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1、第2章自动控制第1页，共84页，编辑于2022年，星期一控制系统数学模型的概念控制系统数学模型的概念1.1.定义：定义：根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式达式（描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数（描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式学表达式）。2.2.建立数学模型的方法：建立数学模型的方法：系统建模有两大类方法系统建模有两大类方法:一类是机理分析建模方法，称为解析法，一类是机理分析建模方法，称为解析法，另一类是实验建模方
2、法，通常称为系统辨识。另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识。第2页，共84页，编辑于2022年，星期一n解析法（机理分析法）解析法（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。程。n实验法（系统辨识法）实验法（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。特性。第3页，共84页，编辑于2022年，星期一 3.3.数学模型的类型数学模型的类型 1)1)静态模型与动态模型静态模型与动态模型 描描述述系系统统静静态态（工工作作状
3、状态态不不变变或或慢慢变变过过程程）特特性性的的模模型，称为静态数学模型。型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以静态数学模型一般是以代数方程代数方程表示的。表示的。描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程微分方程等形式。等形式。第4页，共84页，编辑于2022年，星期一 2)2)连续时间模型与离散时间模型连续时间模型与离散时间模型 连续数学模型连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表有微分方程、传递函数、状态空间表 达式等。达式等。离散数学模型离散数
4、学模型有差分方程、有差分方程、Z Z传递函数、离散状态传递函数、离散状态 空间表达式等。空间表达式等。第5页，共84页，编辑于2022年，星期一 3)3)参数模型与非参数模型参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为从描述方式上看，数学模型分为参数模型参数模型和和非参数模型非参数模型两大类。两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、的响
5、应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。频率特性曲线等。第6页，共84页，编辑于2022年，星期一 时域中常用的数学模型有时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程微分方程、差分方程和和状态方程；状态方程；复域中有复域中有传递函数传递函数和和结构图结构图；频域中；频域中有有频率特性频率特性。数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。式的模型。本章中只研究本章中只研究微分方程、传递函数微分方程、传递函数和和结构图结构图等数等数学模型的建
6、立及应用。学模型的建立及应用。2-1 2-1 傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换第7页，共84页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1线性部件、线性系统微分方程的建立线性部件、线性系统微分方程的建立2-2 2-2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型用解析法列写微分方程的一般步骤：用解析法列写微分方程的一般步骤：（1 1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；输入、输出变量；（2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的定律，列写出各部件的动态方
7、程，一般为微量所遵循的定律，列写出各部件的动态方程，一般为微分方程组；分方程组；（3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；（4 4）将微分方程标准化，即将与输入有关的各项方在将微分方程标准化，即将与输入有关的各项方在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。排列。第8页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.1 R-L-C2.1 R-L-C无源网络如图所无源网络如图所示，写出输入电压示，写出输入电压u ur r输出电压输出电压u uc c之间的微分方程。之间的微分方程。解：根
8、据克希霍夫定律可以写出解：根据克希霍夫定律可以写出 电容上的电压电容上的电压回路中电流回路中电流（2-12-1）代入式代入式2-12-1得得（2-22-2）第9页，共84页，编辑于2022年，星期一令令将式（将式（2-22-2）整理成标准形式为）整理成标准形式为若令若令整理成另一种标准形式为整理成另一种标准形式为第10页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.2 2.2 2.2 2.2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力外力外力外力F(t
9、)F(t)F(t)F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)F(t)与质量块的位移与质量块的位移与质量块的位移与质量块的位移y(t)y(t)y(t)y(t)之间的微分方程。之间的微分方程。kF(t)mfy(t)图图2.22.2第11页，共84页，编辑于2022年，星期一解：若弹簧恢复力解：若弹簧恢复力F F2 2(t)(t)和阻尼器阻力和阻尼器阻力F F1 1(t)(t)与外力与外力F(t)F(t)不能平衡，则不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变
10、质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有化。根据牛顿定理有:式中式中 f f 阻尼系数阻尼系数,k,k 弹性系数弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：由以上所列方程中消去中间变量：kF(t)mfy(t)第12页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.32.3：试建立弹簧：试建立弹簧 阻尼器系统的阻尼器系统的微分方程。微分方程。图图2.32.3第13页，共84页，编辑于2022年，星期一例2.4 图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。假设励磁电流恒定不变，试建立在 作用下电动机转轴的运动方程。第14页，共84页，编辑于2022年，星期一解解 在电枢控制情况下，激磁不变。
11、取ua为给定输入量，为输出量，Mc为扰动量。为便于建立方程，引入中间变量ea、ia和M。ea为电动机旋转时电枢两端的反电势（V），ia为电枢电流（A），M为电动机旋转时的电磁力矩（Nm）。列写数学关系式如下（1）电动机电枢回路的电势平衡方程为（2）电动机的反电势方程为（3）电动机的电磁转矩方程为（4）电动机轴上的动力学方程为消去中间变量Ea、ia和Mm，得 电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略，则第15页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.52.5试建立如图试建立如图2.42.4所示系统的所示系统的微分方程。微分方程。解：根据克希霍夫电压定律，解：根据克希霍夫电压定律，可写出下列方
12、程组可写出下列方程组消去中间变量消去中间变量后得到后得到 第16页，共84页，编辑于2022年，星期一控制系统微分方程的建立应注意控制系统微分方程的建立应注意：a.a.应注意信号传递的单向性，即前一个元件的输出是后一应注意信号传递的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送；个元件的输入，一级一级地单向传送；b.b.应注意前后连接两个元件中，后级对前级的负载效应（例应注意前后连接两个元件中，后级对前级的负载效应（例如：无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转如：无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响）。动惯量的影响）。第17页，共84页，编辑于2
13、022年，星期一2.2.2 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化 非线性元件微分方程的线性化方法有：非线性元件微分方程的线性化方法有：切线法或切线法或小偏差法。小偏差法。适合于具有连续变化的非线性特性函数，适合于具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。段直线来代替。第18页，共84页，编辑于2022年，星期一设连续变化的非线性函数为设连续变化的非线性函数为y yf f（x x），取某平衡状态），取某平衡状态A A为工作点，对应有为工作点，对应有y y0 0 f f（x x0
14、0）当当x xx x0 0 xx时有时有y yy y0 0yy，设函数设函数y y f f（x x）在（）在（x x0 0，y y0 0）点连续可微，则将它在该点附近点连续可微，则将它在该点附近用台劳级数展开为用台劳级数展开为当当x xx x0 0很小时，略去高次幂项有：很小时，略去高次幂项有：第19页，共84页，编辑于2022年，星期一 令令y yy yy y0 0，x xx xx x0 0，则则yykxkx，略去增量符号，得略去增量符号，得y yf f（x x）在工作点）在工作点A A附近的线性化方程为附近的线性化方程为y ykxkx。注意注意：1.1.非线性方程必为连续。非线性方程必为连
15、续。原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非线性称为本质非线性。这类非线性称为本质非线性。2.K2.K值与工作点的位置有关值与工作点的位置有关,随静态工作点而变。随静态工作点而变。3.3.考虑增量考虑增量X X较小，实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量较小，实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化。只能在小范围内变化。第20页，共84页，编辑于2022年，星期一两个自变量：两个自变量：y=f(x1，x2)静态工作点：静态工作点：y0=f(x10，x20)在在y0=f(x10，x20)附近展开成泰勒级
16、数，即附近展开成泰勒级数，即函数变化与自变量变化成线性比例关系。函数变化与自变量变化成线性比例关系。例题例题2-14第21页，共84页，编辑于2022年，星期一解解:在在h h0 0处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似第22页，共84页，编辑于2022年，星期一2-3 2-3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
17、第23页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.12.3.1拉氏变换相关知识拉氏变换相关知识第24页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.22.3.2传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为若线性定常系统的微分方程为若线性定常系统的微分方程为若线性定常系统的微分方程为在在初始条件为零初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得时，对上式进行拉氏变换，得描述该线性定常系统的传递函数为描述该线性定常系
18、统的传递函数为第25页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.72.7试求例试求例2.1R-L-C2.1R-L-C无源网络的传递函数。无源网络的传递函数。解：由前例可知，解：由前例可知，R-L-CR-L-C无源网络的微分方程为无源网络的微分方程为在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换并整理可得网络在零初始条件下，对上式两端取拉氏变换并整理可得网络传递函数为：传递函数为：第26页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.32.3.3传递函数的性质传递函数的性质1.1.传传递递函函数数表表示示系系统统传传递递输输入入信信号号的的能能力力，反反映映系系统统本本身身的的动动态态特特性，它只与系统的
19、结构和参数有关，与输入信号形式无关。性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号形式无关。2.2.由由于于能能源源的的限限制制和和实实际际系系统统或或元元件件总总是是具具有有惯惯性性的的缘缘故故，其其输输出出量量不不可可能能无无限限制制上上升升，因因而而有有：传传递递函函数数是是复复变变量量s s的的有有理理分分式式函函数数，其其分分子子多多项项式式的的次次数数m m低低于于或或等等于于分分母母多多项项式式的的次次数数n n，即即mnmn。且系数均为实数。且系数均为实数。3.3.传传递递函函数数表表征征系系统统或或元元件件本本身身的的特特性性，而而与与输输入入信信号号无无关关，但但它它不不能能反
20、反映映系系统统或或元元件件的的物物理理结结构构。也也就就是是说说，对对于于许许多多物物理理性性质质截截然然不不同同的的系系统统或或元元件件，它它们们可可以以有有相相同同形形式式的的传传递递函函数。数。4.4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。传递函数的定义只适用于线性定常系统。第27页，共84页，编辑于2022年，星期一5.5.传递函数与微分方程有直接联系。传递函数与微分方程有直接联系。6.6.传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统的运动特性。反映系统的运动特性。所以有所以有 脉冲响应是系统在单位脉冲脉冲响应是系统
21、在单位脉冲 输入时的输出响应。输入时的输出响应。因为单位脉冲函数的拉氏变换式为因为单位脉冲函数的拉氏变换式为1，第28页，共84页，编辑于2022年，星期一常把传递函数分解为一次因式的乘积常把传递函数分解为一次因式的乘积式式中中：K K称称为为传传递递函函数数的的增增益益或或传传递递系系数数（放放大大系系数数）。z zj j(j=1.2.(j=1.2.m)m)为为 分分 子子 多多 项项 式式 的的 根根，称称 为为 传传 递递 函函 数数 的的 零零 点点。P Pi i(1.2.(1.2.n)n)为分母多项式的根，称为为分母多项式的根，称为传递函数的极点传递函数的极点。传传递递函函数数的的分
22、分母母多多项项式式就就是是相相应应微微分分方方程程式式的的特特征征多多项项式式，令令该该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程特征方程。第29页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.42.3.4常用控制元件的传递函数常用控制元件的传递函数学习要求：阅读教材，理解原理，看懂例题学习要求：阅读教材，理解原理，看懂例题第30页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.52.3.5典型环节的传递函数典型环节的传递函数比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。的变化。比例环节的传递函数
23、为比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为比例环节又称放大环节。其数学方程为1.1.比例环节比例环节r(t)c(t)c(t)/r(t)第31页，共84页，编辑于2022年，星期一2.2.惯性环节惯性环节（非周期环节）（非周期环节）输入、输出间的微分方程为输入、输出间的微分方程为注注：1 1）惯惯性性环环节节的的输输出出量量不不能能立立即即跟跟随随输输入入量量的的变变化化，存存在在时时间间上上延延迟迟，T T愈愈大大惯惯性性愈愈大大，延延迟迟时时间间也也愈愈长长，时时间间常常数数T T表征了该环节的惯性。表征了该环节的惯性。2）在在单单位位阶阶跃跃输输入入时时惯惯性性环环节节的的输
24、输出出量量是是按按指指数数函函数数变变化的。当化的。当t=3Tt=3T4T4T时，输出才能接近其稳态值。时，输出才能接近其稳态值。0tr(t)/c(t)第32页，共84页，编辑于2022年，星期一3.3.积分环节积分环节积分环节的微分方程是积分环节的微分方程是积积分分环环节节的的输输出出量量是是与与其其输输入入量量的的积积分分成成比比例例的的。由由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为 c(t)=Kt c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为单位阶跃响应的斜率为 K K，如右图所示。，如右图所示。式中式中K=1/T-K=1/T-积分环节的放大系数，积分环节的放大
25、系数，T-T-积分时间常数。积分时间常数。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)第33页，共84页，编辑于2022年，星期一4.4.微分环节微分环节理想微分环节的微分方程理想微分环节的微分方程为为T T为微分时间常数。为微分时间常数。理想微分环节的单位阶跃响应为理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为这是一个强度为T T的理想脉冲。的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。第34页，共84页，编辑于2022年，星期一5.5.振荡环节振荡环节振荡环节的微分方程是振荡环节的微分方程是当当输输入入为为单单位位阶阶跃跃函函数数时时，可可用用拉拉氏氏反
26、反变变换换求求得得环环节节的的输输出出响响应应，如如右图所示。右图所示。c(t)c(t)1 10 0t t式中式中T-T-时间常数，时间常数，-阻尼比，对振荡环节有阻尼比，对振荡环节有 0 0 11第35页，共84页，编辑于2022年，星期一6.6.纯滞后环节纯滞后环节数学表达式为数学表达式为 式中式中 为纯滞后时间。当输入信号为下图为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)(a)所示的所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如单位阶跃函数时，其响应曲线如下图下图(b)(b)所示。所示。r(t)r(t)1 1t t0 0(a)t tc(tc(t)1 10 0(b)第36页，共84页，编辑于2022年，星期一
27、轧钢机延迟环节的例子轧钢机延迟环节的例子 第37页，共84页，编辑于2022年，星期一2.3.6 2.3.6 控制系统的传递函数控制系统的传递函数解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式例例2.8 2.8 设下图所示电路中，输入电压为设下图所示电路中，输入电压为u ur r,输出电压为输出电压为u u0 0，试写出其传递函数。，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C2第38页，共84页，编辑于2022年，星期一在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式消去中间变量，
28、得到输入、输出的微分方程式由此得出该电路的传递函数为由此得出该电路的传递函数为第39页，共84页，编辑于2022年，星期一 在在上上述述计计算算过过程程中中，如如果果先先对对所所列列写写的的微微分分方方程程组组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。在零初始条件下，对在零初始条件下，对方程组方程组取拉氏变换，得到取拉氏变换，得到消去中间变量可得消去中间变量可得)(1)()()()()()()()()()(1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=第40页，共84页，编辑于2022年，星期一
29、2.4 2.4 控制系统的结构图控制系统的结构图 控控制制系系统统的的结结构构图图是是描描述述系系统统各各组组成成元元部部件件之之间间信信号号传传递递关关系系的的数数学学图图形形，它它表表示示系系统统中中各各变变量量所所进进行行的的数数学学运运算算和和输输入入、输输出之间的因果关系。出之间的因果关系。2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 结构图的组成结构图的组成结构图的组成结构图的组成 把把各各环环节节或或元元件件的的传传递递函函数数填填在在系系统统原原理理方方块块图图的的方方块块中中，并并把把相相应应的的输输入入、输输出出信信号号分分别别以以拉拉氏氏变变换换来来表表示示，就就可可以
30、以得得到到传传递递函函数数方方块块图图。（信信号号之之间间的的数数学学物物理理关关系系，系统的动态结构）系统的动态结构）第41页，共84页，编辑于2022年，星期一 信信号号线线：带带有有箭箭头头的的直直线线，箭箭头头表表示示信信号号的的传传递递方方向向，且信号只能单向传输。且信号只能单向传输。方方框框：即即一一个个元元件件或或环环节节的的传传递递函函数数方方块块图图，该该方方块块可可以对信号进行数学变换，其变换关系为以对信号进行数学变换，其变换关系为 X Xc c(s)=G(s)X(s)=G(s)Xr r(s)(s)G(s)xr(s)xc(s)方块单元方块单元 信号比较点：表示两个或多个信号
31、在此代数相加。信号比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。信号比较点的运算关系为信号比较点的运算关系为xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)第42页，共84页，编辑于2022年，星期一信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同信号在数值和性质上完全相同。x(s)x(s)x(s)x(s)2.4.2 2.4.2 结构图的画法结构图的画法第43页，共84页，编辑于2022年，星期一绘制系统结构图的步骤如下：绘制系统结构图的步骤如下：1.1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的列写出系统各元
32、件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。2.2.在在零初始条件零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。式写成标准形式。3.3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。的结构图。4.4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。接起来，便可得到系统的结构图。第4
33、4页，共84页，编辑于2022年，星期一 例例2.9 2.9 在图所示的滤波电路中，若以电压在图所示的滤波电路中，若以电压u ur r为输入，电压为输入，电压u uc c为输出，试画出其结构图。为输出，试画出其结构图。u ur rR R1 1R R2 2u uc cC C2 2C C1 1i i1 1i i2 2 例例2.92.9题电路图题电路图解解第45页，共84页，编辑于2022年，星期一2 2、将上述方程整理、将上述方程整理1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)-3 3 3 3.按照信号传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来。
34、按照信号传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来。第46页，共84页，编辑于2022年，星期一例题：试绘制如图所示例题：试绘制如图所示 的无源网络的结构图的无源网络的结构图 解：解：根据克希霍夫定律写根据克希霍夫定律写出下列方程出下列方程 第47页，共84页，编辑于2022年，星期一第48页，共84页，编辑于2022年，星期一2.4.3 2.4.3 结构图的等效变换结构图的等效变换1.1.串联连接方式的等效变换串联连接方式的等效变换 前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如环节的串联。如下图下图所示，所示，G G1 1(s)(s)G
35、 G2 2(s)(s)G G3 3(s)(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)R R3 3(s)(s)R R4 4(s)(s)G(s)G(s)R R1 1(s)(s)R R4 4(s)(s)第49页，共84页，编辑于2022年，星期一2.2.并联连接方式的等效变换并联连接方式的等效变换输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示下图所示G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G G3 3(s)(s)C C2 2(s)(s)C C3 3(s)(s)+C(s)C(s)R(s)R(s)C C1 1(s)(s)并联后总的传
36、递函数为并联后总的传递函数为G(s)G(s)R(s)R(s)C(s)C(s)第50页，共84页，编辑于2022年，星期一3.3.反馈连接方式的等效变换反馈连接方式的等效变换 将将系系统统或或环环节节的的输输出出反反馈馈到到输输入入端端与与输输入入信信号号进进行行比比较，就构成了反馈连接。较，就构成了反馈连接。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)B(s)B(s)-R(s)R(s)C(s)C(s)第51页，共84页，编辑于2022年，星期一4.4.分支点的移动规则分支点的移动规则 将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循移动前后所得的移动前后所得的分
37、支信号保持不变分支信号保持不变的等效原则。的等效原则。G(s)G(s)1/G(s)1/G(s)B BR(s)R(s)C C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。G(s)G(s)R(s)R(s)A AB BC C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)第52页，共84页，编辑于2022年，星期一G(s)G(s)G(s)G(s)A AR(s)R(s)C C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)分分支支点点移移动动的的规规则则为为：若若分分支支点点从从一一个个方方块块图图的的输输入入端端移移
38、到到其其输输出出端端时时，应应在在移移动动后后的的分分支支中中串串入入一一个个方方块块图图，它它的的传传递递函函数数等等于于所所跨跨越越的的方方块块图图的的传传递递函函数数的的倒倒数数。若若分分支支点点从从一一方方块块图图的的输输出出端端移移到到其其输输入入端端时时，应应在在移移动动后后的的分分支支中中串串入入一一个个方方块块图图，它它的的传传递递函函数数等等于于所所跨跨越越的的方方块块图图的的传传递函数。递函数。G(s)G(s)R(s)R(s)A AB BC C1 1(s)(s)C C2 2(s)(s)第53页，共84页，编辑于2022年，星期一5.5.比较点的移动规则比较点的移动规则如图如
39、图(a)(a)所示，当比较点在所示，当比较点在A A处时，总输出量为处时，总输出量为 C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)(s)当比较点移到当比较点移到B B处时，必须使两个输入都经过元件方块图后再相处时，必须使两个输入都经过元件方块图后再相加，如图加，如图(b)(b)所示，此时所示，此时 C(s)=G(s)RC(s)=G(s)R1 1(s)-G(s)R(s)-G(s)R2 2(s)(s)与移动前相等，因而两图是等效的。与移动前相等，因而两图是等效的。G(s)G(s)A AR R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)-C(s)C(s)B BG(s)
40、G(s)G(s)G(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)B BC(s)C(s)-(a)(a)(b)(b)第54页，共84页，编辑于2022年，星期一 当当综综合合点点之之间间相相互互移移动动时时，如如下下图图所所示示，因因为为三三者者输输出出都都为为 C(s)=RC(s)=R1 1(s)-R(s)-R2 2(s)-R(s)-R3 3(s)(s)故它们都是等效的。故它们都是等效的。R R2 2(s)(s)R R1 1(s)(s)R R2 2(s)(s)R R3 3(s)(s)-E E1 1C(s)C(s)R R1 1(s)(s)R R3 3(s)(s)R R1 1(s)(s)R
41、R3 3(s)(s)R R2 2(s)(s)-C(s)C(s)C(s)C(s)(a)(b)(c)互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。第55页，共84页，编辑于2022年，星期一第56页，共84页，编辑于2022年，星期一2.4.4 2.4.4 系统结构图的简化系统结构图的简化例例2.102.10简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)-+R(s)C(s)解解 这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局
42、部反馈回这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。始，由内向外逐步简化。第57页，共84页，编辑于2022年，星期一G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)-C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)第58页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.112.11
43、第59页，共84页，编辑于2022年，星期一第60页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2.122.12第61页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2-122-12 简化下图，求出系统的传递函数。解 图是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相相加加点点、分分支支点点互互换换的的方方法法处理。（2）再与b点交换（1）将相加点a移至G2之后第62页，共84页，编辑于2022年，星期一（3）因 G4与G1G2并联，G3与G2H是负反馈环（4）上图两环节串联，函数相乘后结果为所以，系统的传递函数为第63页，共84页，编辑于2022年，星期一例例2-132-13 试简化下图所示系统的结构图，
44、并求系统的传递函数 解 （1）将支路H2（s）的分支点后移（2）合并上图虚线框内的各环节，结果如下图所示 第64页，共84页，编辑于2022年，星期一（3）合并上图虚线框内的各环节，结果为 所以，系统的传递函数为第65页，共84页，编辑于2022年，星期一归纳规律：归纳规律：通过上述例子，可以看到如果满足以下两个条件：所有回路两两相互接触；所有回路与所有前向通道接触。则可以得到以下几条简化结构图的规律：闭环系统传递函数是一个有理分式；，负反馈取“+”正反馈取“”即式中，m是前向通道的条数，n是反馈回路数。第66页，共84页，编辑于2022年，星期一2.52.5控制系统的信号流图控制系统的信号流
45、图2.5.12.5.1信号流图信号流图1.1.信号流图中的基本图形符号有三种：节点，支路，信号流图中的基本图形符号有三种：节点，支路，和支路增益和支路增益2.2.信号流图的基本性质信号流图的基本性质3.3.信号流图的有关术语：信号流图的有关术语：a.a.源节点源节点 b.b.阱节点阱节点 c.c.混合节点混合节点 d.d.前向通路前向通路d.d.回路回路 e.e.回路增益回路增益 f.f.前向通路增益前向通路增益g.g.不接触回路不接触回路第67页，共84页，编辑于2022年，星期一 信号流图的绘制：信号流图的绘制：例例:2-22 :2-22 例例:2-23:2-23由系统结构图绘制信号流图应
46、注意由系统结构图绘制信号流图应注意 ：（1 1）尽量精简节点的数目，合并；源节点和阱节点不能合并掉；）尽量精简节点的数目，合并；源节点和阱节点不能合并掉；（2 2）结构图比较点之前没有引出点（之后有）只需在比较点后设）结构图比较点之前没有引出点（之后有）只需在比较点后设 置一个节点便可，但若比较点之前有引出点，需在引出点和置一个节点便可，但若比较点之前有引出点，需在引出点和 比较点之后各设置一个节点。分边标志两个变量，他们之间比较点之后各设置一个节点。分边标志两个变量，他们之间 的支路增益为的支路增益为1 1。第68页，共84页，编辑于2022年，星期一梅逊公式一般形式为梅逊公式一般形式为2.
47、5.22.5.2用梅逊用梅逊(S.J.Mason)(S.J.Mason)公式求传递函数公式求传递函数 梅逊公式的由来梅逊公式的由来第69页，共84页，编辑于2022年，星期一例例:用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC-解解 图中共有四个不同回路，其回路传递函数分别为图中共有四个不同回路，其回路传递函数分别为故故 L Li i=L=L1 1+L+L2 2+L+L3 3+L+L4 4第70页，共84页，编辑于2022年，星期一 在上述四个回路中，互不接触回路有：在上述四个回路中，互不接触回路有：L L2 2、L L3
48、3，它们之间没有，它们之间没有重合的部分，因此有重合的部分，因此有 LLi iL Lj j=L=L2 2L L3 3=(-G=(-G2 2G G3 3H H2 2)()(G G4 4G G5 5H H3 3)=G)=G2 2G G3 3G G4 4G G5 5H H2 2H H3 3 图中没有三个互不接触回路，故图中没有三个互不接触回路，故 L Li iL Lj jL LK K=0=0可得特征式可得特征式第71页，共84页，编辑于2022年，星期一图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以注注意意：应应用用梅梅逊逊公公式式可
49、可以以方方便便地地求求出出系系统统的的传传递递函函数数，而而不不必必进进行行结结构构图图变变换换。但但当当结结构构图图较较复复杂杂时时，容容易易遗遗漏漏前前向向通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。通路、回路或互不接触回路。因此在使用时应特别注意。第72页，共84页，编辑于2022年，星期一例例 题：题：2-24 2-25例例 题：题：第73页，共84页，编辑于2022年，星期一第74页，共84页，编辑于2022年，星期一第75页，共84页，编辑于2022年，星期一2.6.1 2.6.1 系统的开环传递函数系统的开环传递函数定义定义 反馈信号反馈信号B(s)B(s)与偏差信号与偏差
50、信号E(s)E(s)之比，称为闭环系统的之比，称为闭环系统的开环传递函数，（简称开环传递函数）开环传递函数，（简称开环传递函数）。G Gk k(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)-2.62.6闭环（反馈）控制系统的传递函数闭环（反馈）控制系统的传递函数第76页，共84页，编辑于2022年，星期一2.6.2 2.6.2 闭环传递函数闭环传递函数 1.r1.r（t t）作用下系统的闭环传递函数）作用下系统的闭环传递函数 在在下下图图(a)(a)所所示示的的反反馈馈系系统统中中，为为求求取取r(t)r