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1、对数函数例题解析对数函数例题解析考题 1计算对数函数y log4x对应于x取解析当x 11、64、128 时的函数值。16411 log442 2；时，y log4161611当x 时，y log4 log441 1；44当x 64时，y log464 log4433；当x 128时，y log4128 log222777log22.22点评本题主要考查学生利用对数运算法则，准确地进行对数运算的能力，在计算过程中要将算式转化为公式结构，从而熟练地运用公式。考题 2如图是对数函数y logax的图象，已知a值取3,4 3 1，则图象3 5 10C1,C2,C3,C4相应的a值依次是（）43141
2、3、B3、35103105431413C、3、D、3、35103105解析 当a 1时，图象上升；0 a 1，图象下降，又当a 1时，A3、a越大，图象向右越靠近x轴；0 a 1时，a越小，图象向右越靠近x轴，故选 A。点评这类问题还可这样求解，过点(0,1)作x轴的平行直线l（如图）与C1,C2,C3,C4的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种求解方法简单易记。考点 3已知a 0，且a 1，函数y ax与y loga(x)的图象只能是图中的（）分析可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响。解法一：首先，曲线y ax
3、只可能在上半平面，y loga(x)只可能在左半平面上，从而排除 A、C。其次，从单调性着眼，y ax与y loga(x)的增减性正好相反，又可排除D。解法二：若0 a 1，则曲线y ax下降且过点(0,1)，而曲线y loga(x)上升且过(1,0)，以上图象均不符合这些条件.若a 1时，则曲线y ax上升且过(0,1)，而曲线y loga(x)下降且过(1,0)，只有 B 满足条件。解法三：如果注意到y loga(x)的图象关于y轴的对称图象为y logax，又，则可直接选定 B。y logax与y ax互为反函数（图象关于直线y x对称）答案B点评函数图象是一个重要的问题，可从定义域、值
4、域、单调性、对称性及特殊点入手筛选，对常见函数图象一定要掌握好。考点 4已知loga11，那么a的取值范围是2。分析利用函数单调性或利用数形结合求解。1111 logaa，得当a 1时，a，a 1；当0 a 1时，a，222110 a.故a 1，或0 a.221答案a 1或0 a 2解由loga点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1 还是小于 1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答，理解会用以下几个结论很有必要：（1）当a 1时，logax 0 x 1,logax 0 0 x 1；（2）当0 a 1时，logax 0 0 x 1，logax 0 x 1.a(x21)考题
5、 5设0 a 1，f(logax).2x(a 1)（1）求f(x)；（2）求证：f(x)在R R上为增函数.解析（1）设t logax(tR R)，则x at(x 0).a(a2t1)a于是f(t)t22(atat).a(a 1)a 1axx(a a)(xR R).a21（2）设x1 x2，a(ax2ax2)(ax1ax1)则f(x2)f(x1)2a 1a2(ax2ax1)(ax1ax2).a 1因此f(x)0 a 1,x1 x2,x1 x2,ax2 ax1,ax1 ax2.即ax2ax1 0,ax1ax2 0.0 a 1，a21 0，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1).f(x)在R
6、 R上为增函数。点评问题（1）中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论y ax的单调性，这里0 a 1，若条件改为a 0，且a 1，该如何解答？考题 6求下列函数的定义域：（1）y 1(a 0,a 1).1loga(xa)解析要使原函数有意义，需1loga(xa)0,即loga(xa)1 logaa.当a 1时，0 x a a,a x 0.当0 a 1时，x a a,x 0.当a 1时，原函数定义域为x|a x 0；0 a 1时，原函数定义域为x|0.点评函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解.考题 7设函数f(x)l
7、g(ax2 2x 1)(xR).（1）若f(x)的定义域为 R，求a的取值范围；（2）若f(x)的值域为 R，求a的取值范围。解析（1）因为f(x)的定义域为 R，所以对一切xR,ax2 2x 1恒为正数，由此可得a 0，且 4 4a 0，解得a 1.（2）因为f(x)的值域为 R，所以真数ax 2x1能取到一切正实数，由此可得a 0，且 4 4a 0，解得0 a 1.点评本题很多同学容易把（1）与（2）混为一谈，常用求解问题（1）的方法去处理问题（2）。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以及二次、对数函数性质的应用。考题 8（1）log43,log34,log4323的大小顺序为（
8、）4Alog34 log43 log43333Blog34 log43 log4Clog34 log4 log43D44433log434 log34 log433ab,logb,logba,logab的大小.ba解析（1）log34 1,0 log431,（2）若a2 b a 1，试比较logalog3343 log4()1 1，log34 log43 log4.选 B。43433aab1.loga 0,logb(0,1),logba(0,1).bbabb又a 1，且b 1，logb logba,故 有aaabloga logb logba logab.ba考题 9（1）若方程lg(ax)l
9、g(ax2)4的所有解都大于 1，求a的取值范围；2（2）若(loga)21，求a的取值范围.3解析（1）原方程化为(lgxlga)(lga 2lgx)4.2lg2x3lgalgxlg2a4 0.若使x 1，则需lgx 0，原方程等价于（2）b a 1，0 (3lga)242(lg2a4)0,3lga 0,212(lg a4)0,211.a的取值范围是a|0 a 1001002（2）(loga)21,32121 loga1 loga 1 loga1 logaa.3a3212当a 1时，有loga为增函数，a.3a333a，结合a 1，故a.22212当0 a 1时，有loga为减函数，a.3a
10、322a，结合0 a 1，0 a.3323a的取值范围是a|0 a a|a.321考题 10若不等式2xlogax 0，当x(0,)时恒成立，求实数a的取值范围.21解析 要使不等式2x logax在x(0,)时恒成立，2解得0 a 即函数y logax的图象在(0,)内恒在函数y 2x图象的上方，而y 2x图象过点1211(,2).由图可知，loga2，显然这里0 a 1,函数y logax递减，又221loga2 logaa2,2a21122122，即a ().所求的a的取值范围为()a 1.222点评原问题等价于当x(0,)时，y1 2x的图象在y2 logax的图象的下方，由于a的大小不确定，当a 1时，显然y2 y1，因此a必为小于 1 的正数，当y2的图象通过121122点(,2)时，y2满足条件，此时a0().那么a是大于a0还是小于a0才满足呢？可以22画图象观察，请试着画一画，这样可以对数形结合的方法有更好地掌握。