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1、化归与转化策略在解题中的运用化归与转化策略在解题中的运用江苏省江阴长泾中学：张义红江苏省江阴长泾中学：张义红如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵力就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而对于一名中学生来说所掌握的数学基础知识和数学基本方法基本相似，可以说他们的“兵力”和“兵器”不分伯仲，关键的差别在于他们如何调动他们的数学知识和运用数学基本方法进行解题，不妨称之为“兵法”。“兵法”妙以“少”胜“多”，“兵法”不当不“战”而“败”。“兵法”的重要性是不言而喻，本文选了众“兵法”中“化归与转化”这一有名的方法谈一谈它在解题中的重要运用。所谓化归与转化，就是研究与解决问题时，采用某种手
2、段，将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的目的。一般总是将复杂问题转化为简单问题，陌生问题转化为熟悉问题，未解决问题转化为已解决问题，等等。一、首先我们结合几个例子来谈谈化归的思想方法在解题中的重要作用。例1、已知 a0,b0 且b24ac b2ac求b 4ac的最小值。2分析：这道题的难度较大，如果不创设一些特定的解题背景进行化归求解则很难下手。分析已知等式中的b24ac，易想到化归为二次函数或一元二次方程这样的知识背景。标准答案是这样的：2令y ax bx c,由于 a0,b0,则 b 4ac 0所以,二次函数的图象2是一条开口向下且与轴有两个不同的交点A（x1,0）,B(x2,0)的
3、抛物线。因为x1x2不妨设x1 x2,则x1 0 x2称轴x c 0,ab 0,于是2ab b2 4acb b2 4acx1 c2a2a4ac b2b b2 4acb2 4ac c .4a2a2a.故所以b 4ac 4.当 a=-1,b=0,c=1 时等号成立.因此b 4ac的最小值为 4.这个解决方法首先构造一个二次函数并已知条件分析函数图象的性质，最终解决问题。但该方法对学生数形结合的能力提出了较高要求。如果该题能化归为一元二次方程，那么解题难度将进一22b b2 4ac 0,(ac 0)这表明二次方程步大大的降低解法如下：已知条件可变为2acax2bx c 0有实根x1 1.代回2方程，
4、得ac=b-1,乘以-4 后,两边加上b得b 4ac b 4b 4 (2b)4.当 b=0,222从而 ac=-1 时,b 4ac取最小值 4.2以上例子告诉我们巧妙化归的重要性，并且选择不同的知识背景进行化归，对我们解题也有着相当大的影响，越好的知识背景对我们解题越有帮助。例 2、如果实数 x,y 满足x y 4x 1 0求（1）22y的最大值（2）y-x 的最小值x分析：该题如果用消元法求最值,则比较麻烦也比较难，这里我们运用数形结合法，创造解题情境，进行化归求解。2222（1）由x y 4x 1 0得(x 2)y 3即点 P(x,y)在以(2,0)为圆心,3为（2）半径的圆周上,令k 即
5、y 0表示点 P 与 O 点连线的斜率，结合图形3 k 3，x 0y的最大值为3。x（3）令 y-x=t 即 y=x+t 表示斜率为 1 的直线,t 为直线在 y 轴上的截距,联立y x t22x y 4x 1 0由=0,tmin 2 6,即 y-x 的最小值为26.我们通过化归方法将问题化归为直线中的斜率和截距，从而大大地降低了解题难度，也减少了思维量，使问题很轻松的得到解决。B例 3、某区有 7 条南北向街道，5 条东西向街道（如图）（1）图中共有多少个矩形？（2）从 A 点走向 B 点最短的走法有多少种？A分析：该题也可创设排列组合这一解题情境即（1）在 7 条竖线中任选 2 条，5 条
6、横线中任选 2 条，这样 4 条线可组成一个矩形，故可22组成的矩形有C7C5 210种（2）每条东西向的街道被分为 6 段，每条南北向的街道被分为 4 段，从 A 到 B 的最短走法一定包括 10 段，6 段东西，4 段南北，每种走法即从 10 段中选出 6 段为走东西方64向的，共有C10 C10 210种这个比较的抽象、新颖的题目，我们通过化归，运用已知的排列组合知识解决的巧妙而轻松。以后解题中碰到新颖或难度较大的题目，一定要巧创一定的解题情境，化归为用已知知识可以解决的问题。二、其次，我再看看转化的思想方法在解题中的运用。例 4、设 0a1,定义a11 a,an11 a,求证：对于一切
7、正整数 n,有an1an1 a推出ak11,ak分析：显然a11,但若仅假设ak1,则很难由递推公式ak1这是因为这里的ak出现在分母上,为得到ak11即得到11 a 1，即要求ak将ak1 a问题转化为更强的命题：即证明对于一切正整数n,有1 an11 a1 a21证明：(1)当 n=1 时,由a11 a,知a11,又a11 a 所以1 a1.1 a1a(2)假设1 ak1,则1 a111 a21 a 1 a a 1,又ak1 a 1 a 1ak1 a1 a1 aak11 a ak所以1 ak11即当 n=k+1 时命题成立。1 a根据（1）、（2）可知对于一切正整数n,原命题成立。在此例中
8、，原命题很难下手，因此采取了转化为证明等价命题的策略，将问题作形式的转化，证明了另一个强化命题，从而使问题顺利解决。例 5、设f(x)2cos x cos x 1(0 x),若方程f(x)k(cosx 2)中的 cosx有两个不同的符号,求实数 k 的取值范围。分析：令 cosx=t,t(1,1),则由f(x)k(cosx 2)得2t (1 k)t 2k 1 0,(1)方程f(x)k(cosx 2)中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在t(1,1)22g(0)02有异号两根,设g(t)2t (1 k)t 2k 1,则原问题又等价于g(1)0,由此可得g(1)00 k 12在此例中，原表述让人有曲折难懂之感，因此采取了转化问题表述的策略，将问题作等价形式的转化，从而使问题思路明朗化。通过以上分析我们知道，在解题时，如我们能巧妙地运用化归和转化的方法和手段将问题朝我们熟悉的或有利的解题背景中转化，往往能使解题思路明朗，解题方法明确，最终使问题得到很好的解决。