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1、-第第1 1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率(1）排Pnm!从m个人中挑出 n个人进行排列的可能数。m(m n)!列组m!n合公Cm从m个人中挑出 n个人进行组合的可能数。n!(m n)!式加法原理加法原理(两种方法均能完成此事两种方法均能完成此事)：m+m+()某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方加法法可由种方法来完成,则这件事可由 m+种方法来完成。和乘乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）:m:mn n法原某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由种方法完成，第二个步理骤可由n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成
2、。(3)一重复排列和非重复排列(有序)些常对立事件（至少有一个）见排顺序问题列(）如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不随机止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这试验种试验为随机试验。和随试验的可能结果称为随机事件。机事件在一个试验下,不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；(5）基 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。件、样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。本空一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成
3、的集合。通常用大写间和字母A，B,，表示事件,它们是的子集。事件为必然事件，为不可能事件。不可能事件(）的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件(）的概率为 1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生)：A B（6)B A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A如果同时有A B，事件B。的关A、B中至少有一个发生的事件：A，或者AB。系与属于而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A,运算也可表示为A-B或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者B。AB,则表示A与B不
4、可能同时发生,称事件与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率：A(B）=(B)(C）=(A)C分配率：(AB）（A)(BC）(A)C=(AC)(C）德摩根率:AiAiA B A B,A B A B设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：10(A)1，2 ()=13 对于两两互不相容的事件A1，A2,有PAiP(Ai)i1i1i1i1-A称为事件A的逆事件，或称的对立事件，记为A。它表示A不（7）概率的公理化定义常称为可列(完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。1 1,2n,P(1)P(2)P(n)。
5、设任一事件A,它是由1,2m组成的，则有P（A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)1n(8)古典概型mA所包含的基本事件数n基本事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同(9）几时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称何概此随机试验为几何概型。对任一事件，L(A)型P(A)。其中L为几何度量(长度、面积、体积）。L()(10)加法公式(1)减法公式(1)条件概率P(A+B)=P(A)+P(B)-P（AB)当(B)0时,（A+B)=P（A)+P()P(A-)=P()-(AB)当B时，P(A-B)=P(A）P(B)当A=时，P(B)-P（B
6、)P(AB)定义 设A、是两个事件,且P(A)0,则称P(A)为事件A发生条件下,P(AB)P(B/A)事件B发生的条件概率,记为。P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B）=P(B/A)=P(B/A）(1）乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)乘法更一般地,对事件A1,2,n,若(A1A2n)0,则有公式P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An 1)。(1)两个事件的独立性两个事件的独立性-独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(
7、B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(A)(n）全2A Bi,概公i1则有式若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立性设AB是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(B)=P()P(B）；P(BC)P（B)P（C);P(A）=P(C)(A)并且同时满足 P(ABC)=P（A)P(B)(C）那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1,B2,Bn满足1B1,B2,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i 1,2,n),P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(
8、A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。设事件B1,B2,Bn及A满足1B1，B2,，Bn两两互不相容,P(Bi)0,i，2,n，2A Bi，P(A)0,(16)贝叶斯公式则i1nP(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)P(B)P(A/B)jjj1n,=1，2,n。此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，P(Bi/A)，（i 1，(i 1,2，,n),n),通常叫先验概率。2，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n次试验,且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样;(17)每次试验是独立的，即每次试
9、验A发生与否与其他次试验A发伯努生与否是互不影响的。利概这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。型用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 p q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，kPn(k)Cnpkqnk,k 0,1,2,n。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布-（1）离设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1，2,)且取各个值散型随的概率,即事件(X=Xk）的概率为机变量P(Xk)=k，k=1,2,，的分布则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也律用分布列的形式给出:Xx1,x2,xk,。|P(X xk)p1,p2,p
10、k,显然分布律应满足下列条件：(1)pk 0,k 1,2,，（2)pk1。k1（2）连 设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x)，对任意续型随实数x,有机变量F(x)xf(x)dx,的分布则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函密度数,简称概率密度。密度函数具有下面 4个性质：f(x)0。(3)离散P(X x)P(x X x dx)f(x)dx与连续积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与型随机P(X xk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。变量的关系（4）分设X为随机变量，x是任意实数,则函数F(x)P(X x)布函数称为随机变量 X
11、的分布函数,本质上是一个累积函数。P(a X b)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（,x内的概率。分布函数具有如下性质：10 F(x)1,x ；F(x)是单调不减的函数,即x1 x2时，有F(x1)F(x2)；F(x)0,F()lim F(x)1;F()xlimx4F(x 0)F(x)，即F(x)是右连续的;5P(X x)F(x)F(x 0)。pk对于离散型随机变量，F(x)x;xkf(x)dx 1。x对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。（5)八-1分布 P（X1）=,P(X=0)=大分布-二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概
12、率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,n。kknkP(X k)Pn(k)Cnp q，其中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2,n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为X B(n,p)。当n 1时，P(X k)pkq1k,k 0.1，这就是（01)分布，所以(0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X()或者P()。P(X k)ke，0，k 0,1,2，泊松分布为二项分布的极限分布（p=,n)。超几何分布knkk 0,1,2,lCMCNMP(X k),nl min(M,n)CN随机变量X服
13、从参数为 n,M的超几何分布，记为H(n,N,)。几何分布P(X k)qk1p,k 1,2,3,，其中 0,q=-p。随机变量X服从参数为 p的几何分布,记为（)。均匀分布设随机变量X的值只落在 a，b内,其密度函数f(x)在，上为常数1axb,f(x)b a其他，0,1，即b a则称随机变量X在，b上服从均匀分布，记为X(a，）。分布函数为0，xa，x a,b aaxb当 xb。-指数分布ex,x 0,x 0,f(x)0,其中 0,则称随机变量服从参数为的指数分布。X的分布函数为x1e,x 0,F(x)0,x0。记住积分公式：nxxedx n!0-正态分布设随机变量X的密度函数为2其中、0为
14、常数,则称随机变量X服从参数f(x)1e(x)222，x ，为、的正态分布或高斯（auss）分布，记为X N(,2)。f(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于x 对称的;2 当x 时,f()12x(t)22212为最大值;若X N(,2),则X的分布函数为F(x)e。dt。参数 0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N(0,1)，其密度函数记为(x)(x)121e2xx22,x ,dt。分布函数为(x)是不可求积函数，其函数值,已编制成表可供查et22用。1（-)=1-(x)且(0)=。2X 如果XN(,2),则N(0,1)。x x P(x1 X x2)21。下分位表：P(X)；(6
15、)分位数上分位表：P(X)。已知X的分布列为x1,x2,xn,XP(X xi),p1,p2,pn,Y g(X)的分布列(yi g(xi)互不相等）如下：g(x1),g(x2),g(xn),YP(Y yi)p1,p2,pn,（7）函 离散型数分布若有某些g(xi)相等,则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用的概率密度 fX()写出Y的分布函数Y(）P(g(X),再利用变上下限积分的求导公式求出（y)。-第三章二维随机变量及其分布（1)联合 离散型如果二维随机向量(X,Y）的所有可能取值为至分布多可列个有序对（x，y）,则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj
16、)(i,j 1,2,),且事件=(xi,yj)的概率为p j,称P(X,Y)(xi,yj)pij(i,j 1,2,)为=（X，Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jpijxipi1这里p j具有下面两个性质:（1）j0(,j=1,);pij1.（2)ij连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(x ,y ),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域，即D=(X，Y）|a1时，有F(x2,）F（1，);当y21时，有(x,y)F（x,1);(3）(x,)分别对x和y是右
17、连续的，即F(x,y)F(x 0,y),F(x,y)F(x,y 0);（4)F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5）对于x1 x2，y1 y2，F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，y1)0.(4)离散P(X x，Y y)P(x X x dx，y Y y dy)f(x，y)dxdy型与连续型的关系(5）边缘 离散型的边缘分布为Pi P(X xi)pij(i,j 1,2,)；分布jY的边缘分布为P j P(Y yj)pij(i,j 1,2,)。i连续型X的边缘分布密度为fX(x)fY(y)f(x,y)dy；f(x,y)dx.的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知
18、=xi的条件下,Y取值的条件分布为P(Y yj|X xi)pijpi；在已知Y=yj的条件下,取值的条件分布为P(X xi|Y yj)pijp j,连续型在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为f(x|y)f(x,y);fY(y)f(x,y)fX(x)在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为f(y|x)(7)独立一般型F(X,Y）=FX（)FY(y）-性离散型连续型pij pip j有零不独立f（,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:可分离变量正概率密度区间为矩形f(x,y)121212二维正态分布随机变量的函数e x22(x)(y)y1122122(12)1212,=0若X1，X2
19、,X,+1,Xn相互独立,g为连续函数,则：h(X,X2，Xm）和g(X+1,n)相互独立。特例：若X与Y独立，则:h（X)和g(Y）独立。例如：若X与Y独立，则:3X1和5Y-独立。-(8）二维 设随机向量（X,Y）的分布密度函数为 1均匀分布(x,y)DSDf(x,y)0,其他其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为（X,Y)(）。例如图.、图3.2和图3.。y1 D11图3.1y1D21Ox图32ydD3cO a x图3.3-(9）二维 设随机向量(，Y）的分布密度函数为 x2(x)(y1正态分布 2f(x,y)1112)21212e2(12)112 y222,其中
20、1,2,1 0,2 0,|1是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布，22记为（X,Y)N（1,2,1,2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,22即(1,1),Y N(2,2).22但是若 N(1,1),Y N(2,2),(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数 Z=X+根据定义计算：FZ(z)P(Z z)P(X Y z)分布对于连续型,f（)=f(x,z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布2（12,122)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Cii,2Ci2i2iiZ=max，若X1,X2Xn相互独立,其分布函数分别为min
21、(X1,X2,Fx(x)，Fx(x)Fx(x),则Z=max,in（,X2,X)n)的分布函数为:Fmax(x)Fx(x)Fx(x)Fx(x)Fmin(x)11 Fx(x)1 Fx(x)1 Fx(x)12n12n12n-2分布-设n个随机变量X1,X2,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和W Xi2i1n的分布密度为nu11u2e2nnf(u)2220,u 0,u 0.我们称随机变量 W服从自由度为的2分布，记为W2(n)，其中n21x xedx.20n所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设Yi2(ni),则Z Yi2(n
22、1 n2 nk).i1kt分布设,Y是两个相互独立的随机变量,且X N(0,1),Y 2(n),可以证明函数T XY/n的概率密度为 n 1t22f(t)1n nn2n12(t ).我们称随机变量 T服从自由度为 n的分布，记为Tt(n）。t1(n)t(n)-分布设X 2(n1),Y 2(n2)，且X与Y独立，可以证明X/n1F 的概率密度函数为Y/n2 n1 n2n12f(y)n1 n2n2 2 2n12n1n22yn112n11yn2,y 00,y 0我们称随机变量 F服从第一个自由度为 n,第二个自由度为n2的F分布,记为Ff(n1,n).F1(n1,n2)1F(n2,n1)第四章第四章
23、 随机变量的数字特征随机变量的数字特征（1)离散型一维期望设是离散型随机变量,随机期望就是平均值其分布律为 P(X xk)变量p,=1,2，n，n的数E(X)xkpkk1字特(要求绝对收敛）征函数的期望=(X)E(Y)g(xk)pkk1n连续型设X是连续型随机变量,其概率密度为 f()，E(X)xf(x)dx(要求绝对收敛)Yg(X)E(Y)方差2D(X)x E(X)f(x)dx22D()=EX-E()，D(X)xk E(X)pkk标准差(X)D(X),g(x)f(x)dx-矩对于正整数 k，称随机变量X的次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E(X)=k对于正整数 k,称随机变量X
24、的次幂的数学期望为X的阶原点矩,记为v,即k=E()=xkf(x)dx,k k=,，.对于正整数 k,称随机变k=1,2，.对于正整数 k，称随机 量与(）差的次幂变量与(X)差的k次的数学期望为 X的阶中心幂的数学期望为的 k阶 矩,记为k,即k E(X E(X)k中心矩，记为k,即ixkipi,k E(X E(X)ki.=(xi E(X)kpi，=(x E(X)kf(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式=1，2,.2设随机变量 X具有数学期望 E(X)=,方差（)=,则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式2P(X)2切比雪夫不等式给出了在未知的分布的情况下，对概率P(X)的一种估计，它在理
25、论上有重要意义。（2）1）E(C)=C期望 2）E(CX)=CE(X)nn的性3）E（XY)=E(X)+（），E(CiXi)CiE(Xi)i1i1质4）(X)=E()E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：和 Y不相关。(3）方1）D()=0;E()=C2差的 2）D(a)a(X);E()=a(X)2性质 3）D(aX+b)=a(X);E(X+b)=E()+b224）D（X）=E(X)-E(X）5）D()=D(X)D(),充分条件：X和Y独立;充要条件:和Y不相关。D(XY)=D（X)D（Y)2E（-E(X)）(Y-(Y)，无条件成立。而E(X+)=E(）(Y）,无条件成立。(4）常期望方差
26、p(1 p)见分0-1分布B(1,p)pnp(1 p)布的二项分布B(n,p)np期望泊松分布P()-和方差几何分布G(p)超几何分布H(n,M,N)均匀分布U(a,b)指数分布e()正态分布N(,2)2分布t分布1pnMNa b211 pp2nM M N n1NNN 1(b a)21212 2nE(X)xipini1nnn(n2)n 2()二维随机变量的数字特征期望E(X)E(Y)E(Y)yjp jj1xfX(x)dxyfY(y)dy函数的期望EG(X,Y)EG(X,Y)=G(x,yiijj)pij G(x,y)f(x,y)dxdy方差D(X)xi E(X)2piiD(X)x E(X)2fX
27、(x)dxD(Y)xjE(Y)2p jD(Y)y E(Y)2fY(y)dyj协方差相关系数对于随机变量 X与，称它们的二阶混合中心矩11为与Y的协方差或相关矩,记为XY或cov(X,Y)，即XY11 E(X E(X)(Y E(Y).与记号XY相对应,X与的方差 D(X)与D(Y）也可分别记为XX与YY。对于随机变量与 Y,如果D(X）0，D()0,则称XYD(X)D(Y)为与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|时，称与完全相关:P(X aY b)1正相关，当1时(a 0)，完全相关负相关，当 1时(a 0)，而当 0时,称X与不相关。以下五个命题是等价的：XY 0;ov（,)=0
28、;E(XY)E(X)(Y）；D(XY)=D(X）(Y);(XY）=D(X）+(Y).-协方差矩阵混合矩XXYXXYYY(6）协)方差 i)的性 ii)质 v)(7)独立和）不相关第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理(）大数定律 切比设随机变量 X1，X，相互独立,均具有有限方差,X 雪夫且被同一常数 C所界：(Xi)（i=,)，大数则对于任意的正数,有 1n定律1nlimPX E(X)ii1.nni1对于随机变量与 Y，如果有E(XkYl)存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩,记为kl；+l阶混合中心矩记为:ukl E(X E(X)k(Y E(Y)l.cov（X,Y)
29、cv（Y，X);v（X,Y)a ov(X,Y)；v(X1X,Y)=cov（X，)+cov（X2,Y）；cv(，Y)=（X)(X)E（Y).若随机变量 X与相互独立,则XY 0;反之不真。2,),若(X，)N（1,2,12,2则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。ni1特殊情形：若1，2,具有相同的数学期望E(XI)=，则上式成为 1nlimPX i1.nni1伯努利大数定律设是n次独立试验中事件 A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数,有lim P p 1.nn伯努利大数定律说明,当试验次数 n很大时,事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即lim P
30、p 0.nn辛钦大数定律这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设，X2,Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有 1nlimPX i1.nni1-（2)中心极限 列维定理林2德伯X N(,)n格定理设随机变量 X1，X2,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)2 0(k 1,2,)，则随机变量YnXk1nk nn的分布函数F(x)对任意的实数x，有nX nk1k1lim Fn(x)lim P xnnn2xet22dt.此定理也称为 独立同分布独立同分布 的中心极限定理。棣莫设随机变量Xn为具有参数 n,p(0p)的二项分弗-
31、拉 布，则对于任意实数 x,有t普拉1x2Xn np lim P xedt.n斯定2np(1 p)理2（3）二项定理若当N 时,M p(n,k不变),则NknkCMCNkknkM C p(1 p)nnCN(N ).超几何分布的极限分布为二项分布。（4)泊松定理若当n 时,np 0，则C p(1 p)knknkkk!e(n ).其中k0，1,2,，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布（1)数理 总体在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)统计的基指标的全体称为总体（或母体)。我们总是把总体看本概念成一个具有分布的随机变量（或随机向量)。个体总体中的每
32、一个单元称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时,x1,x2,xn表示个随机变量（样本);在具体的x1,x2,xn表示n个具体的数值一次抽取之后，（样本值)。我们称之为样本的两重性。-样本函数设x1,x2,xn为总体的一个样本,称和统计量（x1,x2,xn)为样本函数,其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数,则称(x1,x2,xn)为一个统计量。1n常见统计样本均值 x xi.ni
33、1量及其性1n质2(xi x)2.样本方差 Sn 1i11n2(x x).样本标准差 S in 1i1样本阶原点矩 1nkMkxi,k 1,2,.ni1样本k阶中心矩1n(xi x)k,k 2,3,.Mkni1E(X),D(X)2n，n 12,n2E(S2)2,E(S*)1n2其中S*(Xi X)，为二阶中心矩。ni1()正态 正态分布设x1,x2,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，2总体下的四大分布t分布则样本函数udefx/n N(0,1).设x1,x2,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,则样本函数tdefx s/n t(n1),2分布其中t(n-1)表示自由度为-的t分布。设
34、x1,x2,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数其中2(n 1)表示自由度为 n1的2分布。wdef(n 1)S222(n 1),-分布设x1,x2,xn为来自正态总体N(,12)的一个样2)的一个本，而y1,y2,yn为来自正态总体N(,2样本，则样本函数FdefS12/1222S2/2 F(n11,n21),其中1n11n222S(xi x),S2(yi y)2;n11i1n21i1F(n11,n21)表示第一自由度为n11,第二自由度为n21的F分布。21(3)正态X与S2独立。总体下分布的性质第七章第七章参数估计参数估计（1)点 矩估计 设总体的分布中包含有未知数1,2,
35、m，则其分布函估计数可以表成F(x;1,2,m).它的阶原点矩vk E(Xk)(k 1,2,m)中也包含了未知参数1,2,m，即vk vk(1,2,m)。又设x1,x2,xn为总体X的n个样本值,其样本的阶原点矩为1nk(k 1,2,m).xini1这样,我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有1nv1(1,2,m)nxi,i11n2v2(1,2,m)xi,ni1nv(,)1xim.m12mni1由上面的个方程中,解出的m个未知参数(1,2,m)即为参数(1,2,m)的矩估计量。若为的矩估计,g(x)为连续函数，则g()为g()的矩估计。-极大似当总体为连续
36、型随机变量时，设其分布密度为然估计f(x;1,m)，其中1,m为未知参数。又设x1,x,xn为总体的一个样本，称222L(1,2,m)f(xi;1,2,m)i1n为样本的似然函数,简记为 当总体为离型随机变量时,设其分布律为PX x p(x;1,m),则称2L(x1,x2,xn;1,2,m)p(xi;1,2,m)i1n为样本的似然函数。L(x,x,x;,)若似然函数1n1m在1,m处222取到最大值,则称1,m分别为1,m的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。22ln Lniii 0,i 1,2,m若为的极大似然估计,g(x)为单调函数,则g()为g()的极大似然估计。（）无偏性设
37、(x1,x2,xn)为未知参数的估计量。若 E()=，估计量则称为的无偏估计量。的评选2E（X)（X），（S）=D(）标准有效性设和22(x1,x,2,xn)是未知参数11(x1,x,2,xn)的两个无偏估计量。若D(1)D(2),则称1比2有效。一致性设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数,都有nlimP(|n|)0,则称n为的一致估计量（或相合估计量)。)0(n),则为的一致若为的无偏估计,且D(估计。只要总体的 E()和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。(）区 置信区 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本间估计 间和置x1,x,2,xn出发，
38、找出两个统计量11(x1,x,2,xn)与信度22(x1,x,2,xn)(12)，使得区间1,2以1(0 1)的概率包含这个待估参数，即P121,那么称区间1,2为的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。-单正态 设x1,x,2,xn为总体X N(,2)的一个样本,在置信度总体的 为1下，我们来确定和2的置信区间1,2。具体步期望和方差的区间估计骤如下：（i)选择样本函数；(i)由置信度1,查表找分位数;(ii）导出置信区间1,2。已知方差,估计均值(i)选择样本函数u x 0/n N(0,1).(ii)查表找分位数x P 1.0/n(ii)导出置信区间00 x,x nn未知方差，估计均
39、值t（i)选择样本函数x S/n t(n 1).(i）查表找分位数x 1.P S/n(iii)导出置信区间SS x,x nn方差的区间估计w（）选择样本函数(n 1)S222(n 1).（)查表找分位数(n 1)S2P1221.(ii）导出的置信区间n 1n 1S,S21第八章第八章 假设检验假设检验-基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的,我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0
40、，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设,用1表示。这里所说的小概率事件就是事件K R，其概率就是检验水平,通常我们取=.05，有时也取 0.0或010。基本步假设检验的基本步骤如下：骤)提出零假设；i)选择统计量K；ii)对于检验水平查表找分位数;v)由样本值x1,x2,xn计算统计量之值K;将K 与进行比较，作出判断：当|K|(或K)时否定H,否则两类错误认为H0相容。第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H成立判为0为不成立(即否定了真实的假设）,称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误,记为犯此类错误的概率，
41、即P否定H0|H0为真=;此处的恰好为检验水平。第二类错误当H为真时,而样本值却落入了相容域,按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设),称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误,记为犯此类错误的概率，即P接受H0H1为真=。两类错误的关人们当然希望犯两类错误的概率同时都很系小。但是，当容量一定时,变小,则变大;相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时,则应把取得很小，如.01，甚至0.0。反之，则应把取得大些。-单正态总体均值和方差的假设检验条件零假设H0:0统计量x 0对应样本函数分布否定域|u|u12已知2H0:0H0:0H0:0U 0/n(，）u u1u u1|t|tT x 0S/n12(n 1)未知2H0:0H0:0t(n 1)t t1(n 1)t t1(n 1)2w(n 1)或2H0:22未知2w 2H0:202H0:20(n 1)S2w 2(n 1)20(n 1)212w 12(n1)2w(n1)-