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1、集合与代数第1页，此课件共50页哦 1.2 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换一、引一、引 入入二、高斯消元法与初等变换二、高斯消元法与初等变换三、初等矩阵三、初等矩阵2第2页，此课件共50页哦一、引入一、引入3第3页，此课件共50页哦齐次齐次方程组方程组：AX=0;非齐次非齐次方程组方程组：AX=b,b 0 (b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零)为为AX=b的的解解：AX=b 成立成立.问题问题方程组何时有解方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其全部解？定义定义4第4
2、页，此课件共50页哦引例引例求解线性方程组求解线性方程组分析用分析用消元法消元法解下列方程组的过程解下列方程组的过程二、高斯消元法与初等变换二、高斯消元法与初等变换5第5页，此课件共50页哦解解6第6页，此课件共50页哦用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解：7第7页，此课件共50页哦于是解得于是解得8第8页，此课件共50页哦小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法.2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换三种变换（1）交换方程次序交换方程次序；（2）以不等于以不等于的数乘某个方程的数乘某个方程；（3）一个方程加上另
3、一个方程的一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）称以上三种变换称以上三种变换为线性方程组的为线性方程组的初等变换初等变换.（以替换）（以替换）9第9页，此课件共50页哦方程组与其增广矩阵方程组与其增广矩阵一一 一对应一对应.若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际实际上是对上是对方程组对应的矩阵进行行变形，这种变形就是矩阵的方程组对应的矩阵进行行变形，这种变形就是矩阵的初初等变换等变换.10第10页，此课件共50页哦定义定义下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等初等行行变换变换:同理同理 可定义矩阵的可定义矩
4、阵的初等初等列列变换变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)11第11页，此课件共50页哦矩阵的矩阵的初等变换初等变换通常称通常称 (1)对换变换对换变换;(2)倍乘变换倍乘变换;(3)倍加变换倍加变换初等变换的初等变换的逆变换逆变换仍为初等变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换初等初等列列变换变换初等初等行行变换变换12第12页，此课件共50页哦用矩阵的用矩阵的初等行变换初等行变换 解方程组解方程组（1）：）：13第13页，此课件共50页哦方程组方程组的解为：的解为：14第14页，此课件共50页哦高斯消元法高斯消元法就是对就是对增广增广
5、矩阵实施矩阵实施行行行行初等变换化为初等变换化为简化行阶梯形简化行阶梯形矩阵矩阵,达到达到消元消元与与求解求解方程的目的方程的目的.15第15页，此课件共50页哦行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵例如例如特点特点(1)可划出一条可划出一条阶梯线阶梯线，线的下，线的下方全为零；方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元非零行的第一个非零元16第16页，此课件共50页哦不是行阶梯形不是行阶梯形矩阵矩阵.不是行阶梯形不是行阶梯形矩阵矩阵.下列矩阵下列矩阵
6、是否是行阶梯是否是行阶梯矩阵矩阵?是行阶梯形是行阶梯形矩阵矩阵.练习17第17页，此课件共50页哦例如例如简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵（1）是行阶梯矩阵；）是行阶梯矩阵；（2）每一非零行的第一个非零元素为数）每一非零行的第一个非零元素为数1；且且1所在的列的其余元素均为所在的列的其余元素均为0.18第18页，此课件共50页哦注注 对于任何矩阵，总可以经过有限次初等对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行行变换把它变换把它变为变为简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵.19第19页，此课件共50页哦例例 利用矩阵的初利用矩阵的初 等行变换等行变换,将将A化成化成简化行阶梯简化行阶梯形矩阵形矩阵.解解2
7、0第20页，此课件共50页哦(行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵)21第21页，此课件共50页哦(简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵 )22第22页，此课件共50页哦线性方程组线性方程组一般情形一般情形 对其对其增广增广矩阵作矩阵作初等初等行行变换变换，总可以化为如，总可以化为如下形式的下形式的简化行阶梯矩阵简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的（必要时交换未知量的下标）下标）23第23页，此课件共50页哦24第24页，此课件共50页哦这个方程组与原方程组这个方程组与原方程组同解同解,25第25页，此课件共50页哦自由未知量自由未知量.解为解为26第26页，此课件共50页哦当方程为当方程为齐次齐次方程组时，方
8、程组时，齐次齐次方程组方程组至少有一组零解至少有一组零解特别地，特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组方程个数少于未知量个数的齐次方程组一定有一定有非零解非零解.27第27页，此课件共50页哦例例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解28第28页，此课件共50页哦由此即得由此即得29第29页，此课件共50页哦例例 解方程组解方程组解解方程无解方程无解.30第30页，此课件共50页哦例例 解线性方程组解线性方程组解解行行31第31页，此课件共50页哦对应的方程组为对应的方程组为即即简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵为方程组的全部解为方程组的全部解.32第32页，此课件共50页哦等价关系的性
9、质等价关系的性质具有上述三条性质的关系称为具有上述三条性质的关系称为等价等价例如例如,两个线性方程组同解也可作为一种等价关系两个线性方程组同解也可作为一种等价关系.就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价矩阵的等价矩阵的等价33第33页，此课件共50页哦定义定义 由由单位矩阵单位矩阵 I 经过经过一次一次初等变换得到的方初等变换得到的方 阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵三、初等矩阵34第34页，此课件共50页哦第第 列列第第 列列
10、(1)对调对调I中对调两行或两列，得中对调两行或两列，得初等初等对换对换矩阵矩阵.35第35页，此课件共50页哦第第 列列(2)以以数数乘乘I 中某行或某列中某行或某列，得得初等初等倍乘倍乘矩阵矩阵.36第36页，此课件共50页哦第第 列列第第 列列得得初等初等倍加倍加矩阵矩阵.37第37页，此课件共50页哦例例 计算计算k38第38页，此课件共50页哦定理定理设设A是是m n矩阵，对矩阵，对A施行一次初等施行一次初等行行变换，相当变换，相当于在于在A的的左左边乘一个相应的边乘一个相应的m阶初等矩阵；对施行阶初等矩阵；对施行一次初等一次初等列列变换，相当于在变换，相当于在A的的右右边乘一个边乘
11、一个n阶相阶相应的初等矩阵应的初等矩阵.39第39页，此课件共50页哦一般结论一般结论40第40页，此课件共50页哦对矩阵作一次初等对矩阵作一次初等行行(列列)变换变换在矩阵在矩阵左边左边(右边右边)乘以一个初等矩乘以一个初等矩阵阵同样的行为同样的行为初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系初等变换与初等矩阵的关系矩阵的初等变换可看成矩阵的一矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算种运算.41第41页，此课件共50页哦“左乘行，右乘列左乘行，右乘列”定理的应用：定理的应用：1.1.若矩阵若矩阵B是经有限次行初等变换得到的，则存在是经有限次行初等变换得到的，则存在 有限
12、个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得2.2.若矩阵若矩阵B是经有限次列初等变换得到的，则存在是经有限次列初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵E1,Ek,使得使得3.3.若矩阵若矩阵B是经有限次初等变换得到的，则存在是经有限次初等变换得到的，则存在 有限个初等矩阵有限个初等矩阵P1,Pk,Q1,Qt使得使得42第42页，此课件共50页哦解解例例 43第43页，此课件共50页哦 例例 设矩阵设矩阵44第44页，此课件共50页哦例例 设有线性方程组设有线性方程组解解45第45页，此课件共50页哦46第46页，此课件共50页哦其其解解为为47第47页，此课件共50页哦这时又分两种情形这时又分两种情形：48第48页，此课件共50页哦小小 结结1.初等行初等行(列列)变换变换3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.初等变换初等变换49第49页，此课件共50页哦5.线性方程组的增广矩阵；线性方程组的增广矩阵；6.利用矩阵的利用矩阵的初等行变换初等行变换解线性方程组解线性方程组.目标为化方程组的增广矩阵为目标为化方程组的增广矩阵为简化行阶梯形矩阵简化行阶梯形矩阵，从，从而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多而判断方程组是否有解，有解时有唯一解还是无穷多解解.4.单位矩阵单位矩阵I 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换50第50页，此课件共50页哦