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1、一方向与路线一、用角度描述物体所在的方向1.四面八方示意图。习惯上,在确定位置时,常把东北方向叫做北偏东;西北方向叫做北偏西;西南方向叫做南偏西;东南方向叫做南偏东。2.用方向和角度描述物体的位置。如旋转木马在过山车的西北方向上,过山车与旋转木马的连线与方位线所形成的夹角的度数是 30,那么旋转木马在过山车的北偏西 30的方向上。3.用角度描述物体所在的方向。(1)先确定观测点,明确观测点与各娱乐设施的连线与方位线所形成的夹角的度数;再确定以哪个方向为主方向。(2)观测点与各娱乐设施的角度未知时,要用量角器测量观测点与各娱乐设施的连线与方位线所形成的夹角的度数。二、认识简单的线路图1.描述行走
2、路线的方法:按行走路线先确定行走方向,再用恰当的词语按地点顺序叙述。2.在行走过程中位置会不断地发生变化,即观测点在发生变化。3.在描述行走路线时,要先确定有几个观测点,再一段一段地按方向和角度进行描述。重点提示:描述物体的方向,一般从南或北说起。易错题:爷爷在小丽的南偏东 55,小丽在爷爷的(南偏东 55)。错解分析:此题错在没有理清爷爷和小丽之间以谁为观测点,判断小丽在爷爷的什么方向,应以爷爷为观测点。正确答案:北偏西 55要点提示:(1)北偏西 55指的是一个方向。(2)如果两个人或物体的位置相对,那么方向正好相反。要点提示:在描述行车路线时,应描述出行车方向和行驶几站。五年级上册数学冀
3、教版知识要点二小 数 乘 法一、小数点位置变化1.小数点位置向右移动的规律和应用。(1)小数点位置向右移动的规律:一个数扩大到原来的10 倍,小数点向右移动一位;一个数扩大到原来的 100 倍,小数点向右移动两位;一个数扩大到原来的 1000 倍,小数点向右移动三位当小数部分位数不够时,要用 0 补足。如 3.2 扩大到原来的100 倍是 320。(2)把高级单位的数改写成低级单位的数,如果两个单位之间的进率是 10、100、1000那么可以应用小数点位置向右移动的规律进行改写。如 2.4 千克=2400 克。2.小数点位置向左移动的规律和应用。(1)小数点位置向左移动的规律:一个数缩小到原来
4、的110,小数点向左移动一位;一个数缩小到原来的1100,小数点向左移动两位;一个数缩小到原来的11000,小数点向左移动三位(2)一个数除以 10、100、1000如果商的小数位数不够时,要用 0 补位。如 2.6100=0.026。(3)把低级单位的数改写成高级单位的数,如果两个单位之间的进率是 10、100、1000那么可以应用小数点位置向左移动的规律进行改写。如 5800 毫升=5.8 升。二、小数乘法1.小数乘整数的计算方法:小数乘整数,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。积是小数且末尾有 0 的,要去掉末尾的 0。2.小数乘小
5、数的计算方法:小数乘小数,先按照整数乘法的计算方法算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。积是小数且末尾有 0 的,要去掉末尾的 0。小数乘小数,乘得的积的小数位数不够时,要在前面补 0 占位。如0.080.3=0.024。三、积的近似值1.四舍五入法:在取近似值的时候,根据要求所保留的位数,看它的下一位,如果下一位上的数字是4或者比4小,就把尾数直接舍去;如果下一位上的数字是5或者比5大,就把后面的数舍去并且往所要保留的那一位上进“1”,这种取近似值的方法叫做“四舍五入法”。易错题:一个不为 0 的数的小数点向右移动一位,所得的数比原数增加了(10)倍。错解分析:
6、此题错在对“增加”和“扩大到原来的”的含义区分不清。增加了 10 倍表示增加后比原数多 10 倍,是原数的 11 倍,此题中把一个不为 0 的数的小数点向右移动一位扩大到原来的 10 倍,增加了 10-1=9倍。正确答案:9重点提示:两个因数相乘,如果一个因数扩大到原来的几倍,另一个因数同时相应地缩小到原来的几分之一,积不变。知识巧记:小数乘法并不难,关键点好小数点。因数小数位数和,等同积中小数位。积中位数如不够,用 0 补足再点点。要点提示、:积的末尾有 0 时,要先点小数点,再去掉小数末尾的 0。知识巧记:四舍五入方法好,求近似值有法找。2.求积的近似值的方法:先算出积,再看需要保留位数的
7、下一位上的数,按照“四舍五入法”求出结果,最后用“”连接。四、解决问题1.运用小数乘法的知识解决简单实际问题的方法。(1)结合具体情境,可以列出乘加、乘减算式解决实际问题。(2)小数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同,先算乘法,后算加减法,有括号的要先算括号里面的。2.整数的运算定律,同样适用于小数运算。乘法交换律:ab=ba乘法结合律:a(bc)=(ab)c乘法分配律:(a+b)c=ac+bc3.抹零、凑整。(1)在购物过程中,遇到总价是几元几角几分时,一般情况下卖家会把“分”舍去不计,这种现象叫做“抹零”。(2)在购物过程中,遇到总价接近整元时,商家多给一些商品凑成整元的钱数,
8、这种现象叫做凑整。保留哪位看下位,再同数 5 作比较。是 5 大 5 前进 1,小于 5 的全舍掉。要点提示:求积的近似值,积末尾的 0 不能去掉。要点提示:(1)乘法分配律也可以逆用,即ac+bc=(a+b)c。(2)乘法分配律可以拓展为(ab)c=acbc。重点提示:整数的运算定律同样适用于小数运算。三小 数 除 法一、小数除法1.除数是整数的小数除法。(1)除数是整数的小数除法与整数除法的计算方法相同,也是从被除数的最高位除起。(2)除数是整数的小数除法的计算方法:小数除以整数,按照整数除法的计算方法计算,商的小数点要与被除数的小数点对齐;如果整数部分不够除,那么要在商的个位上商0 占位
9、,然后在 0 的后面点上小数点继续除;除到被除数的末尾仍有余数,要在余数后面添 0 继续除。2.除数是一位小数的除法。计算除数是一位小数的除法时,先去掉除数的小数点,同时把被除数的小数点向右移动相同的位数,再按照除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。3.除数是两位小数的除法。一个数除以小数,去掉除数的小数点,即小数点向右移动相应的位数,使除数变成整数,同时,被除数的小数点也要向右移动相同的位数(被除数的小数位数比除数的小数位知识巧记:小数除法不算难,数点对齐是关键。整数部分不够除,商 0 再点小数点。末尾如果有余数,添 0 再把商来算。要点提示:整数除以小数,把除数化成整数时,除数的小数点向
10、右移动几位,就在被除数的末尾添上几个 0。识错技巧:整数除以整数,如果除到被除数的个位仍有余数,那么所得的商一定是小数。数少几位,就在被除数的末尾补几个 0),然后按照除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。4.商与被除数的关系。当被除数不等于 0 时,若除数小于 1 且大于 0,则商大于被除数;若除数大于 1,则商小于被除数;若除数等于 1,则商等于被除数。二、混合运算1.小数四则混合运算的运算顺序:小数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序是一样的。在一个算式里,若不含有小括号,只有加减法(或者只有乘除法),则要按照从左往右的顺序依次进行计算;若不含有小括号,既有加减法,又有乘
11、除法,则要先算乘除法,后算加减法;若含有小括号,则要先算小括号里面的,再算小括号外面的。2.运用转化的方法解决小数两步混合运算。如要求 18222.2-666.6 的结果,我们由 222.2=111.12,666.6=111.16 可知,可以先将原式转化成 182111.1-111.16,再进行计算。18222.2-666.6=182111.1-111.16=(182-6)111.1=3333三、商的近似值1.在实际应用中,小数除法求出的商可以用“四舍五入法”保留一定的小数位数,求出商的近似值。2.求小数除法的商的近似值时,一般先除到比需要保留的小数位数多一位,再按照“四舍五入法”取商的近似值
12、。四、循环小数1.循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。如 14.151515、20.0303。2.循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。如14.151515这个循环小数中,小数部分“15”依次不断地重复出现,“15”就是这个循环小数的循环节。3.一个整数(0 除外,9 的倍数除外)除以 9,商是循环小数,第一次除得的余数是几,商的小数部分就重复出现几。4.小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。易错题:5.8+4.24=104=40错解分析:此题错在没有掌握小数两步混合运算的运算顺
13、序,应先算乘法,再算加减法。正确答案:5.8+4.24=5.8+16.8=22.6要点提示:求商的近似值时,近似值的末尾如果是 0,这个 0 起占位的作用,不能去掉。求商的近似值应该用“”连接。重点提示:循环小数的位数是无限的,是无限小数。易错题:5.790.633错解分析:此题错在 0.633是准确值,却用“”连接了。正确答案:5.790.635.小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。四可能性一、简单随机现象和等可能性1.随机现象:抛出的硬币落地时可能是正面朝上,也可能是反面朝上,这种现象属于随机现象。2.等可能性:抛一枚硬币,出现正面朝上和反面朝上的可能性相等,在数学上叫做等可能性。3
14、.在一定条件下,一些事件的结果是不可预知的,具有不确定性;一些事件的结果是可预知的,具有确定性。4.确定的事件用“一定”“不可能”来描述;不确定的事件用“可能”来描述。如盒子里有 3 个红球,4 个白球,(可能)摸出红球和白球,(不可能)摸出黄球;袋子里有 10 个绿球,(一定)能摸出绿球。5.在一定条件下,有些事件发生的结果是可预测的,有几种情况,就有几种可能结果。二、列举事件所有可能出现的结果1.用列表法列举事件所有可能出现的结果。小明和小亮玩“棒子、老虎、鸡、虫”的游戏,游戏规则,棒子打老虎、老虎吃鸡、鸡吃虫,虫吃棒子,可能出现的结果有多少种?用 1、2、3、4 分别表示棒子、老虎、鸡、
15、虫,结果如下:12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共有 16 种可能结果。2.用图示法求出可能的结果。如有黄、红、黑 3 个皮球,两两组合可能出现的结果。共有 3 种可能结果。3.可以用图示法和排列组合法的知识列举出事件有可能出现的结果。重点提示:(1)理论上事件发生的可能性相等,而在实际的操作中会存在一定的偶然性。(2)生活中一些事件发生的确定性和不确定性要根据客观事实进行判断,与个人意愿无关。易错题:判断:从 1、2、3、5、7 中任意取出2 张卡片都
16、会组成一个奇数,这种说法是正确的。()错解分析:这 5 张数字卡片中有 4 张卡片上是奇数,有1张是偶数,无论怎样取都有 1 张是奇数卡片,有 2 张是奇数卡片会组成一个奇数;但若是取出 2 与一个奇数卡片,就可以组成偶数,所以这种说法是错误的。正确答案:三、体验事件发生的可能性的大小1.事件发生的可能性是随机的,但是每种情况发生的可能性是有大小的。2.在进行摸棋子游戏时,盒子中什么颜色的棋子多,摸出什么颜色的棋子的次数就多;什么颜色的棋子少,摸出什么颜色的棋子的次数就少。3.可能性的大小与各种结果在总数中所占份数的多少有关,在总数中所占的份数越多,可能性越大;所占的份数越少,可能性越小。四、
17、游戏规则的公平性1.游戏规则的公平性:指使游戏双方都能获得相等的输赢机会。2.玩转盘游戏时,转盘上哪种颜色占的区域面积大,指针指到那种颜色的区域的可能性就大。3.在游戏规则里,如果代表双方的事件发生的可能性相等,这个游戏规则就是公平的;如果可能性不相等,可以通过游戏规则使事件发生的可能性相等,或调整得分规则,可能性大的按比例得较小的分值,可能性较小的按比例得较大的分值来使游戏规则公平。方法提示:在记录每名同学摸出什么颜色的棋子时,可以采用画“正”字的方法进行统计。重点提示:由于随机现象的不确定性,即使制定的游戏规则公平,其结果也可能与实际结果不一致。五四则混合运算(二)一、相遇问题1.两车同时
18、从两地相对开出,经过一定的时间相遇,这种行程问题叫做相遇问题,也叫相向运动问题。2.已知甲、乙的速度与相遇时间,求路程的数量关系式:(1)(甲的速度+乙的速度)相遇时间=两地的路程;(2)甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间=两地的路程。3.已知两地的距离和两车的速度,求相遇时间的数量关系式:两地的距离两车的速度和=相遇时间。二、三步混合运算1.四则混合运算的运算顺序:(1)算式中如果没有括号,含有两级运算,要先算乘除法,后算加减法;如果只含有同一级运算,按照从左往右的顺序计算;(2)算式中如果有小括号,要先算小括号里面的,再算小括号外面的。如方法提示:在解决相遇问题时,先理清数量关系,画出线段
19、图,利用数形结合来解决问题。重点提示:三步混合运算的运算顺序和两步混2.工程问题的数量关系式:工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率工程问题可以根据三个基本数量关系式来解题。三、小括号里面含有两级运算的三步混合运算如果一道算式的小括号里面含有两级运算,要先算小括号里面的第二级运算,再算小括号里面的第一级运算,最后算小括号外面的。如四、解决问题1.解题时,先根据已知条件求出一个单位量的数值,如单位面积的产量,单位时间的工作量,单价等,再根据题中的条件和问题求出结果,这样的解题方法叫做“归一法”。如教材 51 页例题中,可以先求出一条船每天能满足多少人乘船游
20、玩(单一量),最后根据“单一量份数=总量”求出节假日每天能满足多少人乘船游玩。2.有些归一问题可以采用同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答,这种方法叫做倍比法。如教材 51 页例题也可以先求出 10 条船每天能满足多少人乘船游玩,再求节假日每天能满足多少人乘船游玩。五、带中括号的三步混合运算1.一个算式里面如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。如2.四则运算:加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。3.四则混合运算的运算顺序:要先算乘除法,后算加减法;有括号的,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。4.在四则运算中有关 0 的
21、特殊情况。(1)0+任何数=任何数;(2)任何数-0=任何数;(3)任何数0=0;(4)0任何数=0;(5)0 不能作除数。六、24 点游戏使用加、减、乘、除运算使扑克牌上各点数运算的结果为 24,合运算的运算顺序是一样的,同级运算按照从左往右的顺序计算。重点提示:小括号里面既有乘除法,又有加减法,要先算乘除法,再算加减法。归纳总结:同一问题,从不同的角度思考,不仅可以找到多种解题方法,而且可以发现比较简单巧妙的解题方法。重点提示:(1)中括号与小括号的作用相同,都是用来改变运算顺序的。(2)在计算的过程中,遇到除法的商的小数位数较多的情况时,一般保留两位小数。每张扑克牌上的点数只可使用一次。
22、六多边形的面积一、平行四边形面积1.平行四边形的面积公式的推导过程。通过剪拼把平行四边形拼成了一个与它面积相等的长方形,平行四边形的底和高分别与长方形的长和宽相等,即如果用S表示平行四边形的面积,用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,那么平行四边形的面积计算公式可以写成S=ah。2.平行四边形的面积公式的拓展。根据平行四边形的面积=底高,可以得出高=平行四边形的面积底;底=平行四边形的面积高。二、三角形面积1.三角形的面积公式的推导过程。由图可知:两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,且三角形的底相当于平行四边形的底,三角形的高相当于平行四边形的高。平行四边形的面积等于两个完全
23、一样的三角形的面积和,由此可得三角形的面积=底高2。用S表示三角形的面积,用a表示三角形的底,用h表示三角形的高,那么三角形的面积计算公式可以写成S=ah2。2.三角形的面积公式的拓展。三角形的底=三角形的面积2高;三角形的高=三角形的面积2底。三、梯形面积1.梯形的面积公式的推导过程。由图可知,两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,梯形的面积是平行四边形面积的一半,平行四边形的底是梯形的上底与下底的和,平行四边形的高是梯形的高。易错题:判断:有一个用 4 根木条围成的长方形,把它拉成一个平行四边形后,周长不变,面积也不变。()错解分析:把长方形拉成平行四边形后,虽然底未变,但是高变小了,
24、所以面积会变。正确答案:重点提示:“完全一样”指的是两个三角形不但面积相等,而且形状完全相同。易错题:判断:三角形的面积是平行四边形面积的一半。()错解分析:此题没有强调三角形与平行四边形等底等高的关系。正确答案:平行四边形的面积=(上底+下底)高,则梯形的面积=(上底+下底)高2。用S表示梯形的面积,用a、b、h分别表示梯形的上底、下底和高,则梯形的面积计算公式可以写成S=(a+b)h2。2.梯形的面积公式的拓展应用。已知梯形的面积公式的任意三个量,都可以求出第四个量:S=(a+b)h2;h=2S(a+b);a=2Sh-b;b=2Sh-a。四、组合图形面积1.“分割求和法”。有的组合图形是由
25、几个简单的图形组合而成的,计算它的面积时,先把它分割成几个已学过的简单图形,分别计算出各个简单图形的面积,再加起来求出整个组合图形的面积。2.“添补求差法”。求有的组合图形的面积时,可以先把它补成一个简单的规则图形,再用这个规则图形减去补上来的空白图形,就可求出整个组合图形的面积。易错题:判断:两个梯形能拼成一个平行四边形。()错解分析:此题错在没有强调两个梯形的形状及大小完全一样,并不是任意的两个梯形都能拼成一个平行四边形。正确答案:重点提示:把组合图形分割成几个简单的图形,计算每个简单图形的面积时要找准相应的数据。七土地的面积一、平方米和公顷1.测量土地的面积时,常用“平方米”和“公顷”作
26、单位。2.“公顷”是测量土地面积的专用单位。3.边长是100米的正方形土地,它的面积是1公顷。(如右图)4.“公顷”和“平方米”之间的关系。边长为 100 米的正方形的面积是 1 公顷,即正方形的面积=100100=10000(平方米),因此,1 公顷=10000 平方米。5.体会 1 公顷的大小,一个足球场的面积大约是 1 公顷。6.把“平方米”换算成“公顷”是由低级单位换算成高级单位,应除以进率 10000,;也可以根据“平方米”与“公顷”之间的进率,直接把小数点向左移动四位。把“公顷”换算成“平方米”则根据进率,把小数点向右移动四位。易错题:判断:小东家的面积是 100 公顷。()错解分
27、析:此题错在没有掌握“1公顷”的实际大小,对“1 公顷”没有空间观念。正确答案:二、认识平方千米1.“平方千米”是比“公顷”还大的面积单位,计算较大的土地面积一般用“平方千米”作单位。2.边长是1千米(1000米)的正方形土地,它的面积是1平方千米,记作:1 km2,即 10001000=1000000(平方米)。因此,1 平方千米=1000000 平方米,1 平方千米也叫 1 平方公里。3.平方千米、公顷和平方米之间的关系。1 公顷=10000 平方米,1 平方千米=1000000 平方米,即 1000000平方米=1 平方千米=100 公顷。4.体会 1 平方千米的大小。1 个足球场的面积
28、大约是 1 公顷,100个这样的足球场的面积大约是 1 平方千米。三、人均面积与土地荒漠化问题1.人均面积=陆地面积人口数。2.荒漠化:指由于人为和自然因素的作用,使得干旱和半干旱甚至半湿润地区自然环境退化(包括盐渍化、草场退化、水土流失、植被荒漠化等)的总过程。3.通过计算了解,全球荒漠化面积大约占陆地面积的四分之一,荒漠化现象已经相当严重,我们应积极行动起来,重视对土地荒漠化的治理。四、种植问题1.画图理解株距、行距和每棵树的占地面积。(1)株距:同一行中,相邻的两棵树之间的距离。(2)行距:相邻的两行之间的距离。(3)每棵树的占地面积=株距行距。上图中株距为 5 米,行距为 4 米。2.
29、计算并比较两种方案的优劣。根据土地的总面积每棵果树的占地面积=棵数,求出种每种果树的棵数,然后用单价数量=总价,计算出各自的投资,最后根据实际情况和长远利益来比较两种方案的优劣。易错题:3 平方千米=30000 平方米。错解分析:没有掌握平方米和平方千米之间的进率。正确答案:3 平方千米=3000000平方米温馨提示:我国土地荒漠化现象严重,治理环境是首要问题。重点提示:在计算人均土地面积时,注意单位要相对应。方法提示:通过画图,数形结合,来理解株距和行距的意义。重点提示:在实际计算过程中要注意单位的统一,单位不统一,不能直接计算。八方程一、方程1.天平的使用方法。(1)将天平水平放置,指针对
30、准中央 0 刻度线,天平处于平衡状态。(2)一般情况下,左边托盘里放称量的物体,右边托盘里放砝码。(3)称量物体时,天平的指针对准中央 0 刻度线,天平平衡,两边物体的质量相等;指针偏右,说明右边重,指针偏左,说明左边重。2.认识等式和方程。(1)等式:像 20+30=50、30+x=80、2x=100这些表示相等关系的式子,叫做等式。其中,30+x=80、2x=100叫做方程。(2)含有未知数的等式叫做方程。方程具有两个特征;一是含有未知数;二必须是等式。(3)等式和方程的关系:方程一定是等式,等式不一定是方程。用集合图表示为:二、等式的性质1.等式的性质(一)。通过用天平做实验发现:等式的
31、两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。2.等式的性质(二)。通过用天平做实验发现:等式的两边同时乘或除以同一个数(除数不能为 0),等式仍然成立。三、解方程1.根据等式的性质解一步计算的方程,在方程的两边同时加上或减去、乘或除以同一个数(除数不能为 0),使方程的一边只剩下未知数x,求出x的值。2.使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。3.求方程的解的过程叫做解方程。4.解形如axb=c的两步计算的方程,先将ax看作一个数,求出ax的值后,再按照一步方程的解法求出x的值。5.解形如axbx=c的两步计算的方程,先求出有几个x,再按照一步方程的解法求出x的值。四、列方程解决问题重点提
32、示:方程中的字母表示未知的量,叫做未知数。等式:表示相等关系的式子叫做等式。易错题:判断:2x+15 是方程。()错解分析:此题错在没有理解方程的意义,2x+15 虽然含有未知数x,但不是等式。正确答案:易错题:等式的两边同时乘或除以同一个数,等式仍然成立。()错解分析:此题没有强调除数不能为0。正确答案:易错提示:“方程的解”和“解方程”不同,方程的解是未知数的值;而解方程是求方程的解的演算过程。1.列方程解决一步计算的实际问题的方法。(1)列方程解题时,先找出题中的等量关系,把未知数用x表示出来,再根据等量关系列出方程。(2)解决已知一个数的几倍是多少,求这个数的实际问题时,可以先设这个数
33、为x,根据等量关系列出形如ax=c的方程,再进行解答。2.列方程解决两步计算的实际问题的方法。已知数量甲及数量甲比数量乙的几倍多(少)几,求数量乙的实际问题,可以先设数量乙为x,根据数量乙倍数几=数量甲,列出形如axb=c的方程,再解答。3.列方程解决稍复杂的相遇问题。相遇问题的特征:两个运动的物体同时从两地出发,相向而行,在途中相遇,等量关系式:速度和相遇时间=总路程。4.列方程解决求两个未知数的实际问题。已知两个数的和(差)及两个数的倍数关系,求这两个数的实际问题,通常设标准量为x,比较量用含有x的式子表示出来;然后根据题中的等量关系列出方程,再进行解答。重点提示:列方程解决问题的步骤:(
34、1)理清题意,找出未知量,用x表示;(2)找出题中的等量关系,列方程;(3)解方程;(4)检验,写出答语。九探 索 乐 园一、鸡兔同笼1.简介“鸡兔同笼”问题:“鸡兔同笼”问题是我国古代趣味名题,出自古代数学名著孙子算经,因计算的是同一个笼子中鸡和兔的只数而得名。2.解决“鸡兔同笼”问题的方法。(1)列表法:如教材第 95 页表。利用列表法有利于理清相关数据的对应关系,但当数据较大时,解题过程就会很复杂。(2)方程法:用方程法解决“鸡兔同笼”问题的基本数量关系式如下:鸡的只数2+兔的只数4=鸡、兔的总腿数。(3)假设法:假设全是鸡,那腿的数量比实际腿的数量少,是因为每少一只兔少算了 2 条腿,
35、由此可以算出兔的只数。二、密铺1.密铺的意义。由图可知,用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形重点提示:用假设法解决“鸡兔同笼”问题,假设全是鸡,先求出的是兔的只数;假设全是兔,先求出的是鸡的只数。重点提示:平行四边形、等腰梯形、长方形、正方形、正三角形、正六边形能单独密铺。正五边形、正八边形、圆不能单独密铺,但可以和(或物体)进行拼接,彼此之间既不留空隙,也不重叠地铺满,这就是平面图形的密铺,又叫做平面图形的镶嵌。2.探索等边三角形、正六边形和正八边形的密铺。通过实际操作可知,等边三角形、正六边形可以单独密铺,正八边形不能单独密铺。3.密铺的奥秘:一个图形或几个图形,如果拼合后相拼接的边相等,公共点处的几个角的度数和正好是 360,那么这几个图形就可以密铺。其他图形组合密铺。