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1、九年级数学圆的知识点总结大全九年级数学圆的知识点总结大全 2 2九年级数学圆的知识点总结大全 2第四章：圆一、知识回顾圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r 或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）三、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦
2、叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点 C 在圆内；2、点在圆上 dr 点 B 在圆上；3、点在圆外dr 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两
3、个交点；ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系第 1页 共 9页外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；dR 图 1rRdr 图 2dR 图 3r d五、垂径定理图 4RrdrR 图 5 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推
4、 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB 是直径ABCDCEDE弧 BC 弧 BD弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O 中，ABCD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理 2 DOED 顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧 BA 弧 BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边
5、都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O 中，C、D 都是所对的圆周角CD第 2页 共 9页推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O 中，AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角形或 C90注：此推论实是初二年级几何
6、中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。BOA 即：在O 中，四边形 ABCD 是内接四边形EC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是O 的切线 OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，
7、三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB 是的两条切线PAPB O 平分 BPA A 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：第 3页 共 9页在O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，D（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 B 两条线段的比例中项。即：在O 中，直径 ABCD，CEAEBE 2OEDA（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O 中
8、，PA 是切线，PB 是割线PAPCPB 2（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O 中，PB、PE 是割线E 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦。如图：O1O2 垂直平分 AB。即O1、O2 相交于 A、B 两点O1O2 垂直平 AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C 中，O1O22CO22；（2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算 CO2 的 O2BO1（1）正三角形在O 中ABC 是正三角
9、形，有关计算在 RtBOD 中进行：COD:BD:OB1:3:2；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 RtOAE 中进行，OE:AE:OA1:1:2：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 RtOAB 中进行，AB:OB:OA1:3:2.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 EOABA OS5lB1、扇形：（1）弧长公式：lnR；180nR21lR（2）扇形面积公式：S3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积第 4页 共 9页 2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图 S 表 S 侧 2S 底=2rh2r2 B 圆柱的体积：Vr2h（2）A 圆锥侧面展开图 S 表
10、 S 侧 S 底=Rrr2 B 圆锥的体积：V1r23h ADD1 母线长底面圆周长 RCArB6扩展阅读：九年级数学圆的知识点总结大全第四章：圆一、知识回顾圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r 或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连
11、接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系第 5页 共 9页 1、点在圆内 dr 点 C 在圆内；2、点在圆上 dr 点 B 在圆上；3、点在圆外dr 点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直
12、线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；dR 图 1rRdr 图 2dR 图 3r d五、垂径定理图 4RrdrR 图 5 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的
13、另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB 是直径ABCDCEDE弧 BC 弧 BD弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O 中，ABCD弧 AC 弧 BD六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，2 DOED 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；第 6页 共 9页OC
14、OF；弧 BA 弧 BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的即：AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，的弧是等弧；即：在O 中，C、D 都是所对的圆周角CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。即：在O 中，AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。即：在ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角形或 C90 OEFDC 角的一半。BOADC 相
15、等的圆周角所对 BOAC 对的弧是半圆，BOA 角形是直角三注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O 中，CD四边形 ABCD 是内接四边形 BD180九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA 且 MN 过半径 OAMN 是第 7页 共 9页O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切推论 2：过切点垂直于切
16、线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理：MAO 外端 N 点。心。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB 是的两条切线BPAPBPO 平分 BPA AOP 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘即：在O中，弦 AB、CD 相交于点 P，D积相等。（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 B 所成的两条线 OEDA 段的比例中项。即：在O 中，直径 ABCD，（3）切割线定理：从圆外一点引
17、圆的切线和割点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O 中，PA 是切线，PB 是割线PAPCPB 2 线，切线长是这（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O 中，PB、PE 是割线E十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这如图：O1O2 垂直平分 AB。即：O1、O2 相交于 A、B 两点O1O2 垂直平分 AB 十三、圆的公切线第 8页 共 9页两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C 中，AO1BO2 两个圆的的公共弦。O1O2CO222；（2）外公切线长：CO2 是半径之差；内
18、公切线长：CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O 中ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进 O:D:OB3C 行 :A2：；B1D:OBD BCOAD（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 OE:A:EOA1:1：:2RtOAE 中进行，E（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 RtOA 中进行，OAB:O:BOA1:.3:2B A 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 A1、扇形：（1）弧长公式：lnR180；OSl2（2）扇形面积公式：SnR13602lR Bn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图 ADD1S 表 S 侧 2S 底=2rh2r2母线长底面圆周长 Br2h CC1B 圆柱的体积：VB1（2）A 圆锥侧面展开图 S 表 S 侧 S 底=Rrr2 OB 圆锥的体积：V1r23h RCArB第 9页 共 9页