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1、高等数学几何应用方向导数梯度18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1 1第1页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2 2复习复习:平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线切线方程切线方程法线方程法线方程若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为故在点故在点切线方程切线方程法线方程法线方程在点在点有有有有因因 第2页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用
2、几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3 3第3页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4 4一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置位置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停第4页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8
3、_7 8_7方向导数方向导数5 51.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程第5页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数6 6此处要求此处要求也是法平面的法向量也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量.如个别为如个别为0,则理解为分子为则理解为分子为 0.不全为不全为0,因此得因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数若引进向量函数,则则 为为 r(t)的矢端曲线的矢端曲线,处的导向量处的导向量 就是该点的切向量就是该点的切向
4、量.第6页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数7 7例例1.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解:由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在,故故第7页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数8 82.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线光滑曲线当当曲线上一点曲线上一点,且有且有时时,可表示为可表示为处的切向
5、量为处的切向量为 第8页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数9 9则在点则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有或或第9页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1010也可表为也可表为法平面方程法平面方程第10页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1111例例2.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与
6、法平面方程处的切线方程与法平面方程.切线方程切线方程解法解法1 令令则则即即切向量切向量第11页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1212法平面方程法平面方程即即解法解法2.方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得第12页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1313切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即点点 M(1,2,1)处的处的切
7、向量切向量第13页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1414解法解法3.3.M(1,2,1)=(1,2,1)下面的解法相同。下面的解法相同。第14页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1515二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引
8、一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上.第15页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1616证证:在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的平面上的平面上,从而切平面存在从而切平面存在.第16页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8
9、_7方向导数方向导数1717曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程第17页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1818曲面曲面时时,则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时,切平面方程切平面方程第18页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数1919法向量法向量用用将将法向
10、量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,第19页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2020例例3.求球面求球面在点在点(1,2,3)处的切处的切平面及法线方程平面及法线方程.解解:所以球面在点所以球面在点(1,2,3)处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令第20页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向
11、导数方向导数2121例例4.确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解:二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切,故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面,因此有因此有第21页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数22221.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程1)参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结第22页，此课件共54页哦18 18 九月九
12、月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2323切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2)一般式情况一般式情况.第23页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2424空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1)隐式情况隐式情况.的的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线第24页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何
13、中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2525空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量第25页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2626思考与练习思考与练习1.如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切,提示提示:设切点为设切点为则则(二法向量平行二法向量平行)(切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)第26页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中
14、的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2727证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此2.设设 f(u)可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为点的切平面为第27页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数28283.求曲线求曲线在点在点(1,1,1)的切线的切线解解:点点(1,1,1)处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切
15、线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.第28页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数2929 4.证明曲面证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立.的所有切平面恒的所有切平面恒第29页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3030 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度
16、 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度第30页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3131一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数若函数则称则称为函数在点为函数在点 P 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数.在点在点 处处沿方向沿方向 l(方向角为方向角为)存在下列极限存在下列极限:记作记作 第31页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3232定理定理:则函数在该点则函数在该点沿任意方
17、向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在,证明证明:由函数由函数且有且有在点在点 P 可微可微,得得故故第32页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3333对于二元函数对于二元函数为为,)的方向导数为的方向导数为特别特别:当当 l 与与 x 轴同向轴同向 当当 l 与与 x 轴反向轴反向向角向角第33页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3434例例1.求函数求函数 在点在点 P(1,1,1)沿向量沿向
18、量的方向导数的方向导数.解解:向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为第34页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3535例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为第35页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3636例例3.设设是曲面是曲面在点在点 P(1,1,1)处处指向外侧的法向量指向外侧的法向量,解解:方向余弦为方向余弦为而而同
19、理得同理得方向方向的方向导数的方向导数.在点在点P 处沿处沿求函数求函数第36页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3737二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：第37页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数38381.定义定义即即同样可定义二元函数同样可定义
20、二元函数称为函数称为函数 f(P)在点在点 P 处的梯度处的梯度记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义第38页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数3939函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线或等值线),称为函数称为函数 f 的的等值线等值线.则则L*上点上点P 处的法向量为处的法向量为 同样同样,对应函数对应函数有等值面有等
21、值面(等量面等量面)当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时,其上其上 点点P处的法向量为处的法向量为指向函数增大的方向指向函数增大的方向.第39页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数40403.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式第40页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4141例例4.证证:试证试证处矢径处矢径 r 的模的模,第41页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6
22、D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4242三、物理意义三、物理意义函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场(数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数可微函数梯度场梯度场(势势)如如:温度场温度场,电位场等电位场等如如:力场力场,速度场等速度场等(向量场向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.第42页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4343例例5.已知位于坐标原点的点电荷已知位于坐标原点的点电荷 q 在任
23、意点在任意点试证试证证证:利用例利用例4的结果的结果 这说明场强这说明场强:处所产生的电位为处所产生的电位为垂直于等位面垂直于等位面,且指向电位减少的方向且指向电位减少的方向.第43页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4444内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数三元函数 在点在点沿方向沿方向 l(方向角方向角的方向导数为的方向导数为 二元函数二元函数 在点在点的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向 l(方向角为方向角为第44页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6
24、D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数45452.梯度梯度 三元函数三元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为 二元函数二元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.第45页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4646思考题思考题第46页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4747思考题
25、解答思考题解答第47页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4848第48页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数4949思考与练习思考与练习1.设函数设函数(1)求函数在点求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线处沿曲线在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在求函数在 M(1,1,1)处的梯度与处的梯度与(1)中切线方向中切线方向 的夹角的夹角 .2.P73 题题 16第49页，此课件共54
26、页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5050第50页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5151曲线曲线1.(1)在点在点解答提示解答提示:函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量处切线的方向向量第51页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数52522.P73 题题 16第52页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5353备用题备用题 1.函数函数在点在点处的梯度处的梯度解解:则则注意注意 x,y,z 具有轮换对称性具有轮换对称性(考研题考研题)第53页，此课件共54页哦18 18 九月九月 2022 2022D8_6D8_6几何中的应用几何中的应用 8_7 8_7方向导数方向导数5454指向指向 B(3,2,2)方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A(1,0,1)处沿点处沿点A2.函数函数提示提示:则则(考研题考研题)第54页，此课件共54页哦