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1、力学基础,第三章 刚体力学基础,CONTENTS,目录,第3章 刚体力学基础,刚体 刚体定轴转动的描述,3.1,返回,3.1.1 刚体的引入,刚体（rigid body）, 就是在任何外力作用下,其形状和大小完全不变的物体。,在研究刚体的运动规律时,可以将刚体看成是由许多质点组成的。每一个质点叫作刚体的一个质元。,在外力作用下,刚体内各质元之间的相对位置总是保持不变。,3.1.2 刚体的基本运动,在运动过程中,若刚体内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行,这样的运动称为刚体的平动。,特点：各质元位移、速度、加速度均相同。 刚体质心的运动代表了刚体平动时各个质元的运动。
2、,3.1.2 刚体的基本运动,各个质元都绕同一直线作圆周运动,这样的运动称作刚体的转动（ rotation ） 。,这条直线称为转轴（这根轴可在刚体之内,也可在刚体之外）。,3.1.2 刚体的基本运动,在刚体转动过程中,若转轴的方向或位置随时间变化,这样的运动称为刚体的非定轴转动。,若转轴固定不动,即既不改变方向又不发生平移,这样的转动称为刚体的定轴转动。,该转轴称为固定轴。,该转轴称为转动瞬轴。,非定轴转动,定轴转动,3.1.2 刚体的基本运动,平动与转动的合成运动。,3.1.2 刚体的基本运动,刚体的运动,平动,转动,升降机,活塞,非定轴转动,定轴转动,掷出的铁饼,时钟,风车,3.1.3
3、刚体定轴转动的描述,在刚体上任取一个转动平面,以该转动平面与转轴的交点为原点,在该平面内作一射线作为参考方向（或称极轴）。,转动平面上任一质元对原点的位矢 与极轴的夹角称为角位置 。,刚体在一段时间内转过的角度（末时刻与初始时刻的角位置之差） 称为角位移。,转动平面,3.1.3 刚体定轴转动的描述,角速度的单位：弧度每秒（rad/s ）。,在时刻 到 时间内的角位移 与 之比称为刚体的平均角速度,用 表示：,当 时,平均角速度的极限称为瞬时角速度,简称角速度,用 表示：,3.1.3 刚体定轴转动的描述,角加速度的单位：弧度每二次方秒（rad/s2）。,当 时,平均角加速度的极限称为瞬时角加速度
4、,简称 角加速度,用 表示：,在 时间内,角速度的改变量 与 之比称为该段时间内刚体的平均角加速度,用 表示：,3.1.3 刚体定轴转动的描述,刚体的定轴转动与质点的直线运动相似,只要在描写质点直线运动各物理量（位移速度加速度）前加一个“角”字,就成了描述刚体定轴转动的各相应物理量（角位移角速度角加速度）,两者的运动学关系亦完全相似：,3.1.3 刚体定轴转动的描述,刚体定轴转动的角速度和角加速度确定后，刚体内任一质元的速度和加速度也就可以完全确定。若刚体上某质元 到转轴的距离为 。则该质元的线速度为,切向加速度和法向加速度分别为,3.1.3 刚体定轴转动的描述,标量关系,矢量关系,角量,刚体
5、定轴转动的特征：所有质元角量相同；线量各不相同，并正比于距轴的距离 。,力矩 刚体定轴转动的转动定律,3.2,返回,3.2.1 力矩,力 对某固定点 的力矩的大小等于此力和力臂的乘积,即,即 的方向垂直于 和 所决定的平面,其指向用右手螺旋法则确定。,力对点的力矩,式中 为 的大小, 为由 点指向力 的作用点的矢径, 为 与 的夹角。,3.2.1 力矩,它们也分别称为对 轴的力矩。,在直角坐标系中各坐标轴的分量为,3.2.1 力矩,力对固定点的力矩为零,如果一个物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点,这种力称为有心力,此固定点叫作力心。,有心力对力心的力矩恒为零。,注意：作用力和反作用力对同
6、一点的力矩之和为零：,（1）,（2） 力 的作用线与矢径 共线（力 的作用线穿过 点）,此时 。,3.2.1 力矩,把质点 对 点的力矩向过 点的轴（如 轴）投影：,3.2.1 力矩,（1）力的作用线与轴平行,力对轴的力矩为零,（2）力的作用线与轴相交,3.2.2 刚体定轴转动的转动定律,在刚体上任取一质元 ,半径为 ,设它们与矢径 的夹角分别为 和,刚体绕定轴 转动。,它绕 轴作圆周运动的,刚体内其他质元对 作用的合内力在转动平面内的分量为,设它所受的合外力在转动平面内的分量为,设刚体绕轴转动的角速度和角加速度分别为 和 。,3.2.2 刚体定轴转动的转动定律,质元 的法向方程,质元 的切向
7、方程,将切向方程的两边各乘以 ,可得,3.2.2 刚体定轴转动的转动定律,用上式对刚体所有质元求和,并考虑到各质元角加速度相同,有,令 ,则 表示作用在刚体上的所有外力力矩的和,称之为合外力矩。,令,则 与刚体的运动及所受的外力无关,仅由各质元相对于转轴的分布所决定,称 为刚体绕轴转动的转动惯量。,3.2.2 刚体定轴转动的转动定律,于是式 可表示为,刚体定轴转动的转动定律：刚体绕固定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。或者说，绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。,（2） 此转动定律只适用于惯性系。,（1） 和
8、 均对于同一转轴而言；,注意：,转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度。,3.2.3 转动惯量,一定时,思考：如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢？,3.2.3 转动惯量,刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与其到转轴的距离的平方的乘积之和。,单个质点,质点系,质量连续分布的刚体,3.2.3 转动惯量,转动惯量的单位：千克米2 （kgm2）,平行轴定理计算：,（质量均匀的细棒转轴由中心移动到边缘）,例 题,求质量为 ,长为 的均匀细棒的转动惯量：,（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；,（2）转轴通过棒一端并与棒垂直。,解 （1）转轴通过棒的中心并与棒
9、垂直。,（2）转轴通过棒一端并与棒垂直时,整个棒对该轴的转动惯量为,由此看出,同一均匀细棒,转轴位置不同，转动惯量不同。,整个棒对中心轴的转动惯量为,在棒上任取一质元,其长度为 ，距轴 的距离为 ，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为 ，则该质元的质量 。该质元对中心轴的转动惯量为,例 题,则该质元对转轴的转动惯量为,设质量为 ,半径为 的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动,求圆环和薄圆盘的转动惯量。,考虑到所有质元到转轴的距离均为 ,所以细圆环对中心轴的转动惯量为,解 （1）求质量为 ,半径为 的圆环对中心轴的转动惯量。,如图所示,在环上任取一质元,其质量为 ,该质元到
10、转轴的距离为 ,例 题,（ 2）求质量为 ,半径为 的圆盘对中心轴的转动惯量。 整个圆盘可以看成许多半径不同的同心圆环构成。,在离转轴的距离为 处取一小圆环,如图所示,其面积为 。,设圆盘的质量面密度（单位面积上的质量） ,则小圆环的质量 ,该小圆环对中心轴的转动惯量为,例 题,则整个圆盘对中心轴的转动惯量为,以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量也不同。,例 题,3.2.3 转动惯量,刚体的转动惯量,转轴,转轴,转轴,转轴,圆环 转轴通过中心 与环面垂直,薄圆盘 转轴通过中心 与盘面垂直,圆环 转轴沿直径,圆桶 转轴沿几何轴,转轴,转轴,3.2.3 转动惯量,
11、刚体的转动惯量,圆柱体 转轴沿几何轴,细棒 转轴通过中心 与棒垂直,圆柱体 转轴通过中心 与几何轴垂直,细棒 转轴通过端 点与棒垂直,3.2.3 转动惯量,刚体的转动惯量,球体 转轴沿直径,球壳 转轴沿直径,3.2.4 转动定律的应用,解题思路 （1）选物体 （2）看运动 （3）查受力（注意：画隔离体受力图） （4）列方程（注意：建立坐标）,例 题,解 物体A、B及定滑轮受力图如图所示。,对于作平动的物体A、B ,分别由牛顿定律得,对定滑轮由转动定律得,又 ,例 题,联立式,得,又,由于绳不可伸长,所以 ,例 题,因绳不伸长,有,因绳轻,有,解 分别对 分析运动、受力,已知两物体 ，滑轮 ，可
12、看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为 ,（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。求物体的加速度及绳中张力。,例 题,因绳不伸长,有,因绳轻,有,解 分别对 分析运动、受力,已知两物体 ，滑轮 ，可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为 , （设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。求物体的加速度及绳中张力。,例 题,以加速度方向为正,可列出,由转动方程：,再从运动学关系上有：,（3）,（4）,对 有： （1）,对 滑轮：以“ 方向” 为正,对 有： （2）,例 题,联立四式解得：,当不计滑轮质量和摩擦力矩时：,例 题,即,将 代入求得这时飞轮的角加速度为,解 （1）由题 ,故由转动定律有,转动着的
13、飞轮的转动惯量为 ,在 时角速度为 。此后飞轮经历制动过程,阻力矩 的大小与角速度 的平方成正比,比例系数为 （ 为大于零的常数）,当 时,飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？,例 题,分离变量,并考虑到 时， ，两边积分,（2）为求经历的时间 ,将转动定律写成微分方程的形式，即,例 题,刚体定轴转动的动能定理,3.3,返回,3.3.1 转动动能,刚体绕定轴转动时的动能,称为转动动能。设刚体以角速度 绕定轴转动,其中每一质元都在各自转动平面内以角速度 作圆周运动。设第 个质元质量为 ,离轴的距离为 ,它的线速度为 ,则 质元 的动能, ，整个刚体的转动动能为,3.3.2 力
14、矩的功,由功的定义式有,式中 ,然后对 求和,得,设在转动平面内的外力 作用于 点,经 时间后 点沿一圆周轨道移动 弧长,半径 扫过 角,并有,3.3.2 力矩的功,力矩的功率为,当功率一定时,力矩与角速度成反比。,当刚体在力矩 作用下由 转到 时，力矩的功为,注意：与功率的比较（ ）。,力矩所做的元功力矩角位移,3.3.3 刚体定轴转动的动能定理,如果将转动定律写成如下形式,于是可得,刚体定轴转动时的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,分离变量并积分,又考虑到 时, ，所以,一根质量为 ,长为 的均匀细棒 ,可绕固定点 在竖直平面内转动。,今使棒从水平位置开始自
15、由下摆，,求棒摆到与水平位置成30角时,中心点 和端点 的速度。,重力矩的功：,解 棒受力如图所示，,其中重力 对 轴的力矩大小等于 是 的函数,轴的支持力对 轴的力矩为零。由转动动能定理,有,初态,末态,例 题,重力矩所做的功,也等于棒的质心 的重力势能增量的负值。,对于刚体组,同样可引入机械能和机械能守恒定律，其守恒条件与质点系的条件相同。,可以证明：刚体的重力势能等于将刚体的全部质量都集中在质心处时所具有的重力势能,而与刚体的方位无关。即刚体的重力势能可表示为 表示质心相对重力势能零点的高度。,将 及 代入式，得,则中心点 和端点 的速度大小分别为,例 题,例 题,解 以两物体两滑轮地球
16、成为一系统, 故机械能守恒。,以 下降 时的位置为重力势能零点,则有,由于 ,可解得,由于运动过程中物体所受合力为恒力, 为常数, ,故有,例 题,即,解 杆在倒下过程中机械能守恒,杆着地时刻，根据转动定律,一均匀细杆长 ,质量 ，垂直放置， 点着地。杆绕过 的光滑水平轴自由倒下，求杆的另一端点 着地时的角速度 、线速度 、法向加速度 及切向加速度 。,例 题,3.4,刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,返回,3.4.1 角动量质点的角动量定理及角动量守恒定律,角动量是矢量。由矢积的定义可知,角动量 的方向垂直于 和 所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。 的大小为,3.4.1 角动
17、量质点的角动量定理及角动量守恒定律,角动量的单位：千克二次方米每秒（kgm2/s） 。,由角动量的定义式可知，质点的角动量与质点对固定点 的矢径有关。同一质点对不同的固定点的位矢不同,因而角动量也不同。因此,在描述质点的角动量时，必须指明是对哪一给定点而言的。,容易推出,在直角坐标系中，角动量 的各坐标轴的分量为,3.4.1 角动量质点的角动量定理及角动量守恒定律,如果将质点对 点的 对时间 求导，可得,质点角动量定理的微分形式：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。,质点角动量定理的积分形式：,冲量矩,根据矢积性质， 为零，而 ，于是有,3.4.1 角动量质点的角动量定理及角动量守
18、恒定律,质点的角动量守恒定律：若质点所受外力对某固定点的力矩为零,则质点对该固定点的角动量守恒。,角动量 常矢量,角动量守恒视频,解 击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统速度为 ，沿 方向动量守恒，即有,例 题,在由 的过程中，子弹木块系统机械能守恒，即,在由 的过程中木块在水平面内只受指向 点的弹性有心力，故木块对 点的角动量守恒，设 与 方向成 角，则有,由式联立求得 的大小为,由式求得 与 的夹角为,例 题,一质点 以恒速 沿 轴运动，求其对原点 和 轴上距 点为 的 点的角动量。,解: （1）对 点：由图知， 和 在同一直线上，夹角为零。,（2）对于 点：,由 知， 沿 轴正方向
19、。,例 题,则,其方向垂直于轨道平面沿 方向向上，因为 ，故,一质点 被一长为 的轻线悬于天花板上的 点，质点 在水平面内作匀角速度为 的圆周运动，设圆轨道半径为 。试计算：（1）质点 对圆心 和悬点 的角动量 和 ；（2）作用在质点 上的重力 和张力 对圆心 和悬点 的力矩 和 ；（3）讨论 对 点或 点的角动量是否守恒。,解 （1）在图中由圆心 点向质量 引矢量,例 题,即圆锥摆对圆心 点的角动量 是一个沿 向上的大小和方向都不变的恒矢量。,则,即 的方向垂直于 与 所组成的平面。显然质点 在不同的位置处，例如，在 点处，其矢径 和动量 各不相同，因此，其矢积 也不相同，即 的方向是不断地
20、变化着的。这时 的大小为,在图中，由悬点 向在某位置 处的质点 引矢径 ，,例 题,其方向垂直于纸面向外，大小为,（2）如图所示，质点 所在位置对于圆心 ，张力 的力矩为,因在竖直方向有 ，所以,此时重力对圆心 的力矩为,方向垂直于纸面向里。因 始终垂直于轨道平面，所以 ，故 的大小为,例 题,作用在质点 上的张力 ，重力 对圆心 的合力矩为,同样，对于悬点 ，张力 因与 始终共线，故 对 点的力矩为零。而重力 对 点的力矩为,其方向始终垂直于 与重力作用线 所组成的平面。由于 的方向在不断地变化，所以 的方向也在不断地变化， 的方向垂直于纸面向里。,例 题,（3） 由（2）中的讨论可知，重力
21、 和张力 对 点的合力矩为零（实际上 与 的合力构成了 作圆周运动的向心力，为有心力，其对 点的合力矩必定为零），所以质点 对 点的角动量守恒，这与（1）中讨论一致。,同样，由（2）中的讨论可知，因 对 点的力矩方向始终变化，即对 点的力矩不为零，故 对 点的角动量不守恒。这与前面结果也是一致的。,例 题,计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角动量。,解 以原子核为参考点,已知：,求 。,例 题,3.4.2 刚体对轴的角动量刚体定轴转动的角动量定理,刚体对轴的角动量：刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。方向沿该转动轴,并与转动的角速度方向相同。,刚体对转轴的角动量就是
22、刚体上各质元的角动量之和。设质元 的质量为 ,其到轴的距离为 ,转动的角速度为 ,则该质元对其圆周运动的圆心的角动量大小为,3.4.2 刚体对轴的角动量刚体定轴转动的角动量定理,当刚体作定轴转动时，其转动惯量保持不变。根据转动定律,有,刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动量对时间的变化率。,即,设 时 把上式分离变量并积分,可得,3.4.3 刚体对轴的角动量守恒定律,刚体定轴转动的角动量守恒定律：若外力对某轴的力矩之和为零，则该刚体对同一轴的角动量守恒。,对轴的角动量守恒定律：若外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,若物体所受合外力矩为零，
23、即 ，则有,3.4.3 刚体对轴的角动量守恒定律,（1）对于定轴转动的刚体,用以控制航模飞行姿态的陀螺仪,回转仪原理图,3.4.3 刚体对轴的角动量守恒定律,角动量守恒定律的演示实验,（2）对于非定轴转动的刚体,质量很小长度为 的均匀细棒，可绕中心 点且与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细棒静止于水平位置时，有一只昆虫以速率 垂直落在距点 为 处，并背离 点向细棒的 端方向爬行。如图所示。设小虫细棒的质量均为 。试求小虫以多大的速率向细棒的 端爬行才能确保细棒以恒定的角速度转动？,例 题,小虫以 垂直落在细棒上，角动量守恒。即有,解选择细棒中心为坐标原点,任意时刻 小虫所在细棒位置 点对坐标原
24、点的位矢为 ，小虫爬行的速率为 。,而由小虫细棒构成的系统所受合外力矩应为,例 题,解得 ，即 一定， 为恒定。,依角动量定理,故,再利用 ，可得,转动惯量 为,例 题,解 以小球、细棒为一系统，其对水平轴的角动量和机械能守恒。,解得：,一根质量为 长为 的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为 的小球，以速度 垂直落到棒的端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度 及棒的角速度 ？,例 题,如图所示，质量为 ，长为 的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴 转动。,求证：,棒下摆到竖直位置 时，,将棒拉到水平位置 后放手，,与静止放置在水平面
25、处的质量为 的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离 后停止。设物体与水平面间的摩擦系数 处处相同。,例 题,解,（1）棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰。此过程机械能守恒。以棒地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有,（2）棒与物块作完全弹性碰撞。此过程角动量守恒（并非动量守恒）和机械能守恒。设碰撞后棒的角速度为 ，物块速度为 ，则有,例 题,（3）碰撞后物块在水平面滑行其满足动能定理：,联立式，即可证：,例 题,解 相碰过程，以摆球、细棒、地球为一系统，摆从水平到竖直，机械能守恒，即,（1）,（2）,以摆球、细棒为一系统，对过 的水平轴角动量守恒，即,例 题,长为 的均匀细棒一端悬于 点，另一端自由下垂，紧靠 点有一摆线长也为 的单摆，摆球质量为 ，现将单摆拉到水平位置后由静止释放，设摆球在其平衡位置与细棒作完全弹性碰撞后恰好为静止，试求， 细棒的质量 ，细棒碰后摆动的最大角 。,细棒摆动过程机械能守恒，即,联立（1）和（2）式，可得：,例 题,续 表,