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1、高数向量代数高数向量代数第1页，此课件共32页哦横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系1 空间点的直角坐标空间点的直角坐标第2页，此课件共32页哦面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限第3页，此课件共32页哦空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点第4页，此课件共32页哦空间两点间的距离空间两点间的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为第5页，此课件共32页哦向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模
2、长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或第6页，此课件共32页哦自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.第7页，此课件共32页哦1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向
3、分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法第8页，此课件共32页哦向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法减法第9页，此课件共32页哦三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法第10页，此课件共32页哦数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系第11页，此课件共32页哦按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式
4、表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量与原向量同方向的单位向量.第12页，此课件共32页哦2 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.第13页，此课件共32页哦按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标
5、表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：第14页，此课件共32页哦向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第15页，此课件共32页哦非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式第16页，此课件共32页哦由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第17页，此课件共32页哦当当 时，时，向量方向余弦的坐
6、标表示式向量方向余弦的坐标表示式第18页，此课件共32页哦方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为第19页，此课件共32页哦启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义3 两向量的数量积两向量的数量积第20页，此课件共32页哦关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证第21页，此课件共32页哦数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、为数为数：第22页，此课件共32页哦设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式第23页，此
7、课件共32页哦两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为第24页，此课件共32页哦证证第25页，此课件共32页哦定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.第26页，此课件共32页哦向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：证证/第27页，此课件共32页哦设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式第28页，此课件共32页哦向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出第29页，此课件共32页哦补充补充例如，例如，第30页，此课件共32页哦解解第31页，此课件共32页哦解解三角形三角形ABC的面积为的面积为第32页，此课件共32页哦