《小学数学知识点例题精讲《工程问题（一）》教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学知识点例题精讲《工程问题（一）》教师版.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法;2.工程问题中常出现单独做,几人合作或轮流做,分析时一定要学会分段处理;3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换;4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具.工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题,它具有抽象性,学生认知起来比较困难.在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键.一 工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题.工作总量：一
2、般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率工作时间,工作效率=工作总量工作时间,工作时间=工作总量工作效率;二、为了学好分数、百分数应用题,必须做到以下几方面：具备整数应用题的解题能力,解决整数应用题的基本知识,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题;在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用;学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系,发现量与百分率之间的隐蔽条件,可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路,正确地进行分析、综合、判断和推理;学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的
3、关系变化多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此,在解题过程中,要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出与所求相关的工作效率,最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案一般情况下,工程问题求的是时间知识精讲知识精讲教学目标教学目标工程问题（一）工程问题（一）2模块一、工程问题基本题型【例例 1】一项工程,甲单独做需要28天时间,乙单独做需要21天时间,如果甲、乙合作需要多少时间?【考点】工程问题 【难度】1 星
4、【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位,那么甲每天完成总量的128,乙每天完成总量的121,两人合作每天能完成总量的111282112,所以两人合作的话,需要111212天能够完成【答案】12【例例 2】一项工程,甲单独做需要30天时间,甲、乙合作需要12天时间,如果乙单独做需要多少时间?【考点】工程问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位,那么甲每天完成总量的130,甲、乙合作每天完成总量的112,乙单独做每天能完成总量的111123020,所以乙单独做112020天能完成【答案】20【巩固巩固】一项工程,甲单独做需要21天时间,甲、乙合作
5、需要12天时间,如果乙单独做需要多少时间?【考点】工程问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位,那么甲每天完成总量的121,甲、乙合作每天完成总量的112,乙单独做每天能完成总量的111122128,所以乙单独做 28 天能完成【答案】128【例例 3】甲乙两名打字员,打字速度一样快,甲 30 分钟打了 A 材料的14,乙 40 分钟打了 B 材料的27.A、B两份材料中,（填 A 或 B）内容多.【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛【解析】因为两人速度一样,那么同样的时间内打的字数是一样的,统一两人的时间,甲 120
6、 分钟可以打完 A材料,乙 120 分钟可以打 B 材料的67,所以 B 材料内容多【答案】B【例例 4】甲、乙两人共同加工一批零件,8 小时可以完成任务如果甲单独加工,便需要 12 小时完成现在甲、乙两人共同生产了225小时后,甲被调出做其他工作,由乙继续生产了 420 个零件才完成任务问乙一共加工零件多少个?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】乙单独加工,每小时加工11181224 甲调出后,剩下工作乙需做21184(12)58245时所以乙每例题精讲例题精讲3小时加工零件84420255(个),则225小时加工2252605(个),所以乙一共加工零件420+60480(
7、个)【答案】480【巩固巩固】一件工作,甲、乙两人合作 30 天可以完成,共同做了 6 天后,甲离开了,由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】共做了 6 天后,原来,甲做 24 天,乙做 24 天,现在,甲做 0 天,乙做 40=（24+16）天.这说明原来甲 24 天做的工作,可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的 16/24=2/3.如果甲独做,所需时间是33030752天如果乙独做,所需时间是23030503天;甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.【答案】分别是 75
8、天和 50 天【例例 5】4 名工人加工 455 个零件.开始的 4 天中有一名工人因事请假 1 天,结果共加工 195 个零件.如果以后无人清假,那么还要 天可以完成任务.【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】走美杯,决赛,5 年级【解析】每人每天加工零件 195(44-1)13(个),剩下的零件还需加工 (455-195)(134)5(天).【答案】5 天【例例 6】一项工程,甲单独完成需要12天,乙单独完成需要9天若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完成,问甲做了几天?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】根据题意可知,甲的工作效率为112,乙的工作效率
9、为19,采用鸡兔同笼问题的假设法,可知甲做了111(101)()49912天【答案】4天【巩固巩固】一项工程,甲队单独做20天可以完成,甲队做了8天后,由于另有任务,剩下的工作由乙队单独做15天完成问：乙队单独完成这项工作需多少天?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】方法一：甲的工作效率为120,甲队 8 天的工作量为128205,所以乙队 15 天的工作量为23155,乙的工作效率为3115525,所以乙队单独完成这项工作需要25天方法二：此题可以用代换法解,甲 12 天工作量等于乙 15 天工作量,乙的工作效率为甲的45,乙独做的时间为420255（天）.【答案】25天【
10、例例 7】有两个同样的仓库,搬运完一个仓库的货物,甲需 6 小时,乙需 7 小时,丙需 14 小时.甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物.开始时,丙先帮甲搬运,后来又去帮乙搬运,最后两个仓库的货物同时搬4完.则丙帮甲 小时,帮乙 小时.【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】希望杯,六年级,二试【解析】整个搬运的过程,就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束,共搬运了两个仓库的货物,所以它们完成工作的总时间为111212()67144小时【解析】在这段时间内,甲、乙各自在某一个仓库内搬运,丙则在两个仓库都搬运过【解析】甲完成的工作量是1217648,所以丙帮甲搬了71188的货物,丙帮
11、甲做的时间为11318144小时,那么丙帮乙做的时间为213113442小时【答案】132小时【例例 8】某工程先由甲独做 63 天,再由乙单独做 28 天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需 48 天完成.现在甲先单独做 42 天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】先对比如下：甲做 63 天,乙做 28 天;甲做 48 天,乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15（天）,乙要多做 48-28=20（天）,由此得出乙的工作效率是甲的34,甲先单独做 42 天,比 63 天少做了 63-42=21（天）,相当于乙要做421283
12、天因此,乙还要做 28+28=56（天）,乙还需要做 56 天.【答案】56 天【例例 9】一项工程,甲队单独完成需 40 天.若乙队先做 10 天,余下的工程由甲、乙两队合作,又需 20 天可完成.如果乙队单独完成此工程,则需_天.【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】甲每天完成140,甲乙合作中,甲一共完成201402,所以乙也一共完成12,乙每天完成160,乙单独做要60 天.【答案】60 天【例例 10】一项工程,甲、乙合作需要20天完成,乙、丙合作需要15天完成,由乙单独做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作,完成这项工程需要多少天?【
13、考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”,从条件中我们很容易看出：甲乙120,乙丙115,乙130因此不难得到丙的工作效率为111153030,因此三个人的工作效率之和为111203012,也就是说,三个人合作需要 12 天可以完成.本题也可以分别求出甲和丙的工作效率,再将三人的工作效率相加,得到三人合作的总工效但是这样做比较麻烦,事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了【答案】12 天【巩固巩固】一项工程,甲、乙合作需要 9 天完成,乙、丙合作需要12天,由丙单独做需要36天完成,那么如果甲、丙合作,完成这项工程需要多少天?【考点】工程问题
14、【难度】2 星 【题型】解答 5【解析】法一：和上题类似,我们可以有：甲乙19,乙丙112,丙136不难求得,乙的工作效率为111123618,因此甲的工作效率为11191818,从而甲丙合作的工作效率为111361812,即甲丙合作 12 天能完成.法二：仍然观察上面那三个等式,我们能否不求出每个人的工作效率,而同过整体的运算直接得到“甲+丙”的值呢?不难发现,我们只要把乙消掉就可以了;因此我们有：2甲乙丙乙丙甲丙,也就是说：111129361212甲丙,所以甲丙合作12天能完成.【答案】12天【巩固巩固】一件工作,甲、乙两人合作 36 天完成,乙、丙两人合作 45 天完成,甲、丙两人合作要
15、 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】设这件工作的工作量是 1.甲乙两人合作每天完成136,甲丙两人合作每天完成160,乙丙两人合作每天完成145,甲、乙、丙三人合作每天完成11161()236456018030减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成111304590,甲独做需要119090天答：甲一人独做需要 90 天完成.【答案】90 天【巩固巩固】一项工作,甲、乙两人合做 8 天完成,乙、丙两人合做 9 天完成,丙、甲两人合做 18 天完成那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解
16、答【解析】方法一：对于工作效率有：(甲,乙)+(乙,丙)(丙,甲)=2 乙,即18+19118=1372为两倍乙的工作效率,所以乙的工作效率为13144而对于工作效率有,(乙,丙)乙=丙,那么丙的工作效率为1913144148那么丙一个人来做,完成这项工作需 1148=48 天.方法二：2(甲,乙,丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)18191182172,所以(甲,乙,丙)=2172221144,即甲、乙、丙 3 人合作的工作效率为21144那么丙单独工作的工作效率为2114418148,那么丙一个人来做,完成这项工作需 48 天【答案】48 天【例例 11】一件工程,甲、乙两人合作 8
17、 天可以完成,乙、丙两人合作 6 天可以完成,丙、丁两人合作 12 天可以完成那么甲、丁两人合作多少天可以完成?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】甲、乙,乙、丙,丙、丁合作的工作效率依次是18、16、112.对于工作效率有(甲,乙)+(丙,丁)(乙,丙)6=(甲,丁)即18+11216=124,甲、丁合作的工作效率为124所以,甲、丁两人合作 24 天可以完成这件工程【答案】24 天【巩巩固固】修筑一条高速公里.若甲、乙、丙合作,90天可完工：若甲、乙、丁合作,120天可完工;若丙、丁合作,180天可完工,若甲、乙合作36天后,剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作.还需多少天可完
18、工?【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】希望杯【解析】设这项工程为单位“1”.则甲+乙+丙的工作效率为190,甲+乙+丁的工作效率为1120.丙+丁的工作效率为1180.那么甲+乙的工作效率为1111()290120180144,甲+乙+丙+丁的工作效率为11118014480.因此剩下的工程还需要11(136)6014480天.【答案】60天【例例 12】一些工人做一项工程,如果能调来 16 人,那么 10 天可以完成;如果只调来 4 人,就要 20 天才能完成,那么调走 2 人后,完成这项工程需要 天【考点】工程问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】2007 年,
19、人大附中【解析】设 1 个人做 1 天的量为 1,设原来有x人在做这项工程,得：1610420 xx,解得：8x 如果调走 2 人,需要816108240(天)【答案】40天【例例 13】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务甲车单独清扫需 10 小时,乙车单独清扫需 15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米问：东、西两城相距多少千米?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】法一：先求出甲、乙相遇的时间：111()61015小时;甲清扫全长的136105,乙清扫了全部的126155;所以东、西两城相距32126055千米 法二：因为时间相等,
20、路程比等于速度比,这样相遇时甲、乙清扫的路程比是11:3:210 15,甲行了全程的332,乙行了全程的332,全程就是32126055千米【答案】60千米【例例 14】一项工程,甲单独做 40 天完成,乙单独做 60 天完成现在两人合作,中间甲因病休息了若干天,所以经过了 27 天才完成问甲休息了几天?7【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】十三分,入学测试【解析】法一：在整个过程中,乙没有休息,所以乙一共干了 60 天,完成了全部工程的19276020,还有91112020是甲做的,所以甲干了111222040（天）,休息了27225（天）法二：假设中间甲没有休息,则两人
21、合作 27 天,应完成全部工程的119()2740608,超过了单位“1”的91188,则甲休息了115840（天）【答案】5天【巩固巩固】一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成甲、乙合作了几天后,乙因事请假,甲继续做,从开工到完成任务共用了16天乙请假多少天?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】法一：甲一共干了16天,完成了全部工程的1416205,还有41155是乙做的,所以乙干了116530(天),休息了16610(天),请假天数为：16610(天)法二：假设乙没有请假,则两人合作16天,应完成全部工程的114()1620303,超过了单位“1”的41133,
22、则乙请假1110330(天)【答案】10天【巩固巩固】有一条公路,甲队独修需 10 天,乙队独修需 12 天,丙队独修需 15 天现在让 3 个队合修,但中途甲队撤出去到另外工地,结果用了 6 天才把这条公路修完当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为11111012154 6 天完成的工程量为116142,而实际 6 天完成了的工程量为 1,即甲队少做了12,甲队完成12超过单位“1”111122,甲没有干的天数：,115210(天),即当甲队撤出后,乙、丙两队又合修了 6-1=5 天【答案】5
23、天【例例 15】一池水,甲、乙两管同时开,5 小时灌满;乙、丙两管同时开,4 小时灌满现在先开乙管 6 小时,还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了,根据“现在先开乙管 6 小时,还需甲、丙两管同时开2 小时灌满”,我们可以把乙管的 6 小时分成 3 个 2 小时,第一个 2 小时和甲同时开,第二个 2 小时和丙同时开,第三个 2 小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开 2 小时,乙、丙同时开 2 小时,乙单独开 2 小时,正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水的工作量为11112
24、25410,所以乙的工作效率为：11(622)1020,所以整池水由乙管单独灌水,需要112020（小时）8【答案】20小时【例例 16】某水池可以用甲、乙两个水管注水,单开甲管需 12 小时注满,单开乙管需 24 小时注满,若要求 10小时注满水池,且甲、乙两管同时打开的时间尽量少,那么甲、乙最少要同时开放 小时【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】要想同时开的时间最小,则根据工效,让甲“满负荷”地做,才可能使得同时开放的时间最小所以,乙开放的时间为1111041224(小时),即甲、乙最少要同时开放 4 小时【答案】4 小时【例例 17】一个蓄水池,每分钟流入 4 立方米水
25、.如果打开 5 个水龙头,2 小时半就把水池水放空,如果打开 8个水龙头,1 小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头,问要多少时间才能把水放空?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟,多流入水 4 60=240（立方米）.时间都用分钟作单位,1 个水龙头每分钟放水量是 240 （5 150-8 90）=8（立方米）,8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90,其中 90 分钟内流入水量是 4 90,因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90=5400（立方米）.打开 13 个水龙头每分
26、钟可以放出水 813,除去每分钟流入 4,其余将放出原存的水,放空原存的 5400,需要 5400（8 13-4）=54（分钟）.所以打开 13 个龙头,放空水池要 54 分钟.水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【答案】54 分钟【例例 18】有 10 根大小相同的进水管给A、B两个水池注水,原计划用 4 根进水管给A水池注水,其余 6 根给B水池注水,那么 5 小时可同时注满因为发现A水池以一定的速度漏水,所以改为各用 5 根进水管给水池注水,结果也是同时注满(1)如果用 10 根进水管给漏水的A水池注水,
27、需要多少分钟注满?(2)如果增加 4 根同样的进水管,A水池仍然漏水,并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变,那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)【考点】工程问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】设每只进水管的工效为“1”,那么 A 池容量为 45=20,B 池容量为 65=30当用 5 根进水管给 B池灌水时需 305=6 小时,而在 6 小时内 5 只其水管给 A 池也是灌有 30 的水,所以漏了 3020=10,因此漏水的工效为5106.3(1)用 10 根进水管给漏水的 A 池灌水,那么需520(10)2.43小时144分钟.(2)设 A 池需x
28、根,那么 B 池需 14x根,有5():(14)2:3,3xx所以有28235,xx化简解得6.6.x 所以 A 池用 7 根或 6 根进水管,此时对应所需时间,分别为：当 A 池用 7 根进水管时：A：7 根水管,需时间5320(7)334小时=225 分钟;B：7 根水管,需时间303077小时257 分钟此时要把两个水池注满最少需要 257 分钟;当 A 池用 6 根进水管时：A：6 根水管,需时间56020(6)313小时277 分钟;B：8 根水管,需时间 308=154小时=225 分钟此时要把两个水池注满最少需要 277 分钟所以,要把两个水管都注9满,最少需 257 分钟,7
29、根水管注 A 池,7 根水管注 B 池【答案】257 分钟【例例 19】有一项工程,甲单独做需要 36 天完成,乙单独做需要 30 天完成,丙单独做需要 48 天完成现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天那么丙休息了 天【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】设甲、乙工作了x天,丙工作了y天,则有：1111363048xy,化简得4415720 xy由于15y和 720 都是 15 的倍数,所以x也是 15 的倍数,而7204417x,所以15x,4y,所以丙休息了15411天【答案】11天【例例 20】一件工
30、作,甲独做要 12 天,乙独做要 18 天,丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的 3 倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的 2 倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】解法一：甲做 1 天,乙就做 3 天,丙就做 32=6（天）,甲做 1 天,完成工作量的112,乙就完成工作量的1318,丙就完成工作量的1624.共完成1111361218242.1122天说明甲做了 2 天,乙做了 6 天,丙做了 12 天,三人共做了 20 天,完成这项工作用了 20 天.解法二：本题整数化会带来
31、计算上的方便.12,18,24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6,乙每天完成 4,丙每天完成 3.总共用了13672206 1433 6 天.【答案】20天【例例 21】有一项工程,有三个工程队来争夺施工权利,已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的,甲、乙两队合作,10天可以全部完工,共需要支付18000元,由乙、丙两队合作,20天可以完工,共需要支付12000元,由甲、丙两队合作,12天可以完成,共需要支付15000,如果该工程只需要一个工程队承建,如果只能一个队伍单独施工,那么最快的比最慢的会早完工_天.需要支付速度最快的队伍_元.【考点】工程问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】学而思杯,5 年级【解析】甲乙丙的工效和为1117210122060,所以甲的工效为711602015,乙的工效为711601230,丙的工效为711601060,所以从时间上考虑,应该选择甲,会比丙早完工601545天,同样的道理,甲乙丙的每日工资之和是 180001200015000()21825102012（元）,所以甲的每日费用为18256001225（元）,乙的费用为18251250575（元）,丙的费用为1825180025（元）,所以需要支付速度最快的队伍1225 1518375（元）