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1、阶逻辑基本概念阶逻辑基本概念第1页，此课件共69页哦本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑公式、解释及分类一阶逻辑公式、解释及分类q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备是第五章的先行准备 第2页，此课件共69页哦本章内容本章内容q4.1 4.1 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化q4.2 4.2 一阶逻辑公式及解释一阶逻辑公式及解释q 本章小结本章小结q 习题习题q 作业作业第3页，此课件共69页哦引言引言(著名的苏格拉底三段论著名的苏格拉底三段论)设自然语言
2、中的三个命题：设自然语言中的三个命题：1.1.所有的人都是要死的；所有的人都是要死的；2.2.苏格拉底是人。苏格拉底是人。3.3.所以，苏格拉底是要死的。所以，苏格拉底是要死的。P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的；Q Q：苏格拉底是人。：苏格拉底是人。R R：苏格拉底是要死的。：苏格拉底是要死的。则有：则有：P PQ Q R R但在上述式子中，但在上述式子中，R R不是不是P P，Q Q的逻辑结果。的逻辑结果。解：假设解：假设第4页，此课件共69页哦q这个简单而有名的苏格拉底三段论，却无法用命题这个简单而有名的苏格拉底三段论，却无法用命题逻辑予以证明。逻辑予以证明。q命题逻辑的局
3、限性命题逻辑的局限性在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简 单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在 联系和数量关系。联系和数量关系。q一阶逻辑所研究的内容一阶逻辑所研究的内容为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分析出个体词、谓词和量词，以期达到分析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与表达出个体与 总体的内在联系和数量关系总体的内在联系和数量关系。第5页，此课件共69页哦例：例：如有句子：如有句子：张红张红是一个福建工程学院的学生是一个福建
4、工程学院的学生；王南王南是一个福建工程学院的学生是一个福建工程学院的学生；李华李华是一个福建工程学院的学生是一个福建工程学院的学生。则在命题中必须要用三个命题则在命题中必须要用三个命题p p，q q，r r来表示。来表示。但是，它们都具有一个共同的特征：但是，它们都具有一个共同的特征：“是一个福建工程学院的学生是一个福建工程学院的学生”P：谓词x：个体词P(x)：命题函数则上述句子可写为：则上述句子可写为：P(P(张红张红)；P(P(王南王南)；P(P(李华李华)。一般地，。一般地，P(x)P(x)：x x是一个大学生。是一个大学生。第6页，此课件共69页哦4.1一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题
5、符号化q一阶逻辑命题符号化的三个基本要素一阶逻辑命题符号化的三个基本要素个体词个体词谓词谓词量词量词q第7页，此课件共69页哦个体词及相关概念q个体词一般是充当主语的名词或代词。个体词一般是充当主语的名词或代词。说明说明q个个体体词词：指指所所研研究究对对象象中中可可以以独独立立存存在在的的具具体体或或抽抽象象的客体。的客体。q举例举例命题：电子计算机是科学技术的工具。命题：电子计算机是科学技术的工具。个体词：电子计算机。个体词：电子计算机。命题：他是三好学生。命题：他是三好学生。个体词：他。个体词：他。第8页，此课件共69页哦q个个体体常常项项：表表示示具具体体或或特特定定的的客客体体的的个
6、个体体词词，用用小小写写字字母母a a,b b,c c，表示。表示。q个个体体变变项项：表表示示抽抽象象或或泛泛指指的的客客体体的的个个体体词词，用用x x,y y,z z,表表示。示。q个体域（或称论域）个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。：指个体变项的取值范围。可以是有穷集合，如可以是有穷集合，如 a a,b b,c c,1,2,1,2。可以是无穷集合，如可以是无穷集合，如N N,Z Z,R R,。q全总个体域（全总个体域（universeuniverse）宇宙间一切事物组成宇宙间一切事物组成 。个体词及相关概念个体词及相关概念q本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用的本教材在论述
7、或推理中，如果没有指明所采用的个体域，都是使用的全总个体域。个体域，都是使用的全总个体域。说明说明第9页，此课件共69页哦谓词及相关概念谓词及相关概念q谓词（谓词（predicatepredicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。互关系的词。(1)(1)是无理数。是无理数。是个体常项，是个体常项，“是无理数是无理数”是谓词，记为是谓词，记为F F，命题符号化，命题符号化为为F(F()。(2)(2)x x是有理数。是有理数。x x是个体变项，是个体变项，“是有理数是有理数”是谓词，记为是谓词，记为G G，命题符号化，命题符号化为为G(G(x x
8、)。(3)(3)小王与小李同岁。小王与小李同岁。小王、小李都是个体常项，小王、小李都是个体常项，“与与同岁同岁”是谓词，记为是谓词，记为H H，命题符号化为，命题符号化为H(H(a,ba,b)，其中，其中a a：小王，：小王，b b：小李。：小李。(4)(4)x x与与y y具有关系具有关系L L。x x，y y都是个体变项，谓词为都是个体变项，谓词为L L，命题符号化为，命题符号化为L(x,y)L(x,y)。第10页，此课件共69页哦q谓词常项谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。如如(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)中谓词中谓
9、词F F、G G、H H。q谓词变项谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写字母表示。如字母表示。如(4)(4)中谓词中谓词L L。qn n(n n 1)1)元谓词元谓词：P(xP(x1 1,x,x2 2,x,xn n)表示含表示含n n个命题变项的个命题变项的n n元谓元谓词。词。n=1n=1时，一元谓词时，一元谓词表示表示x x1 1具有性质具有性质P P。n2n2时，多元谓词时，多元谓词表示表示x x1 1,x,x2 2,x,xn n具有关系具有关系P P。q0 0元谓词元谓词：不含个体变项的谓词。如：不含个体变项的谓词。如F(a)
10、F(a)、G(a,b)G(a,b)、P(aP(a1 1,a,a2 2,a,an n)。命题是特殊谓词。命题是特殊谓词。qn n元谓词是命题吗？元谓词是命题吗？不是，只有用谓词常项取代不是，只有用谓词常项取代P P，用个体常项取代，用个体常项取代x x1 1,x,x2 2,x,xn n时，才能使时，才能使n n元谓词变为命题。元谓词变为命题。思考思考谓词及相关概念谓词及相关概念第11页，此课件共69页哦例题例题例例4.14.1 将下列命题在一阶逻辑中用将下列命题在一阶逻辑中用0 0元谓词符号化，并讨论真值。元谓词符号化，并讨论真值。(1)(1)只有只有2 2是素数，是素数，4 4才是素数。才是素
11、数。(2)(2)如果如果5 5大于大于4 4，则，则4 4大于大于6.6.解：解：(1)(1)设一元谓词设一元谓词F(x):xF(x):x是素数，是素数，a:2a:2，b:4b:4。命题符号化为命题符号化为0 0元谓词的蕴涵式元谓词的蕴涵式 F(b)F(a)F(b)F(a)由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。(2)(2)设二元谓词设二元谓词G(x,y):xG(x,y):x大于大于y y，a:4a:4，b:5b:5，c:6c:6。命题符号化为命题符号化为0 0元谓词的蕴涵式元谓词的蕴涵式 G(b,a)G(a,c)G(b,a)G(a,c)由于由于G(b,a)G(b,
12、a)为真，而为真，而G(a,c)G(a,c)为假，所以命题为假。为假，所以命题为假。第12页，此课件共69页哦例题例题将命题将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化符号化.(1)(1)设设 F(x,y)F(x,y)：x x摆满了摆满了y y，R(x)R(x)：x x是大红书柜是大红书柜Q(y)Q(y)：y y是古书，是古书，a a：这只，：这只，b b：那些：那些 符号化为：符号化为：R(a)Q(b)F(a,b)R(a)Q(b)F(a,b)(2)(2)设设 A(x)A(x)：x x是书柜，是书柜，B(x)B(x)：x x是大的是大的 C(x)C(x)：x x是红
13、的，是红的，D(y)D(y)：y y是古老的是古老的E(y)E(y)：y y是图书，是图书，F(x,y)F(x,y)：x x摆满了摆满了y ya a：这只：这只b b：那些：那些 符号化为：符号化为：A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b)A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b)第13页，此课件共69页哦量词及相关概念量词及相关概念在上述三段论的例子中，如要对句子在上述三段论的例子中，如要对句子 P P：所有的人都是要死的。：所有的人都是要死的。如果表示成：如果表示成：H(x)H(x)D(x)D(x)，求否定说明求否定说明其原因在于：命题其原因在于：命题P P的确切含义
14、是：的确切含义是：“对任意的对任意的x x，如果，如果x x是人，则是人，则x x是要死的是要死的”。但但H(x)D(x)H(x)D(x)并没有确切地表示出并没有确切地表示出“对任意对任意x x”这这个意思，亦即个意思，亦即H(x)D(x)H(x)D(x)不是一个命题。不是一个命题。第14页，此课件共69页哦例例符号化下述命题：符号化下述命题：1)1)所有的老虎所有的老虎都要吃人；都要吃人；2)2)每一个人每一个人都会犯错误；都会犯错误；3)3)有一些人有一些人会摔跤；会摔跤；4)4)有一些人有一些人是大学生；是大学生；5)5)每一个带伞的人每一个带伞的人都不怕雨；都不怕雨；6)6)有一些自然
15、数有一些自然数是素数。是素数。解解：设立如下谓词：设立如下谓词：R R（x x）：）：x x会吃人；会吃人；P P（x x）：）：x x会犯错误；会犯错误；N N（x x）：）：x x会摔跤；会摔跤；Q Q（x x）：）：x x是大学生；是大学生；C C（x x）：）：x x不怕雨；不怕雨；S S（x x）：）：x x是素数。是素数。第15页，此课件共69页哦量量词词（quantifiersquantifiers）是是表表示示个个体体常常项项或或个个体体变变项项之之间间数数量量关关系系的的词。词。1 1.全称量词全称量词：符号化为：符号化为“”q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“一
16、一切切的的”、“所所有有的的”、“每每一一个个”、“任意的任意的”、“凡凡”、“都都”等词可统称为全称量词。等词可统称为全称量词。qx x表表示示个个体体域域里里的的所所有有个个体体，xF(x)xF(x)表表示示个个体体域域里里所所有有个个体体都都有有性性质质F F。2 2.存在量词存在量词：符号化为：符号化为“”q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“存存在在”、“有有一一个个”、“有有的的”、“至至少少有一个有一个”等词统称为存在量词。等词统称为存在量词。qy y表表示示个个体体域域里里有有的的个个体体，yG(y)yG(y)表表示示个个体体域域里里存存在在个个体体具具有有性性质质G
17、 G等。等。量词及相关概念量词及相关概念第16页，此课件共69页哦例例 (续续)1)1)(x)x)R(x)R(x)(x(x 老虎老虎)2)2)(x)x)P(x)P(x)(x(x 人人)3)3)(x)x)N N(x)(x)(x(x 人人)4)4)(x)x)Q Q(x)(x)(x(x 人人)5)5)(x)x)C C(x)(x)(x(x 带伞的人带伞的人)6)6)(x)x)S S(x)(x)(x(x 自然数自然数)苏格拉底三段论中的苏格拉底三段论中的P P也可表示为：也可表示为：(x)x)(H(x)D(x)(H(x)D(x)。在例中，利用量词则有：在例中，利用量词则有：第17页，此课件共69页哦例例
18、 (续续)有时，由于个体域的注明不清楚，造成无法确定其真值。对于同一个公式，不同的个体域有可能带来不同的真值。在例中，利用量词则有：在例中，利用量词则有：第18页，此课件共69页哦全总个体域全总个体域1.1.对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵的前件加入。涵的前件加入。2.2.对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为合对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入。取式之合取项加入。基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用全总个基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用全总个体域，此时，对每一个句子中个体变量的
19、变化范围用一定之体域，此时，对每一个句子中个体变量的变化范围用一定之特特性谓词性谓词刻划之。而统一成刻划之。而统一成全总个体域全总个体域后，此全总个体域在谓词公后，此全总个体域在谓词公式中就不必特别说明，常常省略不记。同时，这种特性谓词在加入式中就不必特别说明，常常省略不记。同时，这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：到命题函数中时必定遵循如下原则：第19页，此课件共69页哦例例 (续续)解解：1)1)U(x)U(x)：x x是老虎；是老虎；(x)x)(U U(x)R(x)(x)R(x)2)2)H(x)H(x)：x x是人；是人；(x)x)(H(H(x)P(x)(x)P(x)3)3
20、)H(x)H(x)：x x是人；是人；(x)x)(H H(x)(x)N N(x)(x)4)4)H(x)H(x)：x x是人；是人；(x)x)(H(x)(H(x)Q Q(x)(x)5)5)M(x)M(x)：x x是带伞的人；是带伞的人；(x)x)(M M(x)L(x(x)L(x)6)6)T(x)T(x)：x x是自然数；是自然数；(x)(x)(T T(x)(x)S S(x)(x)对于前例中的例子运用特性谓词描述。对于前例中的例子运用特性谓词描述。苏格拉底三段论可完整翻译为：苏格拉底三段论可完整翻译为：(x)(H(x)D(x)第20页，此课件共69页哦例例4.24.2 在个体域分别限制为在个体域分
21、别限制为(a)a)和和(b)b)条件时，将下面两个命题符条件时，将下面两个命题符号化号化:(1)(1)凡人都呼吸。凡人都呼吸。(2)(2)有的人用左手写字。有的人用左手写字。其中其中:(:(a)a)个体域个体域D D1 1为人类集合；为人类集合；(b)b)个体域个体域D D2 2为全总个体域。为全总个体域。一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化第21页，此课件共69页哦解解:(:(a)a)个体域为人类集合。个体域为人类集合。令令F(x):xF(x):x呼吸。呼吸。G(x):xG(x):x用左手写字。用左手写字。(1)(1)在个体域中除了人外，再无别的东西，因而在个体域中除了人外，再无别的东西，因
22、而“凡人都呼吸凡人都呼吸”应符号化为应符号化为 xF(x)xF(x)(2)(2)在个体域中除了人外，再无别的东西，因而在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用左有的人用左手写字手写字”符号化为符号化为 xG(x)xG(x)第22页，此课件共69页哦(b)b)个体域为全总个体域。个体域为全总个体域。即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。令令F(x):xF(x):x呼吸。呼吸。G(x):xG(x):x用左手写字。用左手写字。M(x):xM(x):x是人。是人。(1)(1)“凡人都呼吸凡人都呼吸”应符号化为应符号化为 x(M(x)F(
23、x)x(M(x)F(x)(2)(2)“有的人用左手写字有的人用左手写字”符号化为符号化为 x(M(x)G(x)x(M(x)G(x)q在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此引在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此引进了谓词进了谓词M(x)M(x)，称为，称为特性谓词特性谓词。q同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。q思考：思考：在全总个体域中，能否将在全总个体域中，能否将(1)(1)符号化为符号化为 x(M(x)F(x)x(M(x)F(x)？能否将能否将(2)(2)符号化为符号化为 x(M(x)G(x)x(M(x)
24、G(x)？结结论论第23页，此课件共69页哦例题例题例例4.34.3 在个体域限制为在个体域限制为(a)a)和和(b)b)条件时，将下列命题符号化条件时，将下列命题符号化:(1)(1)对于任意的对于任意的x x，均有，均有x x2 2-3x+2=(x-1)(x-2)-3x+2=(x-1)(x-2)。(2)(2)存在存在x x，使得，使得x+5=3x+5=3。其中其中:(:(a)a)个体域个体域D D1 1=N(N=N(N为自然数集合为自然数集合)(b)b)个体域个体域D D2 2=R(R=R(R为实数集合为实数集合)(a)a)令令F(x):xF(x):x2 2-3x+2=(x-1)(x-2)-
25、3x+2=(x-1)(x-2)，G(x):x+5=3G(x):x+5=3。命题命题(1)(1)的符号化形式为的符号化形式为 xF(x)xF(x)（真命题）（真命题）命题命题(2)(2)的符号化形式为的符号化形式为 xG(x)xG(x)（假命题）（假命题）(b)b)在在D D2 2内，内，(1)(1)和和(2)(2)的符号化形式同的符号化形式同(a)a)，皆为真命题。，皆为真命题。q在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。相同。q同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。说明说
26、明第24页，此课件共69页哦例例4.44.4 将下列命题符号化，并讨论真值。将下列命题符号化，并讨论真值。（1 1）所有的人长着黑头发。）所有的人长着黑头发。（2 2）有的人登上过月球。）有的人登上过月球。（3 3）没有人登上过木星。）没有人登上过木星。（4 4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。）在美国留学的学生未必都是亚洲人。分析：谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑：分析：谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑：(1)(1)非空个体域的选取。若是为了确定命题的真值，一般约非空个体域的选取。若是为了确定命题的真值，一般约定在某个个体域上进行，否则，在由一切事物构成的全总定在某个个体域上进行，否则，在由
27、一切事物构成的全总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范围的特性谓词。围的特性谓词。(2)(2)量词的使用及作用范围。量词的使用及作用范围。(3)(3)正确地语义。正确地语义。例题例题第25页，此课件共69页哦例题例题解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。（1 1）所有的人长着黑头发。）所有的人长着黑头发。令令F(x):xF(x):x长着黑头发，长着黑头发，M(x):xM(x):x是人。命题符号化为是人。命题符号化为 x(M(x)F(x)x(M(x)F(x)。命题真值为假。命题真值为假。
28、（2 2）有的人登上过月球。）有的人登上过月球。令令G(x):xG(x):x登上过月球登上过月球，M(x):xM(x):x是人。命题符号化为是人。命题符号化为 x(M(x)G(x)x(M(x)G(x)。命题真值为真。命题真值为真。第26页，此课件共69页哦例题例题（3 3）没有人登上过木星。）没有人登上过木星。令令H(x):xH(x):x登上过木星登上过木星，M(x):xM(x):x是人。命题符号化为是人。命题符号化为 x(M(x)H(x)x(M(x)H(x)。命题真值为真。命题真值为真。（4 4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。在美国留学的学生未必都是亚洲人。令令F(x):xF(x):x是在
29、美国留学的学生，是在美国留学的学生，G(x):xG(x):x是亚洲人。符号化是亚洲人。符号化 x(F(x)G(x)x(F(x)G(x)命题真值为真。命题真值为真。第27页，此课件共69页哦例题例题 n n元谓词的符号化元谓词的符号化例例4.54.5 将下列命题符号化将下列命题符号化（1 1）兔子比乌龟跑得快。）兔子比乌龟跑得快。（2 2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。）有的兔子比所有的乌龟跑得快。（3 3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。（4 4）不存在跑得同样快的两只兔子。）不存在跑得同样快的两只兔子。解解：令：令 F(x):xF(x):x是兔子，是兔子，G(
30、y):yG(y):y是乌龟，是乌龟，H(x,y):xH(x,y):x比比y y跑得快，跑得快，L(x,y):xL(x,y):x与与y y跑得同样快。跑得同样快。（1 1）x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(y)H(x,y)H(x,y)（2 2）x(F(x)x(F(x)y y(G(y)(G(y)H(x,y)H(x,y)（3 3）x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(y)H(x,y)H(x,y)（4 4）x x y(F(x)y(F(x)F(y)L(x,y)F(y)L(x,y)第28页，此课件共69页哦一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项q分析命题中表示
31、性质和关系的谓词，分别符号为一元和分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号为一元和n n（n n 2 2）元谓词。）元谓词。q根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。q一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。例如，考虑个体域为实数集，例如，考虑个体域为实数集，H(xH(x，y)y)表示表示x+y=10 x+y=10，则则命命题题“对对于于任任意意的的x x，都都存存在在y y，使使得得x+y=10 x+y=10”的的符符号号化化形形式为式为 x x y yH(x,y)H(x,y)，为真命题。
32、，为真命题。如果改变两个量词的顺序，得如果改变两个量词的顺序，得 y y x xH(x,y)H(x,y)，为假命题。，为假命题。q有些命题的符号化形式可不止一种。（例有些命题的符号化形式可不止一种。（例4.54.5之之(3)(3)）x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(y)H(x,y)H(x,y)x x y(F(x)y(F(x)G(y)G(y)H(x,y)H(x,y)第29页，此课件共69页哦4.24.2一阶逻辑公式及解释一阶逻辑公式及解释q同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑中进行演算和推理，必须给出一同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑中进行演算和推理，必须给出一阶逻辑中公式的抽象定义，以及
33、它们的分类及解释。阶逻辑中公式的抽象定义，以及它们的分类及解释。q一阶语言一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑就是建立在一阶是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑就是建立在一阶语言基础上的逻辑体系，一阶语言本身不具备任何意义，但可以根据语言基础上的逻辑体系，一阶语言本身不具备任何意义，但可以根据需要被解释成具有某种含义。需要被解释成具有某种含义。q一阶语言的形式是多种多样的，一阶语言的形式是多种多样的，本书给出的一阶语言是便于将自本书给出的一阶语言是便于将自然语言中的命题符号化的一阶语言，记为然语言中的命题符号化的一阶语言，记为F F。第30页，此课件共69页哦一阶语言中的字母表一阶语言
34、中的字母表定义定义4.1 4.1 一阶语言一阶语言F F的的字母表字母表定义如下定义如下:(1)(1)个体常项：个体常项：a,b,c,ai ,bi ,ci ,i 1(2)(2)个体变项：个体变项：x,y,z,xi,yi ,zi ,i 1(3)(3)函数符号：函数符号：f,g,h,fi,gi,hi,i 1(4)(4)谓词符号：谓词符号：F,G,H,Fi,Gi,Hi,i 1(5)(5)量词符号量词符号:，(6)(6)联结词符号联结词符号:,:,(7)(7)括号与逗号括号与逗号:(,),:(,),，第31页，此课件共69页哦q定义定义4.2 4.2 F F的项的定义如下的项的定义如下:q(1)(1)
35、个体常项和个体变项是项。个体常项和个体变项是项。q(2)(2)若若f(x1,x2,f(x1,x2,xn),xn)是任意的是任意的n n元函数，元函数，t1,t2,t1,t2,tn,tn是是 任意的任意的n n个项，则个项，则f(t1,t2,f(t1,t2,tn),tn)是项。是项。q(3)(3)所有的项都是有限次使用所有的项都是有限次使用(1)(1)，(2)(2)得到的。得到的。q定义定义4.3 4.3 设设R(x1,x2,R(x1,x2,xn),xn)是的任意是的任意n n元谓词，元谓词，t1,t2,t1,t2,tn,tn是的任意的是的任意的n n个项，则称个项，则称R(t1,t2,R(t1
36、,t2,tn),tn)是的是的F F原子公式原子公式。第32页，此课件共69页哦q定义定义4.4 F4.4 F的合式公式定义如下的合式公式定义如下:合式公式也称为谓词公式，简称公式。合式公式也称为谓词公式，简称公式。1)1)原子公式是合式公式；原子公式是合式公式；2)2)若若A A，B B是合式公式，则是合式公式，则(A)(A)、(B)(B)、(AB)(AB)、(AB)(AB)、(AB)(AB)、(A(AB B)也是合适公式；也是合适公式；3)3)若若A A是合是合式公式，式公式，x x是个体变量，则是个体变量，则(x)x)A A、(x)x)A A也是合也是合式公式；式公式；4)4)仅仅有仅仅
37、有1 1)-2-2)产生的表达式才是合产生的表达式才是合式公式。式公式。第33页，此课件共69页哦q在定义在定义4.44.4中出现的字母中出现的字母A A，B B是代表任意公式的元语言符号。是代表任意公式的元语言符号。为方便起见，公式为方便起见，公式(A)(A)，(AB)(AB)，中的最外层括号可以中的最外层括号可以省去，使其变成省去，使其变成A A，ABAB，。(4.1)(4.1)(4.21)(4.21)都是都是F F中的中的公式。公式。q定义定义4.5 4.5 在公式在公式 xAxA和和 xAxA中，称中，称x x为为指导变元指导变元，A A为相应为相应量词的辖域。在量词的辖域。在 x x
38、和和 x x的辖域中，的辖域中，x x的所有出现都称为的所有出现都称为约束约束出现出现。A A中不是约束出现的其他变项均称为是中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现自由出现的。的。第34页，此课件共69页哦例例4.64.6 指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项。现以及约束出现的个体变项。(1)(1)x x(F(F(x x,y)G(,y)G(x x,z),z)(2)(2)x x(F(F(x x)G(y)G(y)y y(H(x)L(x,(H(x)L(x,y y,z),z)例题例题解答(1)(1)x x是指导变元。
39、量词是指导变元。量词 的辖域的辖域A=(F(x,y)G(x,z)A=(F(x,y)G(x,z)。在。在A A中，中，x x的两次出现均是约束出现。的两次出现均是约束出现。y y和和z z均为自由出现。均为自由出现。(2)(2)前件上量词前件上量词 的指导变元为的指导变元为x x，量词，量词 的辖域的辖域A=(F(x)G(y)A=(F(x)G(y)，x x在在A A中是约束出现的，中是约束出现的，y y在在A A中是自由出现的。后件中量词中是自由出现的。后件中量词 的的指导变元为指导变元为y y，量词量词 的辖域为的辖域为B=(H(x)L(x,y,z)B=(H(x)L(x,y,z)，y y在在B
40、 B中中是约束出现的，是约束出现的，x x、z z在在B B中均为自由出现的。中均为自由出现的。第35页，此课件共69页哦本书中的记法本书中的记法q用用A(xA(x1 1,x,x2 2,x,xn n)表示含表示含x x1 1,x,x2 2,x,xn n自由出现的公式。自由出现的公式。q用用表示任意的量词表示任意的量词 或或，则则xx1 1A(xA(x1 1,x,x2 2,x,xn n)是含有是含有x x2 2,x,x3 3,x,xn n自由出现的公式，可记为自由出现的公式，可记为A A1 1(x(x2 2,x,x3 3,x,xn n)。q类似的，类似的，xx2 2xx1 1A(xA(x1 1,
41、x,x2 2,x,xn n)可记为可记为A A2 2(x(x3 3,x,x4 4,x,xn n)qxxn-1n-1xxn-2n-2xx1 1A(xA(x1 1,x,x2 2,x,xn n)中只含有中只含有x xn n是自由出现是自由出现的个体变项，可以记为的个体变项，可以记为A An-1n-1(x(xn n)。qxxn nxx1 1A(xA(x1 1,x,x2 2,x,xn n)没有自由出现的个体变项。没有自由出现的个体变项。举例将例将例4.6(1)4.6(1)中的公式简记为中的公式简记为A(A(y y,z z)，表明公式含有自由出现的个，表明公式含有自由出现的个体变项体变项y y，z z。而
42、。而 yA(y,yA(y,z z)中只含有中只含有z z为自由出现的公式，为自由出现的公式，z z yA(y,z)yA(y,z)中已经没有自由出现的个体变项了，中已经没有自由出现的个体变项了，第36页，此课件共69页哦q定义定义4.6 4.6 设设A A是任意的公式，若是任意的公式，若A A中中不含有不含有自由出现的个自由出现的个体变项，则称体变项，则称A A为封闭的公式，简称为封闭的公式，简称闭式闭式。q要想使含要想使含r r（r r 1 1）个自由出现个体变项的公式变成闭式）个自由出现个体变项的公式变成闭式至少要加至少要加r r个个量词。量词。第37页，此课件共69页哦例题例题4.74.7
43、例例4.74.7 将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题:(1)(1)x(F(x)G(x)x(F(x)G(x)(2)(2)x x y(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)y(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)(1)(1)指定个体变项的变化范围，并且指定谓词指定个体变项的变化范围，并且指定谓词F F，G G的含义，下的含义，下面给出两种指定法面给出两种指定法:(a)a)令个体域令个体域D D1 1为全总个体域，为全总个体域，F(x)F(x)为为x x是人，是人，G(x)G(x)为为x x是黄种人，是黄
44、种人，则命题为则命题为“所有人都是黄种人所有人都是黄种人”，这是假命题。，这是假命题。(b)b)令个体域令个体域D D2 2为实数集合为实数集合R R，F(x)F(x)为为x x是自然数，是自然数，G(x)G(x)为为x x是整数，是整数，则命题为则命题为“自然数都是整数自然数都是整数”，这是真命题。，这是真命题。第38页，此课件共69页哦例题例题4.74.7(2)(2)x x y(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)y(F(x)F(y)G(x,y)H(f(x,y),g(x,y)含有两个含有两个2 2元函数变项，两个元函数变项，两个1 1元谓词变项，两个元谓词变项，两个2
45、 2元谓词变元谓词变项。项。指定个体域为全总个体域，指定个体域为全总个体域，F(x)F(x)为为x x是实数，是实数，G(x,y)G(x,y)为为xyxy，H(x,y)H(x,y)为为xyxy，f(x,y)=xf(x,y)=x2 2+y+y2 2，g(x,y)=2xyg(x,y)=2xy，则表达的命题为则表达的命题为“对于任意的对于任意的x x，y y，若，若x x与与y y都是实数，且都是实数，且xyxy，则，则x x2 2+y+y2 22xy”2xy”，这是真命题。，这是真命题。如果如果H(x,y)H(x,y)改为改为xyxy，则所得命题为假命题。则所得命题为假命题。第39页，此课件共69
46、页哦q定义定义4.7 4.7 的解释的解释I I由下面由下面4 4部分组成部分组成:(a)(a)非空个体域非空个体域DIDI(b)DI(b)DI中一些特定元素的集合中一些特定元素的集合 (c)DI(c)DI上特定函数集合上特定函数集合|i,n1|i,n1 q (d)DI (d)DI上特定谓词的集合上特定谓词的集合|i,n1|i,n1 第40页，此课件共69页哦q 为第为第i i个个n n元谓词，如元谓词，如i=2i=2，n=3n=3时，时，表示第表示第2 2个个3 3元谓词，元谓词，它可能以它可能以 (x,y,z)x,y,z)的形式出现在解释中，公式的形式出现在解释中，公式A A若出现若出现F
47、 F2 2(x,y,z)(x,y,z)就解释成就解释成 (x,y,z)x,y,z)。q 为第为第i i个个n n元函数。例如，元函数。例如，i=1i=1，n=2n=2时，时，表示第一个表示第一个二元函数，它出现在解释中，可能是二元函数，它出现在解释中，可能是 (x,y)=xx,y)=x2 2+y+y2 2，(x,y)=2xy(x,y)=2xy等，一旦公式中出现等，一旦公式中出现f f1 1(x,y)(x,y)就解释成就解释成 (x,y)x,y)，出现，出现g g1 1(x,y)(x,y)就解释成就解释成 (x,y)=2xyx,y)=2xy。对解释对解释I I的几点说明的几点说明q被解释的公式不
48、一定全部包含解释中的四部分。被解释的公式不一定全部包含解释中的四部分。q在解释的公式在解释的公式A A中的个体变项均取值于中的个体变项均取值于D DI I。q若若A A中含有个体常项，就解释成中含有个体常项，就解释成 。q在解释的定义中引进了几个元语言符号，如在解释的定义中引进了几个元语言符号，如第41页，此课件共69页哦例例4.84.8 给定解释给定解释I I如下如下:(a)a)个体域个体域D=N(ND=N(N为自然数集合，即为自然数集合，即 N=0,1,2,N=0,1,2,)(b)=0(c)(x,y)=x+y,(x,y)=xy。(d)(x,y)为为x=y。在在I下，下列哪些公式为真下，下列
49、哪些公式为真?哪些为假哪些为假?哪些的真值还不能确定哪些的真值还不能确定?例题例题4.8第42页，此课件共69页哦例题例题4.84.8(1)F(f(x,y),g(x,y)(2)F(f(x,a),y)F(g(x,y),z)(3)F(g(x,y),g(y,z)(4)xF(g(x,y),z)(5)xF(g(x,a),x)F(x,y)(6)xF(g(x,a),x)(7)x y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)(8)x y zF(f(x,y),z)(9)xF(f(x,x),g(x,x)第43页，此课件共69页哦例题例题4.84.8(1)(1)F(f(x,y),g(x,y)F(f(x,y),g
50、(x,y)公式被解释成公式被解释成“x+y=xy”x+y=xy”，这不是命题。，这不是命题。(2)(2)F(f(x,a),y)F(g(x,y),z)F(f(x,a),y)F(g(x,y),z)公式被解释成公式被解释成“(“(x+0=y)(xy=z)”x+0=y)(xy=z)”，这也不是命题。，这也不是命题。(3)(3)F(g(x,y),g(y,z)F(g(x,y),g(y,z)公式被解释成公式被解释成“xyyz”xyyz”，同样不是命题。，同样不是命题。(4)(4)x F(g(x,y),z)x F(g(x,y),z)公式被解释成公式被解释成“x(xy=z)”x(xy=z)”，不是命题。，不是命