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1、高等数学（一元函数微分学）例题解析【参考答案】1.连续；dxxfx)1(12411a2e；。ttttsincos!1 n2.解：因为，0(0)f2(0)f所以202020tancos-1lim(0)tancos-1()cos-(0)(1-)cos-1(limtan)cos-1(limxxfxxxfxfxxfxxx1212；dxxxexxxx11)2(21222；lncot-)ln2-sinln(1)sin(lnxxxxxxxx 解：，ttdtdxsincostetedtdyyysin-1costetedtdxdtdydxdyyysin-1sin 解：方程两边同时对 求导，得 1yxeyx0-y
2、yey xey当时，所以；在方程两边继续对 求导，0 x1yey(0)0-yyey xeyx得，所以0)(-2-2 yyyeyxey xyey22(0)ey 解：，1-1-2-12312xxxxy1nn(n)2-(!)1(-)2-1(xnx，1nn(n)1-(!)1(-)1-1(xnx所以。)1(1-)2(1!(-1)11n)(nnnx-x-ny3.解：，2112tdtdx2123-ttdtdy3223-3-22tttdtdxdtdydxdy当时，故，因此曲线在处的切线方程为3x0t2y1-|3xdxdy3x，即。)3-(2-xy05 yx4.解：因为(0)(lim011lim1-1lim)(
3、lim-0000fxfxxxxxfxxxx第 1 页 共 6 页所以函数在处连续；又因为)(xf0 xxxxxfxffxx1-1lim(0)-)(lim(0)00，所以在处不可导。1)1(1lim0 xxx)(xf0 x5.证明：因为对，有成立，所以当时，yx,)()()(yfxfyxf0,0yx可得或（若令，可知，故舍1(0)f0(0)fxy-)()(-(0)xfxff0(0)f去）所以，对，1(0)fxxxfxfxfxxfxxfxfxx)(-)()(lim)(-)(lim)(00)(0)(0)-)()(lim1-)()(lim00 xffxfxfxfxfxxfxfxx6.证明：要证命题：在
4、处不连续，则在处必不可导只需要证明)(xf0 x)(xf0 x命题：在处可导在处连续，因为)(xf0 x)(xf0 x0lim)(limlim0000 xxfxxyyxxx所以若在处不连续，则在处必不可导。)(xf0 x)(xf0 x自测题自测题 2.22.2 答案答案1.；。421dtett 221222.解：txxftxftxFt)sin(-)2(lim)(2)(2221)(-)2(limxf xtxxftxft所以)(2)(2)(xf xxfxF;dxax22;)5-2(32-12-)1-(315211323xxxxxxttt51162。nnxn21!3213n3.解：令，由得，又1,1
5、yx)()()(yfxfxyf0)1(f第 2 页 共 6 页xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxfxxxfx)()1(lim0 xxfxxfxfx)()1()(lim0 xfxxfx)1()1(lim0，xfxxxfxxfxx2)1(1/)1()1(lim10所以.将代入得，故为所求。Cxxfln2)(0)1(f0Cxxfln2)(4.解：当时，0 x2)(-)()(xxfxf xxg(0)212(0)-)(lim2)(lim)(limg(0)-)(lim(0)00200fxfxfxxfxxfxxggxxxx 所以 0(0)210)(-)()(2xfxxxfxf xxg5.解：1)-
6、1(lim)-1(lim(0)-)(lim(0)20200 xxxxxfxffxxx因为对任意 都有，当时，x)(2)1(xfxf10 x)-1()(2xxxf所以当，即时，110 x01-x)1(-1)1(21)1(21)(2xxxfxf)2-)(-1(212xxx 所以-12)-)(-1(21lim(0)-)(lim(0)-00-xxxfxffxx因为，所以函数在处不可导。(0)(0)-ff)(xf0 x6.证明：因为，nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21，nxnaxaxaxfncos2cos2cos)(21nnaaaf212)0(又因为，|sin|)(|xxf所以1|sin|
7、lim|)(|lim|(0)-)(lim|(0)|000 xxxxfxfxffxxx即132321nnaaaa导数的应用习题答案第 3 页 共 6 页1.证明（）。2arccosarcsinxx11x证：令，xxxfarccosarcsin)(01111)(22xxxf由推论知 f(x)=常数！再由，故2)0(f2arccosarcsinxx2.某厂生产电视机，固定成本为 元，每生产一台电视机，成本增加 元，已知总收益 Rab是年产量 的函数x ,21()42RR xbxx(04)xb问每年生产多少电视机时，总利润最大？此时总利润是多少？解：依题意，总成本是年产量 的函数，即Cx.()CC x
8、abx总利润，因而目标函数为()()()LL xR xC x .21()32L xbxxa(04)xb因为 ，令，得唯一驻点.()3L xbx()0L x3xb故得当年产量为时，总利润最大，此时总利润为元.3b2(4.5)ba3.证明:有不等式0 x.（4）1 0,axaxa 01a证明：讨论函数()1af xxaxa 在区间的最大值.(0,).11()(1)aafxaxaa x令,解得唯一驻点 1,它将区间分成两个区间与列表()0fx(0,)(0,1)(1)(0,1)1(1)()fx0()f xA极大点A驻点 1 是函数极大点,极大值由此表可见极大值就是函数在()f x(1)0f(1)0f(
9、)f x区间的最大值,即,有0,2 0 x 或()(1)f xf10axaxa 第 4 页 共 6 页4.确定抛物线方程中的常数,使其与直线在处相切.2yxbxcbc、2yx2x 切点(2,4)在抛物线上,得22|42,xkybb 4c 5.设函数处有极小值-10,求常数3232yxaxbxcxx 在处有极大值,在,abc、-3、2 是的根,;(2,-10)在曲线上0y 1.5a18b 12c6.解：设 则,切线过和32()f xaxbxcxd(3)0,(3)0,ff(1)8f(3,0)点，从而知切线的斜率，故有：(1,8)(1)kf 43227930127605()539833249abcd
10、aabcbf xxxxabcdcabcd 7.证：设在上可导，)()(xxfxFa,bF(1)(0)F 由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即(0,1)0)(F0)()(ff8.证明：设 xxxarctgxfarcsin2111)(011211211211111)(22/xxxxxxxf 012112112121222xxxxx ，而，故cxf)(4(0)f4)(xf9.A 10.A 11.设函数在的某邻域内可导，)(xf0 x0(0)f，则是的极 大 值。21sin)(lim/0 xxfx(0)f)(xf12.在抛物线上的第一象限部分求一点 P，过 P 点作切线，使该切线与坐标轴所24xy围
11、成的三角形面积最小。解：设切点为，切线方程为，即),(yxPxXxxY242142422xYxxX第 5 页 共 6 页 三角形面积：，)168(412)4(21)(322xxxxxxS20 x，令，解得唯一驻点)16-83(41)(22xxxS0)(xS32x，当时，)326(41)(3xxxS 0)32(S32x38y 在点处取得极小值，且为最小值。)(xS32x13.证：令，则xxxfln1)(20 xxxxf12)(2/令得驻点唯一，又因为0)(/xf21x01)(2/xxxf所以函数在处取得极小值，且为最小值。)(xf21x即当时，0 x02ln2123)21()(fxf14.在上可导，且单调减，)(xf,0c)(/xf0(0)f证明：，。)()()(bfafbafbaba0 证：令，)()()()(afxfaxfxF)()()(/xfaxfxF 单调递减，)(/xf0axax)()(/xfaxf ，即单调递减0)(/aF)(xF当，即 bx,00(0)(FbF)()()(bfafbaf第 6 页 共 6 页