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1、第5章恒定电流的电场和磁场第1页，共102页，编辑于2022年，星期一第第25.26学时学时5.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 5.1.1 电流密度电流密度 电流密度 返回第2页，共102页，编辑于2022年，星期一设通过S的电流为I，则该点处的电流密度电流密度 J为 电流密度的单位是安培/米3(A/m3)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场矢量场。称这一矢量场为电流场电流场。电流场的矢量线叫做电流线电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电电流流强强度度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量通量，即 第3页，
2、共102页，编辑于2022年，星期一面电流密度 第4页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 要使积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即 第5页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 材料电导率/(S/m)铁(99.98%)107黄铜1.56107铝3.55107金3.10107铅5.55107铜5.80107银6.2010硅1.5610-3表表 5-1 常用材料的电导率常用材料的电导率 第6页，共102页，编辑于2022年，星期一电动势 第7页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.5 焦耳定
3、律焦耳定律 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率功率是 在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率功率为 第8页，共102页，编辑于2022年，星期一当V0，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热热功功率率密密度度，表示为 或 此式就是焦耳定律焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不不适应于运运流流电电流流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷电荷与晶格碰撞晶格碰撞的热能。第9页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 电源外部
4、导体中恒定电场的基本方程基本方程归纳如下：与其相应的积分形式积分形式为 第10页，共102页，编辑于2022年，星期一电流密度电流密度J与电场强度电场强度E之间满足欧姆定律欧姆定律J=E。以上的电场是指库库仑仑场场，因为在电源外的导体中，非库仑场为零。因恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位,E=-。在均匀导体内部(电导率为常数)，有 第11页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 边界条件 第12页，共102页，编辑于2022年，星期一或 恒定电流场的边界条件为 在恒定电场中，用电位电位表示的边界条件边界条件为 第13页，共102页，编辑于2
5、022年，星期一式中，Jn=J1n=J2n,当 时，分界面上面电荷密度面电荷密度为零。应用边界条件边界条件，可得 第14页，共102页，编辑于2022年，星期一可以看出，当12，即第第一一种种媒质为良导体时，第第二二种种媒质为不良导体时，只要1/2,20，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面等位面。第15页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 5-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。同轴线横截面 第16页，共102页，编辑于2022年，星期一解：解：媒质内的漏电
6、电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为 内、外导体间的电压为 第17页，共102页，编辑于2022年，星期一漏电电导为 也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：第18页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1.7 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 恒定电场与静电场的比较 第19页，共102页，编辑于2022年，星期一两极板间的电场 第20页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。设土壤的电导率为0。第21页，共102页，编辑于2022年，
7、星期一解解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为 所以导体球的接地电导为 接地电阻为 第22页，共102页，编辑于2022年，星期一5.2 5.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 安培定律 第23页，共102页，编辑于2022年，星期一安安培培定定律律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一线元dl2的作用力表示为 第24页，共102页，编辑于2022年，星期一令 若电流不是线电流，而是具有体分布体分布的电流J，则有 第25页，共102页，编辑于2022年，星期一可以用上
8、式计算各种形状的载载流流回回路路在外磁场中受到的力力和力矩矩。对以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力是 如果空间还存在外外电电场场E，电荷q受到的力还要加上电电场场力力。这样，就得到带电q以速度v运动的点电荷在外电磁场(E，B)中受到的电磁力电磁力为 上式称为洛仑兹力公式洛仑兹力公式。第26页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。第27页，共102页，编辑于2022年，星期一解：解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(
9、0，0，z)。第28页，共102页，编辑于2022年，星期一所以 第29页，共102页，编辑于2022年，星期一式中：对于无限长直导线(l)，1=/2,2=-/2，其产生的磁场为 第30页，共102页，编辑于2022年，星期一5.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 5.3.1 磁通连续性原理磁通连续性原理 磁磁感感应应强强度度在有向曲面上的通量简称为磁磁通通量量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：如S是一个闭曲面，则 第31页，共102页，编辑于2022年，星期一上式中，故可将其改写为 由矢量恒定式 第32页，共102页，编辑于2022年，星期一则有 而梯度场梯度场是无旋无旋的，所以
10、 第33页，共102页，编辑于2022年，星期一使用散度定理，得到 由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有 上式是磁磁通通连连续续性性原原理理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源无源(指散度源)场。第34页，共102页，编辑于2022年，星期一5.2.2 安培环路定律安培环路定律 环路定律 第35页，共102页，编辑于2022年，星期一假设回路C对P点的立体角为，同时P点位移dl引起的立体角增量为d，那么P点固定而回路C位移dl所引起的立体角增量也为d。-dldl是dl位移-dl所形成的有向面积。注意到R=r-r，这个立体角为 。把其对回路C积分，就得到P点对回路C移动dl时所
11、扫过的面积张的立体角，记其为d，则以上的磁场环量可以表示为 第36页，共102页，编辑于2022年，星期一可以证明，当载流回路C和积分回路C相交链相交链时，有 当载流回路C和积分回路C不交链不交链时，有 这样当积分回路C和电流I相交链相交链时，可得 第37页，共102页，编辑于2022年，星期一当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以得到为一般形式：根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定律安培回路定律的微分形式微分形式：由于 第38页，共102页，编辑于2022年，星期一因积分区域S是任意的，因而有 上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。可用此式从磁场求电流分布。对于对对称称分
12、分布布的电流，可以用安安培培环环路路定定律律的积分形式，从电流电流求出磁场磁场。第39页，共102页，编辑于2022年，星期一例例半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解解:在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，r a ra 第40页，共102页，编辑于2022年，星期一当ra时，当ra时，写成矢量形式为 r a ra 第41页，共102页，编辑于2022年，星期一第第27.28学时学时5.5 矢矢 量量 磁磁 位位 可以令 称式中的A为矢矢量量磁磁位位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢矢量量磁磁位位是一个辅助量。仅规定了磁矢位A的旋旋
13、度度，而A的散散度度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+，其中是一个任意标量函数，则 返回第42页，共102页，编辑于2022年，星期一使用矢量恒等式矢量恒等式 上式是磁矢位满足的微微分分方方程程，称为磁矢位的泊泊松松方方程程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程，即 第43页，共102页，编辑于2022年，星期一第44页，共102页，编辑于2022年，星期一将其写成矢量形式为 若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为 同理，线电流产生的磁矢位为 磁通的计算也可以通过磁矢位表示：第45页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 求长度为l 的载流直导线的磁
14、矢位。直导线磁矢位 第46页，共102页，编辑于2022年，星期一解解:当lz时，有 上式中，若再取lr,则有 第47页，共102页，编辑于2022年，星期一当电流分布在无无限限区区域域时，一般指定一个磁磁矢矢位位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位磁矢位的零点时，可以得出 从上式，用圆柱坐标圆柱坐标的旋度公式旋度公式，可求出 第48页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：解：r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即 设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，ra时，第50页，共102页，编
15、辑于2022年，星期一可以求出导线内、外的磁场磁场分别为 导体外部的磁感应强度磁感应强度为 第51页，共102页，编辑于2022年，星期一5.5 磁磁 偶偶 极极 子子磁偶极子 第52页，共102页，编辑于2022年，星期一式中：第53页，共102页，编辑于2022年，星期一如果ra，则 从图可见，第54页，共102页，编辑于2022年，星期一所以 式中，m=Ia2，是圆形回路磁矩的模模值值。一个载流回路的磁磁矩矩是一个矢量，其方向与环路的法法线线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为 第55页，共102页，编辑于2022年，星期一第56页，共102页，编辑于2022年，星期一位于点r
16、的磁矩为m的磁偶极子磁偶极子，在点r处产生的磁矢位磁矢位为 位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外外磁磁场场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力作用力及力矩力矩的公式。作用力为 力矩为 第57页，共102页，编辑于2022年，星期一5.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 5.6.1 磁化强度磁化强度 式中m是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁磁化化强强度度M的单位是A/m(安培/米)。如在磁磁化化介介质质中中的体积元V内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同，单位体积内分子数是N，则磁化强度磁化强度为 第58页，共102页，编辑于2022年，星期一5.6.2 磁化电流磁化电流 磁化介质的
17、场 第59页，共102页，编辑于2022年，星期一全部磁介质在r处产生的磁矢位磁矢位为 可以将上式改写为 第60页，共102页，编辑于2022年，星期一再用恒等式 可将磁矢位的表示式变形为 第61页，共102页，编辑于2022年，星期一磁化电流示意图 第62页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。第63页，共102页，编辑于2022年，星期一解解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，磁化电
18、流为 在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，在界面r=a上，n=er,第64页，共102页，编辑于2022年，星期一5.6.3 磁场强度磁场强度 在外磁场的作用下，磁介质内部有磁磁化化电电流流Jm。磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场磁场，这时应将真空中的安培环路定律安培环路定律修正为下面的形式：第65页，共102页，编辑于2022年，星期一令 其中H称为磁场强度磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有 与上式相应的微分形式微分形式是 第66页，共102页，编辑于2022年，星期一5.6.5 磁导率磁导率 M与H间的关系为 式中m是一个无量纲常数，称为磁磁化化率率。非线性磁介
19、质的磁磁化化率率与磁磁场场强强度度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的m为正，抗磁介质的m为负。这两类介质的m约为 10-5量级。第67页，共102页，编辑于2022年，星期一式中，r=1+m，是介质的相相对对磁磁导导率率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁磁导导率率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非非线线性性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁磁滞滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。第68页，共102页，编辑于2022年，星期一5.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基
20、本方程 第69页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。同轴线示意图 第70页，共102页，编辑于2022年，星期一解解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律C Hdl=S JdS，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得 第71页，
21、共102页，编辑于2022年，星期一考虑这一区域的磁导率为0，可得(r a)(r a)当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得(arb)第72页，共102页，编辑于2022年，星期一当bc时，这一区域的B、H、M为零。第73页，共102页，编辑于2022年，星期一第第29.30学时学时5.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 Bn的边界条件 返回第74页，共102页，编辑于2022年，星期一 设底面和顶面的面积均等于S。将积分形式的磁通连续性原理(即S BdS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得 写成矢量形式为 第75页，共102页，编辑于2022年，星期一
22、Ht的边界条件 第76页，共102页，编辑于2022年，星期一将介质中积分形式的安培环路定律安培环路定律 应用在这一回路，得 若界面上的电流可以看成面电流面电流，则 于是有 第77页，共102页，编辑于2022年，星期一考虑到l=bn,得 使用矢量恒等式 第78页，共102页，编辑于2022年，星期一如果无面电流(JS=0)，这一边界条件边界条件变成为 用下标t表示切向分量切向分量，上式可以写成标量标量形式：假设磁场B2与法向n的夹角为2,B1与n的夹角为1(如图所示)，则可写成 第79页，共102页，编辑于2022年，星期一上式两式相除，并注意B2=2H2,B1=1H1,得这表明，磁力线在分
23、界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时2 1,因而2 1，可得B2 B1。假如1=10000,2=0，在这种情况下，当=87时，2=1.09，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。第80页，共102页，编辑于2022年，星期一5.8 标标 量量 磁磁 位位根据磁介质中恒定磁场的基本方程式可知，在无无自自由由电电流流(J=0)的区域里，磁场强度H是无无旋旋的。此时，磁场强度可以表示为一个标量函数的负梯度负梯度，即 称为磁场的标标量量位位函函数数(简称为标量磁位或磁标位)，单位为A(安培)。上
24、式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。在均匀介质中，可得第81页，共102页，编辑于2022年，星期一可得磁标位满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程，即 所以用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁场的边界条件用磁标位磁标位表示时，为 磁标位在求解永磁体的磁场问题时比较方便(因其内无自由电流)。永磁体的磁导率远大于空气的磁磁导导率率，因而永磁体表面是一个等位(磁标位)面，这时可以用静电比拟法来计算永磁体的磁场磁场。第82页，共102页，编辑于2022年，星期一对非均匀介质，在无源区(J=0)，引入磁荷的概念后，磁标位满足泊泊松方程松方程，即式中：第83页，共102页，编辑于2
25、022年，星期一第第31.32学时学时5.9 互互 感感 和和 自自 感感 在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有=N。一个回路的自感定义为回路的磁链磁链和回路电流回路电流之比，用L表示，即 返回第84页，共102页，编辑于2022年，星期一互感 第85页，共102页，编辑于2022年，星期一互感的单位与自感相同。同样，可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链磁链21与电流电流I2的比来定义互感互
26、感M21，即 互感的大小也取决于回路的尺寸尺寸、形状形状以及介质的磁导率磁导率和回路的匝数匝数。第86页，共102页，编辑于2022年，星期一内自感 第87页，共102页，编辑于2022年，星期一当导线的直径远小于回路的尺寸而且也远小于两个回路之间的最近距离时，两回路都可以用轴线的几何回路代替。设两个回路都只有一匝。当回路C1载有电流I1时，C2上的磁链磁链为 式中，A12为电流I1在C2上的磁矢位磁矢位，即 第88页，共102页，编辑于2022年，星期一第89页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 求无限长平行双导线(如图 所示)单位长外自感。平行双导线 第90页，共102页，编辑于2
27、022年，星期一解解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为 磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为 所以单位长外自感为 第91页，共102页，编辑于2022年，星期一5.10 磁场能量磁场能量 先计算两个分别载流I1和I2的电流回路系统所储存的磁场能量。假定回路的形状、相对位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，两回路的电流分别为i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最终，i1=I1,i2=I2。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。我们知道，系统的总能量只与系统最终的状态有关，与建立状态的方式无关。为计算这
28、个能量，先假定回路 2 的电流为零，求出回路1中的电流i1从零增加到I1时，电源作的功W1；其次，回路 1 中的电流I1不变，求出回路 2 中的电流从零增加到I2时，电源作的功W2。从而得出这一过程中，电源对整个回路系统作的总功Wm=W1+W2。第92页，共102页，编辑于2022年，星期一 当保持回路 2 的电流i2=0时，回路1中的电流i1在dt时间内有一个增量di1,周围空间的磁场将发生改变，回路1和2 的磁通分别有增量d11和d12，相应地在两个回路中要产生感应电势E1=-d11/dt和E2=-d12/dt。感应电势的方向总是阻止电流增加。因而，为使回路 1 中的电流得到增量di1,必
29、须在回路 1 中外加电压U1=-E1；为使回路 2 电流为零，也必须在回路2 加上电压U2=-E2。所以在dt时间里，电源作功为 第93页，共102页，编辑于2022年，星期一在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为 计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d21/dt，回路 2 中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为dW2=M21I1di2+L2i2di2第94页，共102页，编辑于2022年，星期一电源对
30、整个电流回路系统所作的总功为 第95页，共102页，编辑于2022年，星期一推广到N个电流回路系统，其磁能为 式中：代入后得：对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得 第96页，共102页，编辑于2022年，星期一磁通密度磁通密度的概念上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到 磁场能量密度磁场能量密度为 第97页，共102页，编辑于2022年，星期一例例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为 单位长度的磁场能量为 单位长度的内自感为 第98页，共102页，编辑于2022年，星期一5.1
31、1 磁磁 场场 力力 1.磁链不变磁链不变当磁链不变时，各个回路中的感感应应电电势势为零，所以电源不作功。磁磁场场力力作的功必来自磁磁场场能能量量的减少。如将回路C1受到的磁场力记为F，它作的功为Fr，所以 写成矢量形式，有 第99页，共102页，编辑于2022年，星期一2.2.电流不变电流不变当各个回路的电流不不变变时，各回路的磁链要发生变变化化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。在回路r产生位移时，电源作功为 磁场能量磁场能量的变化为 第100页，共102页，编辑于2022年，星期一 例例 设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图所示)。设bz,lz，求上面一片导体板面电流所受的力。平行面电流磁力 第101页，共102页，编辑于2022年，星期一解解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为B=ex0JS0，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z。磁场能为 假定上导体板位移时，电流不变，这个力为斥力。第102页，共102页，编辑于2022年，星期一