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1、拉格朗日插值多项式1 基函数要求通过(x0,y0),(x1,y1),(xn,yn)共 n+1 个节点的插值多项式Pn(x)，可以通过求方程组2ny0 a0 a1x0 a2x0 anx02ny1 a0 a1x1 a2x1 anx1y a a x a x2 a xn01n2nnnn的解a0,a1,an得到。但这样不但计算复杂，且难于得到Pn(x)的简单表达式。考虑简单的插值问题：设函数在区间a，b上n1 个互异节点x0,x1,xn的函数值为1,yjij0,求插值多项式li(x)，满足条件j ij i,（j=0,1,n）li(x)ijj=0,1,n；i=0,1,n由上式知，x0,x1,xi1,xi1
2、,xn是li(x)=1 的根，且li(x)Hn，可令li(x)Ai(x x0)(x x1).(x xi1)(x xi1).(x xn)再由li(x)=1 得Ai1(xi x0)(xi x1).(xi xi1)(xi xi1).(xi xn)于是li(x)(x x0)(x x1).(x xi1)(x xi1).(x xn)(xi x0)(xi x1).(xi xi1)(xi xi1).(xi xn)n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)称为以为x0,x1,xn节点的n次插值基函数。n=1 时的一次基函数为l0(x)x x1,x0 x1l1(x)x x0 x1 x0n=2 时的二次基
3、函数为(x x1)(x x2)(x0 x1)(x0 x2)(x x0)(x x2)l1(x)(x1 x0)(x1 x2)(x x0)(x x1)l2(x)(x2 x0)(x2 x1)l0(x)2 拉格朗日插值多项式现在考虑一般的插值问题：设函数在区间 a,b 上 n+1 个互异节点x0,x1,.xn上的函数值分别为,y0,y1,.yn，求 n 次插值多项式pn(x)，满足条件令pn(xj)yj,j=0,1,nLn(x)y0l0(x)y1l1(x).ynln(x)yili(x)i0n（5.2.3）其中l0(x),l1(x),.,ln(x)为以x0,x1,.xn为节点的 n 次插值基函数，则Ln(
4、x)是一次数不超过 n 的多项式，且满足Ln(xj)yj，j=0，1，n再由插值多项式的唯一性，得pn(x)Ln(x)式（5.2.3）表示的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。特别地，n=1 时称为线性插值（图 5-4（a），n=2 时称为抛物插值或二次插值（图 5-4（b）。值得注意的是，插值基函数l0(x),l1(x),.,ln(x)仅由插值节点x0,x1,.xn确定，与被插函数 f(x)无关。因此，若以x0,x1,.xn为插值节点对函数 f(x)1 作 插值多项式，则由式(5.2.3)立即得到基函数的一个性质l(x)ii0n1还应注意，对于插值节点x0,x1,.xn，只
5、要求它们互异，与大小次序无关。5-4例 1已知 y=x，x0=4，x1=9，用线性插值求7的近似值。解y0=2，y1=3，基函数分别为l0(x)x 41x 41(x 9),l1(x)(x 4)4 959 45插值多项式为L1(x)y0l0(x)y1l1(x)211(x 9)3(x 4)551(x 6)5所以7 L1(7)13 2.65例 2求过点(-1，-2)，(1，0)，(3，-6)，(4，3)的三次插值多项式。解以x0-1，x11，x23，x34 为节点的基函数分别为(x 1)()x 3)(x 4)1(x 1)(x 3)(x 4)(11)(13)(14)40(x 1)(x 3)(x 4)1l1(x)(x 1)(x 3)(x 4)(11)(13)(1 4)12(x 1)(x 1)(x 4)1l2(x)(x 1)(x 1)(x 4)(31)(31)(3 4)8(x 1)(x 1)(x 3)1l3(x)(x 1)(x 1)(x 3)(41)(41)(43)15l0(x)插值多项式为3L3(x)yili(x)i111(x 1)(x 3)(x 4)0(x 1)(x 3)(x 4)401211(6)(x 1)(x 1)(x 4)3(x 1)(x 1)(x 3)815 x3 4x23(2)