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1、11.学会画图解行程题2.能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3.能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“度度度度度度”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解【例例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点?【考点】行程问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内,甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍,为3
2、00 103000米,因为甲的速度为每秒钟跑3.5米,乙的速度为每秒钟跑 4 米,所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54米,也就是甲最后一次离开出发点继续行了 200 米,可知甲还需行300200100米才能回到出发点【答案】100米【巩固】甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒 3 米,乙的速度是每秒 2 米如果他们同时分别从直路两端出发,10 分钟内共相遇几次?【考点】行程问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】17【答案】17【巩固】甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点 A 背向同时出发,8 分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走 0.1 米,那
3、么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】176【答案】176【例例 2】甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行,6 时后相遇.如果二人的速度各增加 1 千米时,那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米.问：甲、乙二人的速度各是多少?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】甲、乙两人的速度和第一次为 606=10（千米时）,第二次为 12（千米/时）,故第二次出发后 5 时相遇.设甲第一次的速度为 x 千米时,由两次相遇的地点相距 1 千米,有 6x5（x1）1,解得 x6 或 x4,即甲、乙二人的速度
4、分别为 6 千米时和 4 千米时.【答案】甲、乙二人的速度分别为 6 千米时和 4 千米时知识精讲知识精讲教学目标教学目标3-1-43-1-4 多次相遇和追及问题多次相遇和追及问题2板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例例 3】上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家里出发,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是 8 千米,这时是几点几分?【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】画一张简单的示意图：乙乙 乙乙 乙4乙 乙4乙 乙图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了 8-
5、44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算,小明骑 8 千米,爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上,爸爸少用了 8 分钟,骑行了41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 88=1（千米/分）,爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.881632.所以这时是 8 点 32 分.【答案】8 点 32 分【例例 4】甲、乙两车同时从 A 地出发,不停的往返行驶于 A,B 两地之间.已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地.问：甲车的速度是乙车的多少倍
6、?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】2 倍.解：如下图所示,因为每次相遇都共行一个来回,所用时间相等,所以乙车两次相遇走的路程相等,即2ACCB,推知23ACAB.第一次相遇时,甲走了43ABBCAB,乙走了23ACAB,所以甲车速度是乙车的2倍.【答案】2倍【例例 5】如图,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了 100 米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完12圈的路程,当甲、
7、乙第二次相遇时,甲乙共走完 1+1232圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍,即 1003=300 米有甲、乙第二次相遇时,共行走(1 圈60)+300,为32圈,所以此圆形场地的周长为 480 米3【答案】480 米【巩固】A、B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇已知 C 离 A 有 75 米,D 离 B 有 55 米,求这个圆的周长是多少米?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】340【答案】340【巩固】如右图
8、,A,B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米,D 离 B 有 60 米,求这个圆的周长.乙乙CDBA【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】第一次相遇,两人共走了 0.5 圈;第二次相遇,两人共走了 1.5 圈.因为 1.50.53,所以第二次相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的3倍,即AA3240ACDAC(米),推知AA240180ABBD(米),圆周长为1802360（米）.【答案】360 米【巩固】在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6
9、分后两人相遇,再过 4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以甲环行一周需 12820（分）,乙需 204630（分）.【答案】20 分,30 分板块三、多次相遇与全程的关系1.两地相向出发：第 1 次相遇,共走 1 个全程;第 2 次相遇,共走 3 个全程;第 3 次相遇,共走 5 个全程;,;第 N 次相遇,共走 2N-1 个全程;注意：除了第 1 次,剩下的次与次之间
10、都是 2 个全程.即甲第 1 次如果走了 N 米,以后每次都走 2N 米.2.同地同向出发：第 1 次相遇,共走 2 个全程;第 2 次相遇,共走 4 个全程;第 3 次相遇,共走 6 个全程;,;4 第 N 次相遇,共走 2N 个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差【例例 6】甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出,第一次在离 A 地 95 千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 25 千米处相遇求 A、B 两地间的距离是多少千米?【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】画线段示意图(
11、实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个A、B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时,甲车行了 95 千米,当它们共行三个 A、B 两地间的距离时,甲车就行了 3 个 95 千米,即 953=285（千米）,而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米,可得：953-25=285-25=260(千米)【答案】260 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发
12、点后立即返回,在距 B 地 3 千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】43=12 千米,通过画图,我们发现甲走了一个全程多了回来那一段,就是距 B 地的 3 千米,所以全程是 12-3=9 千米,所以两次相遇点相距 9-（3+4）=2 千米.【答案】2 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 5 千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】4 千米【
13、答案】4 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 4 千米处第二次相遇,求两人第5 次相遇地点距 B 多远.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】12 千米【答案】12 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 7 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 3 千米处第二次相遇,求第三次相遇时共走了多少千米.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】
14、90 千米【答案】90 千米5【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 2 千米处第二次相遇,求第 2000次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】4 千米【答案】4 千米【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离 A 地 18千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距 B 地 13 千米处第二次相遇,求 AB两地之间的距离.【考点】行程问题 【
15、难度】2 星 【题型】解答【解析】41 千米【答案】41 千米【巩固】甲、乙两车同时从 A,B 两地相向而行,在距 B 地 54 千米处相遇.他们各自到达对方车站后立即返回原地,途中又在距 A 地 42 千米处相遇.求两次相遇地点的距离.【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】24 千米.提示：第一次相遇两车共行了 A,B 间的一个单程,其中乙行了 54 千米;第二次相遇两车共行了 A,B 间的 3 个单程,乙行了 543162（千米）,乙行的路程又等于一个单程加 42 千米.故 A,B 间的距离为 16242120（千米）.【答案】120 千米【巩固】湖中有 A,B 两岛,甲、
16、乙二人都要在两岛间游一个来回.两人分别从 A,B 两岛同时出发,他们第一次相遇时距 A 岛 700 米,第二次相遇时距 B 岛 400 米.问：两岛相距多远?【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】1700 米.【答案】1700 米【例例 7】A、B 两地相距 2400 米,甲从 A 地、乙从 B 地同时出发,在 A、B 间往返长跑.甲每分钟跑 300 米,乙每分钟跑 240 米,在 30 分钟后停止运动.甲、乙两人在第几次相遇时 A 地最近?最近距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】希望杯,五年级,二试【解析】30(300+240)2400=6.
17、75 个全程,相遇 3 次,把全程分成 9 份,第一次相遇,甲跑 5 份,第二次相遇甲跑 15 份,距离 A3 份,第三次相遇甲跑 25 份距离 A7 份,所以第二次相遇距离 A 最近,最近为240093=800 米.【答案】800 米【巩固】A、B 两地相距 950 米.甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时.甲步行,每分钟走 40 米;乙跑步,每分钟行 150 米.则甲、乙二人第_ _次迎面相遇时距 B 地最近.【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】半小时,两人一共行走40150305700米,相当于 6 个全程,两人行程每 2 个全程就会
18、有一次相遇,而两人的速度比 15：4,所以相同时间内两人的行程比为 15：4,那么第一次相遇甲走了全程的48215419,距离B1119个全程,第二次相遇甲总行程1619距离B319个全程,第三次2419距离6519个全程,所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近.【答案】第二次【例例 8】如图 8,甲、乙两艘快船不断往返于 A、B 两港之间.若甲、乙同时从 A 港出发,它们能否同时到达下列地点?若能,请推出它们何时到达该地点;若不能,请说明理由：（1）A 港口;（2）B 港口;（3）在两港口之间且距离 B 港 30 千米的大桥.【考点】行程问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】希望杯
19、.五年级.二试【解析】（1）甲往返一次的时间是 .h1801801353010300,乙往返一次的时间是 .h18018055010500,13.5 和 7.5 的最小公倍数是 67.5,所以,在甲、乙出发后的.,67512a a 小时,它们又同时回到A港.（5 分）（2）设甲、乙能同时到达B港,此时,甲、乙各完成了,m n次往返（,m n是自然数）,则有 .1801801357530105010mn 即 915mn.当m的个位数是 6 或 1 时,有满足上式的自然数n.,最小的=1,最少需要 4.5+13.5=18 小时.则在甲、乙出发后 18+67.5 小时,它们同时到达港口.（10 分）
20、（3）设甲、乙能同时到达大桥,且分别完成了,m n次往返（,m n是自然数）.若此时甲、乙向下游行驶,则 .1501501357530105010mn,即 .13512 575mn,没有满足上式的自然数,m n.若此时甲、乙向上游行驶,则 .180301803013575301030 10501050 10mn,即 .13522 575mn,没有满足上式的自然数,m n.若此时甲向上游行驶,乙向下游行驶,则 .1803015013575301030 105010mn 即 27715mn 没有满足上式的自然数,m n.若此时甲向下游行驶,乙向上游行驶,则7 .150180301357530105
21、01050 10mn 即 95mn 当m的个位数是 0 或 5 时,有满足上式的自然数n,所以在甲、乙出发后的 .,150135 53756750 1 23010cc c 小时,它们同时到达大桥.【答案】（1）.,67512a a 小时 （2）18+67.5 小时 （3）.,150135 53756750 1 23010cc c小时【例例 9】甲、乙二人进行游泳追逐赛,规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游,直到一方追上另一方为止,追上者为胜.已知甲、乙的速度分别为 1.0 米秒和 0.8 米秒.问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙?（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次?【考点】行
22、程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】（1）250 秒;（2）4 次.提示：（2）甲、乙分别游了 5 个和 14 个单程,故迎面相遇 4 次.【答案】（1）250 秒;（2）4 次【例例 10】甲、乙两车分别从 A,B 两地出发,并在 A,B 两地间不断往返行驶.已知甲车的速度是 15 千米时,乙车的速度是 25 千米时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 100 千米.求A,B 两地的距离.【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】200 千米.第一次相遇时,两车共走1个单程,其中乙车占15315258.第三次相遇时,两车共走5个单程,乙车走了375188（个）单
23、程;第四次相遇时,两车共走7个单程,乙车走了357288（个）单程;因为第三次、四次相遇地点相差7511882（个）单程,所以A,B两地相距11002002（千米）.【答案】200 千米【例例 11】欢欢和乐乐在操场上的 A、B 两点之间练习往返跑,欢欢的速度是每秒 8 米,乐乐的速度是每秒5 米.两人同时从 A 点出发,到达 B 点后返回,已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点 5米,AB之间的距离是_.【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级【解析】130 米.【解析】第二次应面相遇,两人合计跑了4个全程,速度比试8:5,所以欢欢跑了832642131
24、313【解析】全程为165130213米【答案】130米【例例 12】甲、乙两车同时从 A、B 两地相对亦开出,两车第一次距 A 地 32 千米处相遇,相遇后两车继续行驶,各自达到 B、A 两地后,立即沿原路返回,第二次在距 A 地 64 千米处相遇,则 A、B 两地间的距离是_千米.【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,6 年级,二试【解析】第一次相遇,两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离;8【解析】第二次相遇,两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离的三倍.【解析】所以,第二次相遇时,两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的三倍.【解析】第一次相遇时,
25、甲车行驶 32 千米;【解析】第二次相遇时,甲车行驶全程的二倍减 64 千米.【解析】所以,全程的二倍减 64 千米等于 96 千米,全程为 80 千米.【答案】80【例例 13】小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步,做体能训练,小明的速度为 6 米/秒,小红的速度为 4 米/秒他们同时从跑道两端出发,连续跑了 12 分钟在这段时间内,他们迎面相遇了多少次?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】第一次相遇时,两人共跑完了一个全程,所用时间为：1006410度度(秒)此后,两人每相遇一次,就要合跑 2 倍的跑道长,也就是每 20 秒相遇一次,除去第一次的 10 秒,
26、两人共跑了126010710(秒)求出 710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇,就是相遇的总次数列式计算为：1006410度度(秒),1260101023510度度度度,共相遇35136(次).注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长【答案】36 次【例例 14】A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80 分钟后两人第一次相遇,100 分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】一 一 一 一 一一 一 一 一 一一一FEB
27、A由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间,乙在1008020(分钟)内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度,即等于甲在(80100)分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的 9 倍(18020),则BF的长为AF的 9 倍,所以,甲从A到B,共需走80(19)800(分钟)乙第一次追上甲时,所用的时间为 100 分钟,且与甲的路程差为一个AB全程从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程,因此,追及时间也变为200 分钟(1002),所以,在甲从A到B的 800 分钟内,乙共有 4 次追上甲,即在第 100 分钟,300分钟,500 分钟和 700 分钟【答案
28、】第 100 分钟,300 分钟,500 分钟和 700 分钟【例例 15】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,乙的速度是甲的23,二人相遇后继续行进,甲到B地、乙到A地后立即返回已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是 100 千米,那么,A、B两地相距 千米【考点】行程问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】由于甲、乙的速度比是2:3,所以在相同的时间内,两人所走的路程之比也是2:3第一次相遇时,两人共走了一个AB的长,所以可以把AB的长看作 5 份,甲、乙分别走了 2 份和 3 份;第二次相遇9时,甲、乙共走了三个AB,乙走了236份;第三次相遇时,甲、乙共走了五个AB,乙
29、走了2510份 乙第二次和第三次相距 106=4（份）所以一份距离为：1004=25（千米）,那么A、B两地距离为：525125（千米）【答案】125 千米【巩固】小王、小李二人往返于甲、乙两地,小王从甲地、小李从乙地同时出发,相向而行,两人第一次在距甲地 3 千米处相遇,第二次在距甲地 6 千米处相遇(追上也算作相遇),则甲、乙两地的距离为 千米【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】填空【解析】由于两人同时出发相向而行,所以第一次相遇一定是迎面相遇;由于本题中追上也算相遇,所以两人第二次相遇可能为迎面相遇,也可能为同向追及如果第二次相遇为迎面相遇,如下图所示,两人第一次在A处相遇,第二次
30、在B处相遇由于第一次相遇时两人合走 1 个全程,小王走了 3 千米;从第一次相遇到第二次相遇,两人合走 2 个全程,所以这期间小王走了326千米,由于A、B之间的距离也是 3 千米,所以B与乙地的距离为(63)21.5千米,甲、乙两地的距离为61.57.5千米;BA乙乙乙乙AB乙乙乙乙如果第二次相遇为同向追及,如上图,两人第一次在A处相遇,相遇后小王继续向前走,小李走到甲地后返回,在B处追上小王在这个过程中,小王走了633千米,小李走了639千米,两人的速度比为3:91:3所以第一次相遇时小李也走了 9 千米,甲、乙两地的距离为9312千米所以甲、乙两地的距离为7.5千米或 12 千米【答案】
31、7.5千米或 12 千米【巩固】A,B 两地相距 540 千米.甲、乙两车往返行驶于 A,B 两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快.设两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中 P 地.那么到两车第三次相遇为止,乙车共走了多少千米?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】第一次相遇,甲乙总共走了 2 个全程,第二次相遇,甲乙总共走了 4 个全程,乙比甲快,相遇又在 P点,所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇,乙从第一个 P 点到第二个 P 点,路程正好是第一次的路程.所以假设一个全程为 3 份,第一次相遇甲走了 2 份乙走了 4 份.第二次相
32、遇,乙正好走了 1 份到 B 地,又返回走了 1 份.这样根据总结：2 个全程里乙走了（5403）4=1804=720 千米,乙总共走了 7203=2160 千米.【答案】乙总共走了 2160 千米【例例 16】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）,他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇,在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】画示意图如下.10第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍,因此张走了3.5310.5（千米）.从图上可看出,第二次
33、相遇处离乙村 2 千米.因此,甲、乙两村距离是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时,两人已共同走了两村距离（322）倍的行程.其中张走了3.5724.5（千米）,24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇处,离乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.【答案】第四次相遇地点离乙村 1 千米【例例 17】A,B 两地间有条公路,甲从 A 地出发步行到 B 地,乙骑摩托车从 B 地出发不停顿地往返于 A,B 两地之间.他们同时出发,80 分后两人第一次相遇,100 分后乙第一次超过甲.问：当甲到达
34、 B 地时,乙追上甲几次?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】4 次.提示：如下图所示,C,D 点分别为乙第一次遇到和超过甲的地点.甲从 A 到 C 用了 80 分,到D 用了 100 分,乙从 C 到 A 又到 D 用了 20 分,可见乙 20 分走了甲需 180 分走的路,即己的速度是甲的 9 倍.【答案】4 次【例例 18】电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发相向而行,在轨道上往返行驶.已知A比B的速度快50%,根据推算,第20072007次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米,轨道长 厘米.【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】学而思杯
35、,6 年级,1 试【解析】A,B两车速度比为(150%):13:2.第20072007次相遇点的位置在：20073(220071)5(mod10);第20082008次相遇点的位置在：20083(220081)3(mod10).所以这条轨道长58(53)5145（厘米）.【答案】145板块四、解多次相遇问题的工具柳卡柳卡图,不用基本公式解决,快速的解法是直接画时间-距离图,再画上密密麻麻的交叉线,按要求数交点个数即可完成.折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”,“相遇的地点”,以及“由相遇的地点求出全程”,使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少.如
36、果不画图,单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易.【例例 19】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约,且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】这就是著名的柳卡问题下面介绍的法国数学家柳卡斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解11法他先画了如下一幅图：这是一张运行图在平面上画两条平行线,以一条直线表示哈佛,另一条直线表示纽约那么,从哈佛或纽约开出的轮船,就可用图中的两组平行线簇来表示图中的每条线段分别表示每条船的运行情况粗线表示从哈佛驶出的轮船在海
37、上的航行,它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况从图中可以看出,某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的 15 艘轮船相遇（图中用虚线表示）而且在这相遇的 15 艘船中,有 1 艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛）,1 艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出）,剩下 13 艘则在海上相遇;另外,还可从图中看到,轮船相遇的时间是每天中午和子夜如果不仔细思考,可能认为仅遇到 7 艘轮船这个错误,主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船【答案】15 艘【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走 15 分
38、钟有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候,恰好有一辆电车到达乙站在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出问他从乙站到甲站用了多少分钟?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答：骑车人一共看到 12 辆车,他出发时看到的是 15 分钟前发的车,此时第 4 辆车正从甲发出骑车中,甲站发出第 4 到第 12 辆车,共 9 辆,有 8 个 5 分钟的间隔,时间是5 840（分钟）再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发,所以把
39、表示甲站与乙站的直线等距离划分,每一小段表示 5 分钟第二步：因为电车走完全程要 15 分钟,所以连接图中的 1 号点与 P 点（注意：这两点在水平方向上正好有 3 个间隔,这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟）,然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车第三步：从图中可以看出,要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车,那么从 P点引出的粗线必须和 10 条平行线相交,这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线从图中可以看出,骑车人正好经历了从 P 点到 Q 点这段时间,因此自行车从乙站到甲站用了5 840（分钟）对比前一种解法可以看出,采用运
40、行图来分析要直观得多！12【答案】40分钟【例例 20】甲、乙两人在一条长为 30 米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒 1 米,乙的速度是每秒0.6米如果他们同时分别从直路的两端出发,当他们跑了 10 分钟后,共相遇几次?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】采用运行图来解决本题相当精彩！首先,甲跑一个全程需30130（秒）,乙跑一个全程需300.650（秒）与上题类似,画运行图如下（实线表甲,虚线表示乙,那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：从图中可以看出,当甲跑 5 个全程时,乙刚好跑 3 个全程,各自到了不同两端又重新开始,这正好是一周期 150 秒在这一周期内两人相遇了
41、 5 次,所以两人跑 10 分钟,正好是四个周期,也就相遇了5420（次）【答案】20 次【例例 21】A、B 两地位于同一条河上,B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发,相向而行,甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后,都立即按原来路线返航水速为 2 米/秒,且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距 20 千米,那么两船在静水中的速度是 米/秒【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】迎春杯,复赛,高年级组【解析】本题采用折线图来分析较为简便NMFEDCBA如图,箭头表示水流方向,ACE表示甲船的路线,BDF表示乙船的路线,两个交点M
42、、N就是两次相遇的地点由于两船在静水中的速度相同,所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同,那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同,表现在图中,就是BC和DE的长度相同,AD和CF的长度相同那么根据对称性可以知道,M点距BC的距离与N点距DE的距离相等,也就是说两次相遇地点与A、B两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距 20 千米,所以第一次相遇时,两船分别走了10020240千米和1004060千米,可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍,即为 4 米/秒,可得顺水速度为432312米/秒,那么两船在静水中的速度为12210米/秒【
43、答案】10 米/秒【例例 22】A、B 两地相距 1000 米,甲从 A 地、乙从 B 地同时出发,在 A、B 两地间往返锻炼乙跑步每分钟行 150 米,甲步行每分钟行 60 米在 30 分钟内,甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)?最近距离是多少?一个周期内共有 5 次相遇,其中第 1,2,4,5次是迎面相遇,而第3 次是追及相遇13【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】甲、乙的运行图如上,图中实现表示甲,虚线表示乙,两条线的交点表示两人相遇在 30 分钟内,两人共行了(150 60)30 6300 米,相当于 6 个全程又 300 米,由图可知,第
44、3 次相遇时距离 A 地最近,此时两人共走了 3 个全程,即 1000 3=3000 千米,用时 3000（150+60）=100/7 分钟,甲行了 60100/7=6000/7 米,【解析】相遇地点距离 B 地 1000-6000/7 143 米【答案】143 米【巩固】A、B 两地相距 950 米甲、乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时甲步行,每分钟走 40 米;乙跑步,每分钟行 150 米则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】半小时内,两人一共行走（40 150）30=5700 米,相当于 6 个全程,两人每合走 2 个全程就
45、会有一次相遇,所以两人共有 3 次相遇,而两人的速度比为 40:150=4:15,所以相同时间内两人的行程比为 4:15,那么第一次相遇甲走了全程的48215419,距离 B 地 11/19 个全程;第二次相遇甲走了 16/19 个全程,距离 B 地 3/19 个全程;第三次相遇甲走了 24/19 个全程,距离 B 地 5/19 个全程,所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近【答案】第二次【巩固】A、B两地相距950m,甲、乙两人同时从A地出发,往返A、B两地跑步90分钟甲跑步的速度是每分钟40m;乙跑步的速度是每分钟150m在这段时间内他们面对面相遇了数次,请问在第几次相遇时他们离B
46、点的距离最近?【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】950150405度度（分钟）甲、乙两人合走一个全程需要5分钟,每合走2 个全程相遇一次,所以总共相遇90(52)9次而甲每10分钟走40 10400（m）并且与乙相遇一次,因为9503400750（m）也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50m为最小,在第7次相遇时他们离B点距离最近【答案】第 7 次【巩固】A、B 两地相距 2400 米,甲从 A 地、乙从 B 地同时出发,在 A、B 两地间往返锻炼甲每分钟跑 300 米,乙每分钟跑 240 米,在 30 分钟后停止运动甲、乙两人第几次相遇时距 A 地最近?最近距离是多少
47、?【考点】行程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】第二次,800 米【答案】第二次,800 米板块五、多次相遇问题变道问题【例例 23】甲、乙两车同时从同一点A出发,沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶 65 千米,乙车每小时行驶 55 千米一旦两车迎面相遇,则乙车立刻调头;一旦甲车从后面追上乙车,则甲车立刻调头,那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离A点有多少米?(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)14【考点】行程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】第一次是一个相遇过程,相遇时间为：6(6555)0.05小时,相遇地点距离A点：550.052.75千米然后乙
48、车调头,成为追及过程,追及时间为：6(6555)0.6小时,乙车在此过程中走的路程为：550.633千米,即 5 圈又 3 千米,那么这时距离A点32.750.25千米此时甲车调头,又成为相遇过程,同样方法可计算出相遇地点距离A点0.252.753千米,然后乙车掉头,成为追及过程,根据上面的计算,乙车又要走 5 圈又 3 千米,所以此时两车又重新回到了A点,并且行驶的方向与最开始相同所以,每 4 次相遇为一个周期,而11423,所以第 11 次相遇的地点与第 3 次相遇的地点是相同的,与A点的距离是 3000 米【答案】3000 米【例例 24】下图是一个边长 90 米的正方形,甲、乙两人同时
49、从 A 点出发,甲逆时针每分行 75 米,乙顺时针每分行 45 米两人第一次在 CD 边（不包括 C,D 两点）上相遇,是出发以后的第几次相遇?【考点】行程问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】两人第一次相遇需360(7545)3分,其间乙走了453135（米）由此知,乙每走 135 米两人相遇一次,依次可推出第 7 次在 CD 边相遇（如图,图中数字表示该点相遇的次数）【答案】第 7 次【例例 25】如图所示,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步.跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥泞道路上两人的速度均
50、为每秒4米.两人一直跑下去,问：他们第 99 次迎面相遇的地方距A点还有 米.A【考点】行程问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】本题中,由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同,可以发现,如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈,两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同,那么两人所用的总时间也就相同,所以,两人同时出发,跑一圈后同时回到A点,即两人在A点迎面相遇,然后再从A点出发背向而行,可以发现,两人的行程是周期性的,且以一圈为周期在第一个周期内,两人同时出发背行而行,所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇,这是两人第一次迎面相遇,然后回到出发点是第二次迎面相遇;然后再出发,又在同一