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1、12012 年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第 2 试）一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1（5 分）2（5 分）3（5 分）王涛将连续的自然数 1,2,3,逐个相加,一直加到某个自然数为止,由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果 2012那么,他漏加的自然数是 4（5 分）在数 0.20120415 中的小数后面的数字上方加上循环点,得到循环小数,这些循环小数中,最大的是 ,最小的是 5（5 分）对任意两个数 x,y 规定运算“*”的含义是：x*y（其中 m 是一个确定的数）,如果 1*21,那么 m ,3*12 6（5 分）对于一个多边形,定义一种“生长”操作：
2、如图 1,将其一边 AB 变成向外凸的折线 ACDEB,其中 C 和 E 是 AB 的三等分点,C,D,E 三点可构成等边三角形,那么,一个边长是9 的等边三角形,经过两次“生长”操作（如图 2）,得到的图形的周长是 ;经过四次“生长”操作,得到的图形的周长是 7（5 分）如图所示的“鱼”形图案中共有 个三角形8（5 分）已知自然数 N 的个位数字是 0,且有 8 个约数,则 N 最小是 29（5 分）李华在买某一商品的时候,将单价中的某一数字“7”错看成了“1”,准备付款189 元,实际应付 147 元,已知商品的单价及购买的数量都是整数,则这种商品的实际单价是 元,李华共买了 件10（5
3、分）如图,已知 AB40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成,那么阴影部分的面积是 cm2（取 3.14）11（5 分）快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,快车每小时行 33 千米,相遇行了全程的,已知慢车行完全程需要 8 小时,则甲、乙两地相距 千米12（5 分）甲、乙、丙三人去郊游,甲买了 9 根火腿,乙买了 6 个面包,丙买了 3 瓶矿泉水,乙花的钱是甲的,丙花的钱是乙的,丙根据每人所花钱的多少拿出 9 元钱分给甲和乙,其中,分给甲 元,分给乙 元二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）每题都要写出推算过程13（15 分）将 1 到 9 这 9 个自然数中的 5 个数
4、填入图 1 所示的圆圈内,使任意有线段相连的两个圆圈内的两数之差恰好等于连接这两个圆圈的线段的条数,图 2 给出了一种填法,请你再给出两种不同的填法14（15 分）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,于 C 地相遇后,甲继续向 B地行走,乙则休息 14 分钟后再继续向 A 地行走,甲和乙各自到达 B 地和 A 地后立即折返,又在 C 地相遇,已知甲每分钟走 60 米,乙每分钟走 80 米,则 A、B 两地相距多少米?15（15 分）将 100 个棱长为 1 的立方体堆放成一个多面体,将可能堆成的多面体的表面积按从小到大排列,求开始的 6 个316（15 分）在 m 行 n 列的网
5、格中,规定：由上而下的横行依次为第 1 行,第 2 行,由左向右的竖列依次为第 1 列,第 2 列,点（a,b）表示位于第 a 行、第 b 列的格点,图 1是 4 行 5 列的网格从点 A（2,3）出发,按象棋中的马走“日”字格的走法,可达到网格中的格点 B（1,1）,C（3,1）,D（4,2）,E（4,4）,F（3,5）,G（1,5）,如果在 9 行 9 列的网格中（图 2）,从点（1,1）出发,按象棋中的马走“日”字格的走法,（1）能否到达网格中的每一个格点?答：（填“能”或“不能”）（2）如果能,那么沿最短路线到达某个格点,最多的需要几步?这样的格点有几个?写出它们的位置如果不能请说明理
6、由42012 年第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 5 分,共 60 分）1（5 分）【解答】解：,5故答案为：2（5 分）24【解答】解：2+3+5+13+,2+3+5+13+,23+,23+1+,24,24+,243（5 分）王涛将连续的自然数 1,2,3,逐个相加,一直加到某个自然数为止,由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果 2012那么,他漏加的自然数是4【解答】解：设这个等差数列和共有 n 项,则末项也应为 n,这个等差数列的和为：（1+n）n2;经代入数值试算可知：当 n62 时,数列和1953,当 n63 时,数列
7、和2016,可得：195320122016,所以这个数列共有 63 项,少加的数为：201620124故答案为：44（5 分）在数 0.20120415 中的小数后面的数字上方加上循环点,得到循环小数,这些循环6小数中,最大的是0.2012041,最小的是0.2 12041【解答】解：在数 0.20120415 中的小数后面的数字上方加上循环点,得到循环小数,这些循环小数中,最大的是 0.2012041,最小的是 为 0.2 12041;故答案为：0.2012041,0.2 12041 5（5 分）对任意两个数 x,y 规定运算“*”的含义是：x*y（其中 m 是一个确定的数）,如果 1*21
8、,那么 m2,3*12【解答】解：因为：x*y（其中 m 是一个确定的数）且 1*21所以：1 8m+6 m+68 m+668 m23*12故答案为：2,76（5 分）对于一个多边形,定义一种“生长”操作：如图 1,将其一边 AB 变成向外凸的折线 ACDEB,其中 C 和 E 是 AB 的三等分点,C,D,E 三点可构成等边三角形,那么,一个边长是9 的等边三角形,经过两次“生长”操作（如图 2）,得到的图形的周长是48;经过四次“生长”操作,得到的图形的周长是85【解答】解：边长是 9 的等边三角形的周长是 9327第一次“生长”,得到的图形的周长是：2736第二次“生长”,得到的图形的周
9、长是：3648第三次“生长”,得到的图形的周长是：4864第四次“生长”,得到的图形的周长是：6485答：经过两次“生长”操作,得到的图形的周长是 48,经过四次“生长”操作得到的图形的周长是 85故答案为：48,857（5 分）如图所示的“鱼”形图案中共有35个三角形【解答】解：由一个三角形组成：14 个;由两个三角形组成：8 个;由三个三角形组成：8 个;8由四个三角形组成：4 个;由六个三角形组成：1 个;总共：14+8+8+4+135 个故共有 35 个三角形故答案为：358（5 分）已知自然数 N 的个位数字是 0,且有 8 个约数,则 N 最小是30【解答】解：自然数 N 的个位数
10、字是 0,它一定有质因数 5 和 2,要使 N 最小,5 的个数应最少为 1 个,而求其它因数最好都是 2 和 3,并且 2 的个数不能超过 2 个,其它最好都是 3;设这个自然数 N21513a,根据约数和定理,可得：（a+1）（1+1）（1+1）8,（a+1）228,a1;所以,N 最小是：23530;答：N 最小是 30故答案为：309（5 分）李华在买某一商品的时候,将单价中的某一数字“7”错看成了“1”,准备付款189 元,实际应付 147 元,已知商品的单价及购买的数量都是整数,则这种商品的实际单价是21元,李华共买了7件【解答】解：1893337277147377217正好是 2
11、77189 中把 27 看成 217147所以这种商品的实际单价是 21 元,卖了 7 件故答案为：21,7910（5 分）如图,已知 AB40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成,那么阴影部分的面积是628cm2（取 3.14）【解答】解：40220（厘米）20210（厘米）3.142023.14102241256628628（平方厘米）答：阴影部分的面积是 628 平方厘米故答案为：62811（5 分）快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,快车每小时行 33 千米,相遇行了全程的,已知慢车行完全程需要 8 小时,则甲、乙两地相距198千米【解答】解：18（小时）33（千米）1
12、98（千米）答：甲、乙两地相距 198 千米故答案为：19812（5 分）甲、乙、丙三人去郊游,甲买了 9 根火腿,乙买了 6 个面包,丙买了 3 瓶矿泉水,乙花的钱是甲的,丙花的钱是乙的,丙根据每人所花钱的多少拿出 9 元钱分给甲和10乙,其中,分给甲6元,分给乙3元【解答】解：丙花钱是甲的 甲：乙：丙1：13：12：8（13+12+8）311每份：9（118）3（元）甲：（1311）36（元）乙：（1211）33（元）答：分给甲 6 元,分给乙 3 元故答案为：6,3二、解答题（每小题 15 分,共 60 分）每题都要写出推算过程13（15 分）将 1 到 9 这 9 个自然数中的 5 个
13、数填入图 1 所示的圆圈内,使任意有线段相连的两个圆圈内的两数之差恰好等于连接这两个圆圈的线段的条数,图 2 给出了一种填法,请你再给出两种不同的填法【解答】解：设五个圆圈上的数分别为 a、b、c、d、e,设：bda,dac,所以 bdac,由题意得：bd2,da3,ac1,推出 bc6这样有两种情况：b9,c3,d7,a4,e5,b8,c2,d7,a3,d6,e4如图所示：1114（15 分）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,于 C 地相遇后,甲继续向 B地行走,乙则休息 14 分钟后再继续向 A 地行走,甲和乙各自到达 B 地和 A 地后立即折返,又在 C 地相遇,已知甲每
14、分钟走 60 米,乙每分钟走 80 米,则 A、B 两地相距多少米?【解答】解：设甲乙第一次相遇用 x 分钟,那么甲行了 60 x 米、乙行了 80 x 米;第二次甲行了 80 x2 米、乙行了 60 x2 米;根据甲比乙多行 14 分钟,可得方程：（80 x2）60（60 x2）8014 x14 x12AB 长是：12（60+80）1680（米）答：A、B 两地相距 1680 米15（15 分）将 100 个棱长为 1 的立方体堆放成一个多面体,将可能堆成的多面体的表面积按从小到大排列,求开始的 6 个【解答】解：由分析可知：当长为 5、宽为 5、高为 4 时,此时表面积最小,表面积为：（5
15、5+54+54）2652130将表面积最小的长方体表面拿下一个小立方体放到长方体表面的别的任意一处,这样增加 4 个小正方形,表面积变成 134;再拿下一个小立方体跟第一次拿下的小立方体并排放,这样再增加 2 个小正方形,表面积变成 136;依次重复操作,注意拿下的小立方体与前面拿12下的都是并排放,这样每次增加 2 个小正方形,所以从小到大排列前 6 个为：13013413613814014216（15 分）在 m 行 n 列的网格中,规定：由上而下的横行依次为第 1 行,第 2 行,由左向右的竖列依次为第 1 列,第 2 列,点（a,b）表示位于第 a 行、第 b 列的格点,图 1是 4
16、行 5 列的网格从点 A（2,3）出发,按象棋中的马走“日”字格的走法,可达到网格中的格点 B（1,1）,C（3,1）,D（4,2）,E（4,4）,F（3,5）,G（1,5）,如果在 9 行 9 列的网格中（图 2）,从点（1,1）出发,按象棋中的马走“日”字格的走法,（1）能否到达网格中的每一个格点?答：能（填“能”或“不能”）（2）如果能,那么沿最短路线到达某个格点,最多的需要几步?这样的格点有几个?写出它们的位置如果不能请说明理由【解答】解：走“日”字就是每次走相邻两个小方格组成的长方形的对角线：如图所示：所以能到达网格中的每一个格点答：能到达网格中的每一个格点从起点（1,1）出发一次能走到的点标为 1,起点标 0;然后在标为 1 的点上考虑下一步能13走到的点,找出来后都标为 2,依次标记下去,每次走相邻两个小方格组成的长方形的对角线如下图所示：所以最多走 6 步,这样的格点位置分别为（7,9）、（8,8）、（9,7）、（9,9）答：最多走 6 步,这样的格点位置分别为（7,9）、（8,8）、（9,7）、（9,9）故答案为：能