矢量场量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋涡源。电流是磁场的旋涡源。13第13页，共30页，编辑于2022年，星期一 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。2.矢量场的旋度矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密度称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。特点特点：
10、其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限14第14页，共30页，编辑于2022年，星期一而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、的表达式的表达式15第15页，共30页，编辑于2022年，星期一于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度
11、为一矢量，其数值为M 点的环流点的环流 面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度16第16页，共30页，编辑于2022年，星期一旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系17第17页，共30页，编辑于2022年，星期一旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零18第18页，共30页，编辑于
12、2022年，星期一3.斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线积分定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应式，也在电磁理论中有广泛的应用。用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即19第19页，共30页，编辑于2022年，星期一4.散度和旋度的区别散度和旋度的区别 20第20页，共30页，
13、编辑于2022年，星期一1.矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于
14、路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场21第21页，共30页，编辑于2022年，星期一2.矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场22第22页，共30页，编辑于2022年，星期一（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性
15、质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场23第23页，共30页，编辑于2022年，星期一（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分24第24页，共30页，编辑于2022年，星期一1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标
16、系直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系25第25页，共30页，编辑于2022年，星期一 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：26第26页，共30页，编辑于2022年，星期一2.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式：根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以
17、上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向上方向上的偏导数。的偏导数。27第27页，共30页，编辑于2022年，星期一基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理反映
18、了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。28第28页，共30页，编辑于2022年，星期一亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 式中：式中：亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理29第29页，共30页，编辑于2022年，星期一有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。30第30页，共30页，编辑于2022年，星期一