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1、装订线20122012 学年第一学期学年第一学期 高等代数高等代数(A(A 卷卷)一、选择题一、选择题本大题共5小题，每题3分，共15分1、设A,B为n阶方阵，以下运算正确的选项是D(A)AB12 A12B12 (B)A A(CA2B2ABAB (D)假设A可逆，则12A1112A1分析：AB12 ABABAB,A12B12 AAABAB，矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理，ABAB A2 AB-BAB2 A2B2A （-1）nA A；2、设A是56矩阵，其秩为 5，则齐次线性方程组AX 0C(A)基础解系恰有 5 个解向量 (B)基础解系恰有 6 个解向量(C)基础解系恰有 1 个
2、解向量 (D)只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-rA 的秩0=6-5=13、假设矩阵Anm的秩为r，则以下结论正确的选项是 D(A)A的任何级数不超过r的子式都不等于零(B)A的任何级数不超过r的子式都等于零(C)A的任何级数大于r的子式都不等于零 (D)A的任何级数大于r的子式都等于零分析：细读课本 134 页定理 6.4、设1,2,r是 n 维列向量，则1,2,r线性无关的充要条件是 D(A)向量组1,2,r中任意两个向量线性无关(B)存在一组不全为 0 的数c1,c2,cr，使得c11c22crr 0(C)向量组1,2,r中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D)向量
3、组1,2,r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5、设A,B都是n阶正定矩阵，则以下结论正确的选项是 C1(A)A B是正定矩阵 (B)AB是正定矩阵(C)AB是可逆矩阵 (D)AB是实对称矩阵分析：A，B正定 A 0，B 0 AB AB 0 AB可逆二、填空题二、填空题本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分1、设f(x)和g(x)是两个多项式,假设fx,gx1，则fx,gxf(x)1；证明由于(f(x),g(x)1，所以存在多项式u(x),v(x)使得u(x)f(x)v(x)g(x)1于是u(x)f(x)v(x)g(x)-v(x)f(x)v(x)f(x)1u(x)v(x)f(x)v
4、(x)f(x)g(x)1故(f(x),f(x)g(x)1.2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65这一项该带 正号；（-1）分析：该项符号为（5,1,3,2，4,6）（+6,2,4,3，1,5）14=（-1）=13、设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且有A 2，则(3A)114A*；272A*A*2分析：A=，A*=A=4，故A2-11A11A*1113*4(3A)A*-A*=-A*=-A*=（-）A=27232623314、设11,1,2,21,0,0,31,4,k的一个极大线性无关组是1,3，则k 8；112分析：依题意1,2,3线性相关，从而100 0814k25、假设二
5、次型fx1,x2,x3 2x12x22x322 x1x2tx2x3是正定的，则t满足条件：2 t 2。三、判断题三、判断题本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分请在你认为对的小题对应的括号内打请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打，否则打“”装1A,B均为n阶复对称矩阵，则A,B合同的充要条件是秩(A)秩(B)；2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n；分析：Ax b有解 r(A)=r(A)订3、A,B均为矩阵，假设AB 0，则A 0或者B 0；分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即AB=BA不一定成立；AB=0不一定得到A=0或B=0；AB
6、=AC不一定有B C线4、如果向量组1,2,性组合；分析：向量组1,2,性组合；,r线性相关，则每个i都可以表示为其余向量的线,r线性相关，则至少有一个i都可以表示为其余向量的线5、假设多项式f(x)和g(x)的最大公因式唯一，则f(x)g(x)0。四、简答题四、简答题本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分10011、设A*021，又A 0，求矩阵A以及它的逆矩阵A。011解：解：因为AA*A E，所以有A A(A*)1，A1而A A*311*A2 分A4 分,且 A 0，A 1，100 又(A*)1011，6 分012100*1所以A (A)011，0123100021011为分块对
7、角矩阵注意：(A*)1的求法1利用2A*E 作初等行变换3A*1*（A*）=*，此法繁琐，不推荐A设 A 为 n 阶矩阵，涉及A*的题目充分利用以下公式：A11*n-1A，A*=AA112、求n阶行列式1112n2n1的值。12n2n11111解：行列式特点：每一行的和相等为“1”,每一列的和相等为“1”1112n1111112n11101r1ri(i 2,3,n)1110111n0112n112n2n112n2n11111rir1,i 2,3,n01n1n000004 分1n(n1)21nn18 分(1)x1 x2 x303、讨论取何值时，线性方程组x1(1)x2 x32x x(1)x 23
8、1(1)有唯一解；2无解；3有无穷多个解，并求出此方程组的通解。111112(3)1 分解：方程组的系数行列式为1111（1）当 3且 0时，R(A)R(A)3 n，方程组有唯一解;2 分4装订线（2）3时，A 2110 1213 1129r1r31213r2r1r32r1112921101129 11033629 r3r20336，阶梯型0331800012R(A)3 R(A)2，此时，方程组无解;4 分3 0时，A 1 1 101 1 101110r2r1r0000最简型3r11 1 10，0000R(A)R(A)1 n 3，此时方程组有无穷多解，6 分由最简型的一般解为x1 x2 x3x
9、2 x2x2,x3为自由未知量，所以所求通解为x3 x3x111x2 k11k20,k1,k2为任意常数。8 分x3014、设有二次型fx x22x221,2,x3 x12 x32x1x22x1x34x2x3（1）写出二次型f的矩阵A；（2）把二次型fx1,x2,x3经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。111解：(1)二次型的矩阵为A 1222 分1215(2)11A1=E 1001 112 202 1rr32rr1100 0101 000 11 111 101 0cc32cc1100 0101 000 10 011 101 0r3r201 1101 000 10 011
10、 100 1c3c201 1101 000 10 01 00 16 分1 01 10 1110 令C 011,则非退化线性变换X CY7 分001把二次型化为标准形22fx1,x2,x3 y12 y2 y3。8 分说明：A 作行变换而 E 不变，接着”A 和 E”同时作和行变换相同的列变换，当 A 化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E 化为“C”五、证明题本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分 A01、证明：如果A,B均是正定矩阵，则也是正定矩阵。0B证：因为 A 和 B 都是正定矩阵，所以A 和 B 都是实对称矩阵，又 AT A00B0T0 A0,BT0B因此 A0 是实对称矩阵。
11、2 分0B 由 A 和 B 都是正定矩阵知 A 和 B 都和 E 合同，即存在可逆阵C1,C2使得TC1TAC1 E,C2BC2 E；3 分构造分块阵C C10TC10，则 C 可逆，且4 分0C20 C1TAC1C20ETC2BC2000 6 分E0 A0C1 C2 0B0即 A0 A0 与单位阵合同，结合知是正定矩阵。7 分0B0B2、设A和B是两个同型矩阵，证明：秩(A B)秩(A)+秩(B)。证明方法 1：设矩阵A的列向量组为A1,A2,.,An，其极大无关组为Ai1,Ai2,.,Air，1分6装订线矩阵B的列向量组为B1,B2,.,Bn，其极大无关组为Bi1,Bi2,.,Bis，2
12、分则Ai k1Ai1 k2Ai2.krAir，i 1,2,.,n3 分Bi l1Bi1l2Bi2.lsBis，i 1,2,.,n4 分故Ai Bi k1Ai1k2Ai2.krAirl1Bi1l2Bi2.lsBis，i 1,2,.,n即A B的列向量组可由Ai1,Ai2,.Air,Bi1,1,Bi2,.Bis线性表示6 分则秩(A B)rank(Ai1,Ai2,.Air,Bi1,1,Bi2,.Bis)rs=秩(A)+秩(B)7 分注意：A 组可由 B 组表示 rank(A)rank(B),证明方法二：由课本 166 页结论，秩(A B)=秩（A+（-B）秩(A)+秩(-B)=秩(A)+秩(B)负
13、号不会改变行列式是否为零的性质，因此不会改变矩阵的秩，故秩(-B)=秩(B)3、用f代表f(x)，g代表g(x)，设(fi,gj)1,(i,j 1,2)，证明：(f1g1,f2g2)f1,f2g1,g2证明：因为(f1,f2)f1,(f1,f2)f2,(g1,g2)g1,(g1,g2)g2,所以(f1,f2)(g1,g2)f1g1,(f1,f2)(g1,g2)f2g2,这说明(f1,f2)(g1,g2)是f1g1与f2g2的一个公因式；又(f1,f2)=u1f1v1f2(g1,g2)=u2g1v2g2而(fi,gj)1,(i,j 1,2)，由课本习题一题 13 结论可知，(f1f2,g1g2)
14、1，即1uf1f2vg1g2式左右两边相乘知是(f1,f2)(g1,g2)是f1g1与f2g2的组合，故由课本习题一题 8 结论可知(f1,f2)(g1,g2)是f1g1与f2g2的最大公因式。7因此，(f1g1,f2g2)f1,f2g1,g2。4、向量组1,2,r线性相关的充要条件是至少有一个向量i(1i r)可,i1线性表示。以被它前面的1,2,证：“必要性”因为向量组1,2,.,r线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,.,kr，使得k11k22.krr 0不妨设k1,k2,.,kr中最后一个不为 0 的数是ki(1 i r)，于是有1i k(k11k22.ki 1i 1)i即i可以被它前面的1,2,.,i 1线性表示。“充分性”因为向量组中至少有一个向量i可以由它前面的向量线性表示，不妨设i l11l22.li 1i，1即l11l22.li 1i 1i0i 1.0r 0所以向量组1,2,.,r线性相关。81 分4 分5 分6 分7 分