概率论与数理统计习题全解.pdf

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1、习题习题 1 11.1.写出下列随机试验的样本空间：(1)一射手射击运动中的气球，连续 3 次都击中，观察其射击次数；(2)掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；(3)观察某加油站一天内前来加油的人数；(4)从编号 1,2,3,4,5 的 5 件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；(5)检查两件产品是否合格；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于 9C，最高气温不高于 19C）；(7)在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；(8)在长为 2 的线段中任取一点，该点将线段分成两段，观察其中一段的长度。解：解：(1)1,2,3；(2)2,3,4,5,6,7,8,

2、9,10,11,12；(3)n n为自然数；(4)1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；(5)合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格；(6)t1,t2t1 9,t219；(7)d 0 d 2r,r为圆半径；(8)l 0 l 2。2.2.在计算机系中学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述事件ABC的意义；(2)在什么条件下ABC C成立？(3)什么时候关系式C B是正确的？解：解：(1)ABC表示不是运动员的三年级男生；(2)当所有三年级男生都是运动员时，ABC C成立；(3)当运

3、动员都是三年级学生时，C B是正确的。3.3.将下列事件用A,B,C表示出来：(1)A发生；(2)只有A发生；(3)A与B都发生而C不发生；(4)三个事件都发生；(5)三个事件中至少有一个发生；(6)三个事件中至少有两个发生；(7)三个事件中恰好发生一个；(8)三个事件中恰好发生两个；(9)三个事件都不发生；(10)三个事件中不多于两个事件发生；(11)三个事件中不多于一个事件发生。解：解：(1)A；(2)ABC；(3)ABC；(4)ABC；(5)A B C；(6)AB BC CA；(7)ABC ABC ABC；(8)ABC ABC ABC；(9)ABC；(10)ABC；(11)ABC ABC

4、 ABC ABC。4.4.在图书馆中随意抽取一本书，事件A表示“数学书”，B表示“中文图书”，C表示“平装书”。(1)说明事件ABC的实际意义；(2)若C B，说明什么情况？(3)A B是否意味着馆中所有数学书都不是中文版的？解：解：(1)ABC表示非平装的中文数学书；(2)若C B，则说明非平装图书都是中文图书；(3)A B A B，即所有数学书都不是中文版的。5.5.证明下列等式：(1)AB AAB；(2)AB AB。证：证：(1)A B AB,AAB A AB A AB AA AB AB AB，所以AB AAB。(2)AB AB AB。6.6.一部有五卷的长篇小说任意地排列到书架上，问卷

5、号自左向右或自右向左恰好为 12345 顺序的概率等于多少？解：解：将 5 本书排列到书架上共有P5 5!120种排法，卷号自左向右或自右向左恰好为 12345 顺序共有 2 种排法，故所求概率为1 60。7.7.在分别写有 2,4,6,7,8,11,12,13 的八张卡片中任取两张，把卡片的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解：解：从八张卡片中任取两张共有C82 28种取法，两个数字组成既约分数共有 18种取法，故所求概率为9 14。8.8.一个小孩用 13 个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如随机地排列字母，问他组成MATHEMATICAN

6、的概率等于多少？解：解：13个字母随机排列共有13!种排法，组成MATHEMATICAN共有3!2!2!2!48种排法，故所求概率为48 13!。9.9.一幢 10 层楼中的一架电梯在底层走上 7 位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开都是等可能的，求没有 2 位乘客在同一层离开的概率。解：解：7 位乘客在 210 层的离开情况共有97种，没有 2 位乘客在同一层离开共有P9777种情况，故所求概率为P99。10.10.一个班级有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意地分成人数相等的两组，求每组中男女人数相等的概率。2n解：解：把全班学生任意地分成人数相等的两组

7、共有C4n种分法，每组中男女人数相等共有C C种分法，故所求概率为Cn2nn2nn22n2nC4n。11.11.从n双尺码不同的鞋子中任取2r2r n只，求下列事件的概率：(1)所取2r只鞋子中没有两只成对；(2)所取2r只鞋子中只有两只成对；(3)所取2r只鞋子中恰成r对。2r解：解：从n双鞋子中任取2r只共有C2n种取法。(1)所取2r只鞋子应分属n双中的2r双，而每双中又可任取其中一只，即取2r2r2r2r2r法有Cn2C22，故所求概率为Cnn。(2)所取2r只鞋子中有 2 只属于n双中的某一双，其余2r 2只分属n1双12r22r22r22r22r中的2r 2双，即取法有CnCn12

8、，故所求概率为nCnC212n。r(3)将一双鞋子视为一个整体，则2r只鞋子中恰成r对共有Cn种取法，故所r2r求概率为CnC2n。12.12.设有n根同样长的棒都分成长度为 1 与 2 之比的两根小棒，然后把2n根小棒任意地分成n对，每对又接成一根“新棒”，求下列事件的概率：(1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的；(2)全部新棒的长度都与原来的一样。解：解：将2n根小棒接成n根新棒共有2n12n3312n1!种接法。(1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求概率为12n1!。(2)全部新棒的长度都与原来的一样共有nn1率为n!2n1!。13.13.在三角形ABC中任取

9、一点P，证明：ABP与ABC面积之比大于n1n的概率为1 n2。证明：证明：故所求概21 n!种情况，如图，由SABPn1hn1 hABC1，得ABP,。SABCnhABCnhABCn2显然，当P落在ABC中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发 hS1生的概率为ABCABC2SABChABCn14.14.两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与 2 小时，求两艘船都不需要等候泊位空出的概率。解：解：设两艘船的到达时刻为x,y，则0 x,y 24，两船相会的条件为0 x y 1，0 y x 2。如图，由几何概率知，所求概率为1212

10、23 2222 0.879。22415.15.两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求一个至少要等候另一个人十分钟的概率。解：解：设两人的到达时刻分别为x,y，则0 x,y 1，一人至少等候十分钟的条件为x y 1 6。如图，由几何概率知，所求概率为11625。1236216.16.圆内有一内接正方形，随机地向圆内投 10 点，求其中 4 点落在正方形内，3点落在一个弓形内，其余 3 点分别落在其他 3 个弓形内的概率。解：解：不妨设圆半径为 1，则圆面积为，内接正方形的面积为 2，弓形面积为24，点落在内接正方形内的概率为2，点落在一个弓形内的概率为24。2

11、 2符合题意的点的落法有许多方式，在一种方式中，概率显然为。410!2 2而这种方式应有C C P，故所求概率为。223!43!4103644610!4617.17.在某城市中共发行甲、乙、丙三种报纸。这城市的居民中订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订三种报的有 3%，求下列百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解：解：设A,B,C居民订甲、乙、丙三种报纸，则PA0.45,PB

12、0.35,PC0.3，PAB 0.1,PBC 0.05,PAC 0.08,PABC 0.03。(1)因为P ABC P ABC PA，故所求P ABC PAPAB AC PAPABPACPABC 0.450.10.080.0330%。(2)因为P ABC PABC PAB，故所求P ABC PAB PABC 0.10.03 7%。(3)类似(1)计算可得，P ABC 0.23,P ABC 0.2，故所求P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC 0.30.230.2 0.73。(4)类似(2)计算可得，P ABC 0.02,P ABC 0.05，从而所求P ABC ABC

13、ABC P ABC P ABC P ABC 0.02 0.05 0.07 14%。(5)所 求PABC PA PB PCPABPBCPCAPABC0.450.350.30.10.080.050.0390%。(6)所求PABC1 PA BC10.9 10%。18.18.某年级有 100 个学生进行测验，数学成绩得优的有 70 人，语文成绩得优的有75 人，英语成绩得优的有 80 人，政治成绩得优的有 85 人，证明：4 门课程全部得优的学生至少有 10 人。证明：证明：由PA1 A2 A3 A41k14k1PA1PAkPAk，得PA1A2A3A4 2.11k23k1PA1 2.1 P A1A2A

14、3 A2A3A4P A1A3A4 A1A2A4 0.1，故 4 门课程全部得优的学生至少有 10%即 10 人。19.19.某班级有n个人n365，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？n解：解：n个人的生日共有365n种情况，所有人生日都不在同一天共有P365种情况，故所求概率为1365!。n365365n!20.20.设M件产品中有m件废品，从中任取两件。(1)在所取产品中有一件是废品的条件下，求另一件也是废品的概率；(2)在所取产品中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率。解：解：设A表示至少有一件废品，B表示两件都是废品，C表示至少有一件正品，D表示两件中一件正品一件废品，则1

15、12112CMCMmCmCmmCmCM m，PA,PC22CMCM211CmCM mCm。PAB PB2,PCD PD2CMCM(1)所求为PB A(2)所求为PD CPABm1；PA2M m1PCD2m。PCM m121.21.某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手8 人，三级射手 7人，四级射手 1 人。一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 0.9,0.7,0.5,0.2，求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。解：解：设A表示任选一名射手能通过选拔，Bii 1,2,3,4表示此射手为i级，则PBi1 5,2 5,7 20,1 20,PA Bi 0.9,

16、0.7,0.5,0.2。4由全概率公式PAPA BiPBi 0.645。i122.22.有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1 4,1 3,1 12，而乘飞机则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解：解：设A表示朋友迟到了，Bii 1,2,3,4分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机，则PBi 0.3,0.2,0.1,0.4,PA Bi1 4,1 3,1 2,0。由全概率公式PAPA BiPBi 0.15，再由贝叶斯公式i14PB1APA B1PB1PA 0.5。23.23.设男女

17、两性人口之比为 51：49，男性中的 5%是色盲患者，女性中的 2.5%是色盲患者，今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。解：解：设A表示被抽取之人是色盲，Bii 1,2分别表示此人为男性、女性，则PBi 0.51,0.49,PA Bi 0.05,0.025。2由全概率公式PAPA BiPBi 0.03775，再由贝叶斯公式i1PB1APA B1PB1PA 0.6755。24.24.一个大学生想借某本专业书，决定到 3 个图书馆去借。对每个图书馆而言，有无这本书的概率相等，若有，是否借出的概率也相等。假设这 3 个图书馆采购、出借图书是相互独立的，求这个大学生能借到此专

18、业书的概率。解：解：设Aii 1,2,3表示在第i个图书馆能借到，根据题意，PAi1 21 2 1 4。所求为PA1 A2 A31 P A1A2A31 P A1P A2P A313 4 37 64。3 25.25.某厂产品的废品率不得超过 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于 0.9 的概率保证每箱中至少有 100 个正品，那么每箱至少要装多少个产品？解：解：设至少要装n个产品，X表示n个产品中废品数，则X Bn,0.03。e0.03n0.03n由题意和泊松近似，PX n100 0.9，0.1。k!kn99nk 0.03n,x n99,p 0.1，即 2.97 0.03x，根据泊松分布表，

19、满足上述关系最小的x 6,3.15，从而n 105，即至少要装 105 个产品。26.26.为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，对系统A其有效的概率为 0.92，对系统B其有效的概率为 0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为 0.85，求：0.9880.829(1)发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；(2)B失灵的条件下，A有效的概率。解：解：由题意知，PA 0.92,PB 0.93,P B A 0.85，得P AB P B A P A 0.068，PAB PB P AB 0.862，故 (1)所求为PAB PAPBPAB 0.988；(2)P

20、AB PAPAB 0.058，所求为P A B 0.829P B P AB27.27.加工一个产品需要三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为 0.9,0.95,0.8，若假定各工序是否出废品为独立的，求经过三道工序而不出废品的概率。解：解：设A,B,C分别表示第一、二、三道工序不出废品，则A,B,C相互独立，且PA 0.9,PB0.95,PC0.8，所求为PABC PAPBPC0.684。28.28.某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：解：设X为贡献

21、正确意见的顾问数，则X B9,0.7。5678所求为PX 5C90.750.34C90.760.33C90.770.32C90.780.310.79 0.9012。习题习题 2 21.1.掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的分布律，并验证其满足分布律的条件。解：解：X的取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的概率为PX i11116 i7。36PX ii2i26 i736111543210123451。6362.2.一学习小组中有 7 位同学，他们的学号分别为 8,11,21,23,27,30,35。现从该组中任意选出 3 位同学，用X表示取出的

22、同学中学号最小的。求X的分布律和分布函数。232323解：解：X的取值为 8,11,21,23,27，对应的概率为C6C73 7,C5C7 2 7,C4C72323 6 35,C3C73 35,C2C71 35，所以分布律为X8112123273 703 75 7分布函数为Fx31 3534 351p2 76 35x 88 x 1111 x 21。21 x 2323 x 27x 273 351 353.3.100 只同型号的手机中，有 5 只是次品，其余为正品。现从这 100 只手机中任取 5 只，以X表示其中的正品次数，求X的分布律和分布函数。解：解：X=0,1,2,3,4,5，5PX 01

23、 C1001.328108,15PX 1 C54C95C100 6.309106,325PX 2 C5C95C100 5.93104,PX 3 C C25395C51001.8410,2145PX 4 C5C95C100 0.21,55PX 5 C95C100 0.77,故 X 的分布律为X0125.9310431.8410240.2150.77P1.3281086.309106分布函数0,1.328108,6.322106,F(x)5.994104,21.8410,0.23,1,x 00 x 11 x 22 x 3。3 x 44 x 5x 54.4.在同花色的 13 张扑克中任取一张，取到

24、A 时记X 1，取到 J 时记X 11，取到 Q 时记X 12，取到 K 时记X 13，其余的X为取到的数。求X的分布律，并求(1)P1 X 5；(2)F6。解：解：X的分布律为PX k113,k 1,2,(1)P1 X 55 13。(2)F6PX k 6 13。5.5.设离散型随机变量X的分布律为k16,13。PX k1 2k求(1)PX 2,4,6,解：解：(1)PX 2,4,6,k 1,2,，；(2)PX 3。11 41。2k11 43k12(2)PX 311 81。k211 24k36.6.设离散型随机变量X的分布律为PX k Ap(1 p)k1,k 1,2,试求A。，解：解：由分布律

25、性质知，即ApPX kAp(1 p)k11，k1k111,A1。11 p7.7.一校园内有 4 个 ATM 取款机，设每个取款机在任一时刻被使用的概率都是0.1，求下列事件的概率：(1)恰有两个取款机被同时使用；(2)至多有两个取款机被同时使用；(3)至少有两个取款机被同时使用。解：解：设同时被使用的取款机数为X，则XkB4,0.1,PX kC40.1k0.94k。2(1)所求为PX 2C40.120.942 0.0468。1132(2)所求为PX 20.94C40.10.9 C40.120.920.9963。23(3)所求为PX 2C40.120.92C40.130.90.140.0523。

26、8.8.人类共有四种血型O,A,B和AB，设一群人中，这四种血型所占比例分别为35%,40%,20%和 5%，现从该人群中随机地抽取 4 人，计算下列事件的概率：(1)恰有 2 人血型为A；(2)没有B血型的人。解：解：(1)设X表示 4 人中血型为A的人数，则X B4,0.4，所求为2PX 2C40.420.620.3456。(2)设X表示 4 人中血型为B的人数，则X B4,0.2，所求为PX 0 0.84 0.4096。9.9.公园中有一射击游戏，买一张票可以打 10 发子弹，中靶两次就奖一气球，一游客每次射中的概率为 0.3，求(1)打了 3 发子弹，就得一个气球的概率；(2)打了 5

27、 发子弹，才得一个气球的概率。解：解：设X为击中次数，则2(1)X B3,0.3，PX 2C30.320.70.33 0.216。(2)X B5,0.3，P2 X 3C50.3 0.7 C50.3 0.7 0.441。22333210.10.甲，乙两射手的中靶率分别为 0.6 和 0.5，现每人个射击两次，求(1)两人中靶次数相同的概率；(2)甲射中的次数比乙多的概率。解：解：设X,Y为甲、乙投中次数，则X B2,0.6,Y B2,0.5。(1)PX Y PX 0,Y 0PX 1,Y 1 PX 2,Y 2122 0.420.52C120.60.4C20.50.50.6 0.5 0.37。(2)

28、PX Y PX 1,Y 0PX 2,Y 0PX 2,Y 122122 C120.60.40.5 0.6 C20.50.50.6 0.5 0.39。11.11.夏季用电高峰时，某城市在t0，t0t的时间内发生的停电次数X服从(0.6t)，求(1)7 月中旬的一天从上午 10 时到下午 4 时，最多停一次电的概率；(2)7 月下旬的一天从上午 10 时到下午 3 时半，至少停两次电的概率。解：解：PX k0.6tke0.6tk!。(1)t 6，PX 10.66.50!0e0.660.66e0.66 0.1257。1!0.65.5e0.65.5 0.8414。1!(2)t 5.5，PX 20.65.

29、510e0.65.50!12.12.为了保证业主的正常生活，小区的物业公司必须配备一定数量的维修人员。小区有 1000 户居民，任一时刻每户发生报修的概率都是 0.005，且相互独立，而一名维修人员同一时刻只能处理一户的报修。问至少要配备多少维修人员，才能保证业主报修时得到及时修理的概率为 95%。解：解：设n为配备的维修人员数，X为同时报修的业主数，则X B1000,0.05，用泊松近似得，X 5。由题意，PX n0.95，经查表得n 9。13.13.设连续型随机变量X的分布密度为Af(x),x(,)，1 x2求(1)A；(2)X的分布函数F(x)；3(3)PX 1,P 0 X 3,P 3

30、X。3解：解：(1)由概率密度性质，(2)Fxxfxdx 1，即xA1dx 1A，得。1 x2ftdt 11 dt arctanx。21t213(3)PX 1 F1,P 0 X 3 F4 3 F01，3331P 3 X F F 3。32314.14.设连续型随机变量X的分布函数为x2abexp,x 0Fx，20,x 0(1)求常数a和b；(2)求随机变量的概率密度函数；(3)求Pln4 X ln16。解：解：(1)由分布函数的性质，F1,F00 F00，得a 1,b 1。x2xexp,x 0(2)fx Fx。20,其它(3)Pln4 X ln16 Fln16 Fln42ln421expln16

31、221exp1。415.15.设连续型随机变量X的概率密度函数为1,x(0,)，f(x)(1 x)20,其他求X的分布函数F(x)，并画出F(x)的图形。x解：解：Fxxx1dt,x0,201 xftdt 1t。0,其它16.16.一小城市每天的用水量为X万立方，随机变量X的概率密度为212x1 x,0 x 1f(x)，0,其他求(1)每天的用水量大于 7000 立方的概率；(2)每天的用水量在 6500 立方到 8500 立方之间的概率。解：解：(1)PX 0.70.7fxdx 12x1 xdx 0.0837。0.70.850.6512(2)P0.65 X 0.85fxdx 0.850.65

32、12x1 xdx 0.1145。217.17.设随机变量K U2,4，求方程x22Kx2K 3 0有实根的概率。1,x2,4解：解：K的概率密度为fx6，实根的概率为其它0,P 4K28K 12 0 PK 1K 3(1)手机寿命大于 600 天的概率；(2)手机寿命在 600 天到 900 天之间的概率；(3)当一只手机的寿命不超过 600 时，另一只手机寿命超过 900 天的概率。x 1600e,x 0解：解：fx600。0,x 0 x1600fxdx edx e1。600600 x1600edx e1e1.5。600124111dxdx。366318.18.某种型号的手机的寿命X（天）服从

33、参数为 600 的指数分布，求(1)PX 600600(2)P600 X 900900600fxdx 900600(3)由(1)、(2)知，手机的寿命不超过 600 的概率为1e1，超过 900 天的概率为e1.5，所以当一只手机的寿命不超过600 时，另一只手机寿命超过900天的概率1e1e1.5。19.19.设每人每次打电话的时间(min)服从参数为 0.5 的指数分布，求 282 人次所打的电话中，有两次或两次以上超过 10 min 的概率。解：解：设打电话的时间为X，打电话时间超过 10 min 的次数为Y，则X e0.5，由泊松近似，p PX 100.5e0.5xdx e5 0.00

34、6738。Y B282,p，10 282p 1.9，PY 21e1.91.9e1.90.56625。20.20.一个路段的噪声X服从正态分布N(65,9)，求该路段(1)噪声小于 69.5 的概率；(2)噪声在 60 到 70 之间的概率。X 65解：解：(1)PX 69.5 P1.5 1.5 0.9332。3X 65(2)P60 X 70 P1.67 1.67 21.671 0.905。321.21.将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器设定在d，液体的温度X(C)是一随机变量，服从N(d,0.52)。(1)当d 90时，求X小于 89 的概率；(2)若要保持液体的温度至少为 8

35、0的概率不小于 0.99，问d至少为多少？X 90解：解：(1)PX 89 P 212 0.0228。0.5X d80d 80d(2)PX 80 0.99,P1 0.99，0.50.50.580d80d 0.1,2.33,d 81.165。0.50.522.22.一小区大门口，每天早晨 8 时，人们等候出租车的时间X满足正态分布N(10,2)，如果P8 X 120.9，求。2X 102 2 解：解：P8 X 120.9，P 21 0.9，2 0.95,1.212。23.23.设随机变量X的分布律为XP00.1e0.22e0.33e0.4求随机变量Y的分布律：(1)Y X e；(2)Y lnX

36、e。解：解：(1)Y200.21e24e2p(2)Y0.40.4ln2eln3eln4e0.20.30.4p0.124.24.设随机变量X的分布函数为0,0.3,Fx0.8,1,(1)求X的分布律；(2)求Y X的分布律。x 11 x 1，1 x 2x 2解：解：(1)X的分布律为X-10.3Y10.510.820.220.2p(2)Y的分布律为p(1)Y 2X 1；(2)Y eX；(3)Y X2。解：解：X的概率密度函数为fXx25.25.设随机变量X N0,1，求下列随机变量Y的概率密度函数：1e2x22。y1 y1(1)FYy PY y P2X 1 y PX FX，22fYy FYy1

37、y11fXe222 2y128,y 。(2)FYy PY y PeX y。当y 0时，FYy 0；当y 0时，FYy PX ln y1FXln y，1 1fYy FYy fXln yey2y2ln2y2，从而ln y1e2,y 0fYy 2y。0,其它(3)FY(y)PY y P X2 y。当y 0时，FY(y)0，fY(y)FY(y)0；当y 0时，FY(y)P y X y FXfY(y)FY(y)fXy Fy，X 1 fXy fXy 2 y2 y1y1y，故y 11y2e2,fY(y)20,y 0y 0。26.26.设随机变量X U0,，求下列随机变量Y的概率密度函数：(1)Y 2ln X

38、；(2)Y cos X；(3)Y sin X。1,x0,解：解：X的概率密度函数为fXx。其它0,yy(1)FYy PY y P2ln X y PX e2 FXe2，y 121e,y 2ln。fYy FYyfXee 220,其它y2y2(2)FYy PY y PcosX y。当y 1时，FYy 0；当y 1时，FYy1；从而fYy FYy0。当1 y 1时，FYy PX arccosy1FXarccosy，1fYy FYy fXarccosy1 y21，从而1 y21,1 y 12fYy1 y。0,其它(3)FYy PY y Psin X y。当y 0时，FYy 0；当y 1时，FYy1；从而

39、fYy FYy0。当0 y 1时，FYy PX arcsiny X arcsiny FXarcsiny1FXarcsiny，得fYy FYy fXarcsin y从而2,0 y 12fYy1 y。0,其它11 y2 fXarcsin y11 y221 y2，习题习题 3 31.1.将一枚硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出 X 和 Y 的联合分布律。解：解：3 正 0 反2 正 1 反1 正 2 反0 正 3 反(X,Y)(3,3)(2,1)3102212113221111232201013322(1,1)(0,3)

40、显然，X B(3,1 2)，183，PX 2,Y 1 PX 2 C 83，PX 1,Y 2 PX 1 C 8，PX 0,Y 3 PX 0 C 18故X与Y的联合分布律为Y312PX 3,Y 3 PX 3 C33210313308801800182.2.一个箱子中装有 20 只电动剃须刀，均用相同的小盒装好，其中有 3 只次品。在放回抽样和不放回抽样的情况下，定义随机变量X和Y为0,如第一次取出的是正品0,如第二次取出的是正品，Y。X 1,如第一次取出的是次品1,如第二次取出的是次品分别写出两种情况下，X和Y的联合分布律。解：解：放回抽样：171728917351,PX 0,Y 1，202040

41、0202040031751339PX 1,Y 0,PX 1,Y 1，20204002020400X和Y的联合分布律为X01YPX 0,Y 001不放回抽样：PX 0,Y 0289 40051 40051 4009 400171627217351,PX 0,Y 1，2019380201940031751326PX 1,Y 0,PX 1,Y 1，20193802019380X和Y的联合分布律为XY0101272 38051 38051 3806 3803.3.设随机变量X,Y的概率密度为：A8 x y，0 x 4,0 y 4f(x,y)，0，其他(1)求常数A；(2)求PX 1,Y 2；(3)求P

42、X 2；(4)求PX Y 3。解：解：(1)由1。64121138 x y dxdy(2)PX 1,Y 2。64006414258 x y dxdy(3)PX 2。64008133y278 x y dxdy(4)PX Y 3。006464fx,ydxdy 1，得64A 1,A 4.4.将一枚硬币上抛 5 次，5 次中着地时正面朝上的次数记为X，前 3 次中正面朝上的次数记为Y，求X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。解：解：X和Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律为YX012304005000p j4 3212 3212 324 32101231 320002 323 32001

43、326 323 3203 326 323 321 322 325 321 321 32pi1 325 3210 3210 325.5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为Axy，0 x 1,x y 1，f(x,y)0，其他(1)求常数A；(2)求(X,Y)的边缘概率密度。解：解：(1)由1fx,ydxdy 1，得A 1,A 8。8128xxydy 4x1 x,0 x 1(2)fXxfx,ydy，0,其它y380 xydx 4y,0 y 1。fYyfx,ydx 0,其它6.6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ey，0 x y，f(x,y)其他0，求(X,Y)的边缘概率密度。yxxe dy

44、e,解：解：fXxfx,ydy 0,yyy0e dx ye,fYyfx,ydx 0,x 0其它，y 0其它。7.7.随机变量X为在 0,1,2,8,9 这 10 个数中任取的一个数，在X到 9 之间再任取一数，记为Y，求条件分布律PY K X i。111解：解：PX i,PX i,Y k，所以条件分布律为1010 9i11,k iPY k X i10i。0,k i8.8.记某医院中一天出生的新生儿数为X，而其中男孩数记为Y。设X和Y的联合分布律为eambnmPX n,Y m,(m 0,1,m!(nm)!(1)求边缘分布律；(2)求条件分布律。n,n 1,2,)，eambnme解：解：(1)PX

45、 nm!(nm)!n!m0nm0Cnmnambnmeab，n!neambnmeamPY mm!nmm!nm!bnmebam。m!nmnm!PX n,Y mebbnm(2)PX n Y m，PY mnm!PX n,Y mambnmn!PY m X n。nPX nabm!nm!9.9.设一乳品厂公司 3 月份收到的酸奶订货数为X，4 月份收到的酸奶订货数为Y，过去的数据得到X和Y的联合分布律为XY3031323334300.010.010.050.010.010.09310.050.050.100.020.060.28320.050.070.100.050.050.32330.060.010.05

46、0.030.050.2340.010.010.050.010.030.11p j0.180.150.350.120.21pi(1)求边缘分布律；(2)求 3 月份的订货数为 33 时，4 月份订货数的条件分布律。解：解：(1)边缘分布律pi、p j见表格。(2)从表格中易得条件分布律为k10.10.在 5 题中(1)求条件概率密度fX Yx y；1(2)求条件概率密度fY Xy x及X 时Y的条件概率密度；33031323334PY k X 331122 125 123 1211211(3)求条件概率PY X。422xfx,y2,x y 1,0 x 1解：解：(1)fX Yx y。yfYy其它

47、0,2y,x y 1,0 x 1fx,y(2)fY Xy x，1 x2fXx其它0,9y 11,y 1。fY Xy4330,其它18y111(3)PY X 1fY Xydy 1dy 1。42422311.11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 3x，0 x 1,0 y x，f(x,y)其他0，求条件概率密度fY Xy x，fX Yx y。解：解：fXxx203xdy 3x,0 x 1，fx,ydy 0,其它fYy313xdx1 y2,0 y 1y，fx,ydx 20,其它1fx,y,0 y x,0 x 1，fX Yx yxfYy其它0,2x,0 y x,0 x 1fx,y2。fX Yx y1

48、yfYy其它0,12.12.(1)问第 2 题中的随机变量X和Y是否相互独立？(2)问第 11 题中的随机变量X和Y是否相互独立？解：解：(1)从计算表格中易看出，放回时独立，不放回时不独立。(2)因为fXxfYy fx,y，所以X和Y不独立。13.13.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0,1上服从均匀分布，Y的概率密度为y12 e,y 0，fYy20,其它(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程a22XaY 0，试求a有实根的概率。y121,0 x 1 e,0 x 1,y 0解：解：(1)fXx，fx,y fXxfYy2。0,其它0,其它(2)P 4X 4Y 0 PX Y

49、dx2201x20y12edy 0.8556。214.14.进行打靶，设弹着点AX,Y的坐标X和Y相互独立，且都服从N0,1分布，规定点A落在区域D1X,Yx2 y21得2分，点A落在区域D21 x2 y2 4得 1 分，点A落在区域D3X,Yx2y2 4得 0 分，以Z记X,Y打靶的得分，写出X和Y的联合概率密度，并求Z的分布律。x2 y21解：解：因X,Y独立，所以X和Y的联合概率密度为fx,yexp。22PZ 0PZ 1x2y241fx,ydxdy 2fx,ydxdy 20de22r22rdr e2，1x2y2412020der2rdr e1 2e2，11221PZ 2fx,ydxdy

50、2x2y21Z的分布律为2der2rdr 1e1 2，0Z0e2pke121e221e1215.15.设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2xex,x 02yey,y 0，fXx,fYyx 0y 00,0,其中 0和 0是常数。(1)求条件概率密度fX Yx y；(2)求U maxX,Y和U minX,Y的分布函数和概率密度。2xex,x 0解：解：(1)因X,Y独立，所以fX Yx y fXx；x 00,xy1x1e,x 01y 1e,y 0,FYy(2)FXx，0,x 00,y 0zz1z 1 e1z 1 e,z 0，FUz FX(z)FY(z)0,z 0z,z 01z 1z 1