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1、第七节 偏导数的几何应用第1页，共31页，编辑于2022年，星期二1.设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面第2页，共31页，编辑于2022年，星期二考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以第3页，共31页，编辑于2022年，星期二曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.第4页，共31页，编辑于2022年，星期二法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.第5页，共31页，编辑于2
2、022年，星期二解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程第6页，共31页，编辑于2022年，星期二2.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为例例2第7页，共31页，编辑于2022年，星期二3.空间曲线方程为空间曲线方程为第8页，共31页，编辑于2022年，星期二也可直接用求导公式：也可直接用求导公式：第9页，共31页，编辑于2022年，星期二切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为第10页，共31页，编辑于2022年，星期二方法方法2第11页，共31页，编辑于2022年，星期二第12页，共31页，编辑于2022年，星期二所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为第1
3、3页，共31页，编辑于2022年，星期二第14页，共31页，编辑于2022年，星期二所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为第15页，共31页，编辑于2022年，星期二1.设曲面方程为设曲面方程为二、曲面的切平面与法线引理引理第16页，共31页，编辑于2022年，星期二曲线在曲线在M0处的切向量处的切向量证证 设设M0(x0,y0,z0)为曲面上一定点，在曲为曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点面上任取一条通过点M0的曲线的曲线第17页，共31页，编辑于2022年，星期二第18页，共31页，编辑于2022年，星期二可见可见第19页，共31页，编辑于2022年，星期二第20页，共31
4、页，编辑于2022年，星期二法线方程为法线方程为由前面的讨论可知曲面在由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即处的法向量即所以切平面方程为所以切平面方程为第21页，共31页，编辑于2022年，星期二解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程第22页，共31页，编辑于2022年，星期二2.空间曲面方程为空间曲面方程为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令第23页，共31页，编辑于2022年，星期二其中其中第24页，共31页，编辑于2022年，星期二解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为第25页，共31页，编辑于2022年，星期二解解设
5、设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得第26页，共31页，编辑于2022年，星期二因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)第27页，共31页，编辑于2022年，星期二曲面的夹角曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在度，则称这两个曲
6、面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。面为正交曲面。例例 7 证明对任意常数证明对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。第28页，共31页，编辑于2022年，星期二即即证明证明球面球面 的法线方向数为的法线方向数为锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。第29页，共31页，编辑于2022年，星期二解解设切点设切点依题意知法向量为依题意知法向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程第30页，共31页，编辑于2022年，星期二空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结第31页，共31页，编辑于2022年，星期二