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1、20202020 年中考数学第一轮复习年中考数学第一轮复习 第二十五讲第二十五讲 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一 个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段 OA 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的叫做弦 弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、三类 3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是 它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【注意：【注
2、意： 1 1、在一个圆中，圆心决定圆的、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的半径决定圆的 2 2、直径是圆中、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；的弦，弦不一定是直径； 3 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与性，即绕圆心旋转任意角度都被与 原来的图形重合】原来的图形重合】 二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。 【注意：【注意： 1 1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足： 过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平
3、分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中 的灵活运用的灵活运用 2 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。线（即弦心距）。 3 3、垂径定理常用作计算，在半径、垂径定理常用作计算，在半径 r r、弦、弦 a a、弦心、弦心 d d 和弓高和弓高 h h 中已知其中两个量可求另中已知其中两个量可求另 外两个量。】外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两
4、个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所 对应的其余各组量也分别 【注意：该定理的前提条件是【注意：该定理的前提条件是“ “在同圆或等圆中在同圆或等圆中” ”】 四、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中， 圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对 第 1 页 共 11 页 的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是 【注意：【注意： 1 1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对
5、的圆周角 有有个，是个，是类，它们的关系是类，它们的关系是， 2 2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫 做。 性质：圆内接四边形的对角。 【注意：圆内接平行四边形是【注意：圆内接平行四边形是圆内接梯形是圆内接梯形是】 【中考真题考点例析】【中考真题考点例析】 考点一：垂径定理考点一：垂径定理 例例 1 1（2019 年德州）如图， CD 为O 的直径，弦ABCD，垂足为E， AB6，则弦 AF 的长度为 ，CE1， 对应练习对应练习 1 11 1. （2019
6、年菏泽）如图，AB 是O 的直径，C,D 是O 上的两点，且 BC 平 分ABD，AD 分别与 BC、OC 相交于点 E、F，则下列结论不一定成立的是 A. OCBDB.ADOCC. CEFBEDD.AF=FD 对应练习对应练习 1 12 2（舟山）如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（） A2 15 B8C2 10 D2 13 考点二：圆周角定理考点二：圆周角定理 例例 2 2 （2019 年山东滨州）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上两点，若BCD=40， 则ABD 的大小 为（） A60B50
7、C40D20 上两点，对应练习对应练习 2 21 1.(2019 聊城中考)如图，连接BD， BC 是半圆O的直径，D，E是BC 第 2 页 共 11 页 CE并延长交于点A，连接OD，OE ，如果A70，那么DOE的度数为（） A.35B.38C.40D.42 y y C C D D A AB B C C A A P P O O O O B B x x (第12题图） 对应练习对应练习 2 22 2（2019 年威海）如图，P 与 x 轴交于点 A（-5，0），B（1，0），与 y 轴 正半轴交于点 C，若ACB 60，则点 C 的纵坐标为（） ABCD 第二十五讲第二十五讲 圆的有关概念及
8、性质圆的有关概念及性质 参考答案参考答案 【中考真题考点例析】【中考真题考点例析】 考点一：垂径定理考点一：垂径定理 例例1 1答案：答案：9.69.6 对应练习对应练习 1 11 1.答案：答案：C C 对应练习对应练习 1 12 2答案：答案： 解：解：O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB=8，AC= 设O的 在 Rt 1 AB=4， 2 半径为 r，则 OC=r-2， AOC 中， AC=4，OC=r-2， OA2=AC2+OC2，即 r2=42+（r-2）2，解得 r=5， AE=2r=10， 如图，连接 BE， AE 是O 的直径， ABE=90， 在 RtABE 中， AE=1
9、0，AB=8， BE= AE2 AB2 =6， 在 RtBCE 中， BE=6，BC=4， CE=BE2BC2=6242 2 13 故选 D 考点二：圆周角定理考点二：圆周角定理 例例2 2答案：答案：B B 第 3 页 共 11 页 对应练习对应练习 2 21 1.答案：答案：C C 对应练习对应练习 2 22 2答案：答案：D D 【聚焦中考真题】【聚焦中考真题】 一、选择题一、选择题 1.（自贡）如图，在平面直角坐标系中，A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于 B、 C 两点，已知 B（8，0），C（0，6），则A 的半径为（） A3B4C5D8 2（珠海） 如图，ABCD 的
10、顶点 A、 B、 D 在O 上， 顶点 C 在O 的直径 BE 上， ADC=54， 连接 AE，则AEB 的度数为（） A36B46C27D63 3 （泰安） 如图， 点 A， B， C， 在O 上， ABO=32， ACO=38， 则BOC 等于 （） A60B70C120D140 4（滨州）如图，已知圆心角BOC=78，则圆周角BAC 的度数是（） A156B78C39D12 5 （潍坊） 如图， O 的直径 AB=12， CD 是O 的弦， CDAB， 垂足为 P， 且 BP： AP=1： 5，则 CD 的长为（） A4 2 B8 2 C2 5 D4 5 6（莱芜）如图，在O 中，已知
11、OAB=22.5，则C 的度数为（） A135B122.5C115.5D112.5 第 4 页 共 11 页 7（临沂）如图，在O 中，CBO=45，CAO=15，则AOB 的度数是（） A75B60C45D30 8（日照）如图，在ABC 中，以BC 为直径的圆分别交边AC、AB 于 D、E 两点，连接 BD、DE若 BD 平分ABC，则下列结论不一定成立的是（） ABDACBAC2=2ABAE CADE 是等腰三角形DBC=2AD 9（南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE=CD=8，BAC= BOD，则O 的半径为（） A4 2 B5C4D3 1 2 10（
12、厦门）如图所示，在O 中，AB =AC ，A=30，则B=（） A150B75C60D15 11（昭通）如图，已知AB、CD 是O 的两条直径，ABC=28，那么BAD=（） A28B42C56D84 12（湛江）如图，AB 是O 的直径，AOC=110，则D=（） A25B35C55D70 13（宜昌）如图， DC 是O 直径，弦ABCD 于 F，连接BC，DB，则下列结论错误的 是（） A AD=BD BAF=BFCOF=CFDDBC=90 第 5 页 共 11 页 14（温州）如图，在 O 中，OC弦 AB 于点 C，AB=4，OC=1，则 OB 的长是（） A 3 B 5 C 15 D
13、 17 15（兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（） A3cmB4cmC5cmD6cm 16（徐州）如图，AB 是O 的直径，弦CDAB，垂足为 P若 CD=8，OP=3，则O 的半径为（） A10B8C5D3 17（温州）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作BAC，如图所示若 AB=4，AC=2，S1-S2= A 29 4 B 23 4 ，则 S3-S4的值是（） 4 115 CD 44 18（南通）如图RtABC 内接于O，BC 为直径，AB=4，A
14、C=3，D 是 AB 的中点， CD 与 AB 的交点为 E，则 CE 等于（） DE A4B3.5C3D2.8 19（乐山）如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5 的B 与 y 轴的正半轴交于点A（0， 1），过点 P（0，-7）的直线 l 与B 相交于 C，D 两点则弦 CD 长的所有可能的整数值 有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 20（安徽）如图，点P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的 是（） A当弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形 第 6 页 共 11 页 B当APC 是等腰三角形时，POAC C当 POAC 时，ACP=30 D当ACP=30
15、时，BPC 是直角三角形 二、填空题二、填空题 21（张家界）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 垂直，且BAC=40，则BOD= 22（盐城）如图，将O 沿弦 AB 折叠，使AB经过圆心 O，则OAB= 23（绥化）如图，在O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC，垂足为 D，若O 的半径为 2， 则弦 AB 的长为 24（株洲）如图AB 是O 的直径，BAC=42，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC 的度 数是度 25（扬州）如图，已知 O 的直径 AB=6，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为AB上两点， 且MEB=NFB=60，则 EM+FN= 26（广州）如图，在平面直角坐标系中，
16、点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x 轴交于 O， A 两点， 点 A 的坐标为 （6， 0） ， P 的半径为 13 ， 则点 P 的坐标为 27（娄底）如图，将直角三角板60角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），则APB= 三、解答题三、解答题 28（威海）如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为点 E， AO=1 （1）求C 的大小； 第 7 页 共 11 页 （2）求阴影部分的面积 29（深圳）如图所示，该小组发现8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆
17、弧型小桥在 内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高1.6 米，测得其影长为 2.4 米，同时测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的 距离，即 MN 的长）为 2 米，求小桥所在圆的半径 30（资阳）在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交 AB 于点 D， 连结 CD （1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求O 的半径 r； （2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，BAC=25，请直接写出DCA 的度数 31 （贵阳）已知：如图， AB 是O 的弦，O 的半径为 10，OE、O
18、F 分别交 AB 于点 E、 F，OF 的延长线交O 于点 D，且 AE=BF，EOF=60 （1）求证：OEF 是等边三角形； （2）当 AE=OE 时，求阴影部分的面积（结果保留根号和） 32 （黔西南州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点P 在O 上，1=C， （1）求证：CBPD； （2）若 BC=3，sinP= 3 ，求O 的直径 5 第二十五讲第二十五讲 圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质 参考答案参考答案 【聚焦中考真题】【聚焦中考真题】 一、选择题一、选择题 1. 1.答案：答案：C C 解：解：如图，连接 BC， BOC=90， 为圆 A 的直径，即 BC
19、 过圆心 A， BOC 中，OB=8，OC=6， 勾股定理得：BC=10， BC 在Rt 根据 则圆 A 第 8 页 共 11 页 的半径为 5 故选 C 2 2- -5 ADCD5 ADCD6 6- -10 DBDBB10 DBDBB1111- -15 ABCBC15 ABCBC1616- -20CDCCC20CDCCC 二、填空题二、填空题 21.21.答案：答案：8080 22.22.答案：答案：3030 23.23.答案：答案：2 3 24.24.答案：答案：4848 25.25.答案：答案： 33 26.26.答案：（答案：（3 3，2 2） 27.27.答案：答案：3030 三、解
20、答题三、解答题 28.28.答案：答案： 解：（1）CD 是圆 O 的直径，CDAB， AD =BD ， AOD， COE， COE， C=30 接 OB， 由（1）知，C=30， AOD=60， AOB=120， 在 RtAOF 中，AO=1，AOF=60， AF= 3 2 ，OF= 1 2 ， AB= 3， S 12012111 阴影=S扇形OAB-SOAB= 360 2 2 3 3 3 4 29.29.答案：答案： 解：小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米， 8 米高旗杆 DE 的影子为：12m， 测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米， GH=12-3-1=8（m）
21、， GM=MH=4m， MN=2m， GO2=MO2+42， 第 9 页 共 11 页 C= 1 2 AOD= C= 1 2 AOBC， 2）如图，连 （ r2=（r-2）2+36， 解得：r=5， 答：小桥所在圆的半径为5m 30.30.答案：答案： 解：（1）如图，过点 O 作 OEAC 于 E， 则 AE= 11 AC=2=1， 22 1 r， 2 1 2r） ， 2 翻折后点 D 与圆心 O 重合， OE= 在 RtAOE 中，AO2=AE2+OE2， 即 r2=12+（ 解得 r= 2 3 ； 3 （2）如图 2，连接 BC， AB 是直径， ACB=90， BAC=25， B=90
22、-BAC=90-25=65， 根据翻折的性质，AC所对的圆周角等于ADC所对的圆周角， DCA=B-A=65-25=40 31.31.答案：答案： （1）证明：作 OCAB 于点 C， OCAB， AC=BC， EC=FC， OE=OF， OEF 是等边三角形； OEF=EOF=60，AE=OE， AOF=90， OF= AE=BF， OCEF， EOF=60， （2）解：在等边OEF 中， A=AOE=30， AO=10， 10 3 ， 3 第 10 页 共 11 页 SAOF= 50 3110 390 10=，S 扇形AOD= 102=25， 332360 50 3 S 阴影=S扇形AOD-SAOF=25- 3 32.32. 答案：答案： （1）证明：C=P 又1=C 1=P CBPD； （2）解：如图，连接AC， AB 为O 的直径， 又CDAB， P=CAB， 即 BC AB = 3 5 ， AB=5， 直径为 5 ACB=90 BC =BD sinCAB= 3 5 ， 又知，BC=3， 第 11 页 共 11 页