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1、第第2章测量误差及数章测量误差及数据处理据处理第1页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1 2.1 测量误差的分类和测量结果的表征测量误差的分类和测量结果的表征2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类根根根根据据据据测测测测量量量量误误误误差差差差的的的的性性性性质质质质，测测测测量量量量误误误误差差差差可可可可分分分分为为为为随随随随机机机机误误误误差差差差、系系系系统误差、粗大误差三类。统误差、粗大误差三类。统误差、粗大误差三类。统误差、粗大误差三类。u1.1.随机误差随机误差定定定定义义义义:在在在在同同同同一一一一测测测测量量量量条条条条件件件件下下下下（指指指指在在在
2、在测测测测量量量量环环环环境境境境、测测测测量量量量人人人人员员员员、测测测测量量量量技技技技术术术术和和和和测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器都都都都相相相相同同同同的的的的条条条条件件件件下下下下），多多多多次次次次重重重重复复复复测测测测量量量量同同同同一一一一量量量量值值值值时时时时（等等等等精精精精度度度度测测测测量量量量），每每每每次次次次测测测测量量量量误误误误差差差差的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值和和和和符符符符号号号号都都都都以以以以不不不不可可可可预预预预知知知知的的的的方方方方式式式式变变变变化化化化的的的的误误误误差差差差，称称称称为为为为随随随随机机机机误差或偶然误差
3、，简称随差。误差或偶然误差，简称随差。误差或偶然误差，简称随差。误差或偶然误差，简称随差。随随随随机机机机误误误误差差差差主主主主要要要要由由由由对对对对测测测测量量量量值值值值影影影影响响响响微微微微小小小小但但但但却却却却互互互互不不不不相相相相关关关关的的的的大大大大量量量量因因因因素素素素共共共共同同同同造造造造成成成成。这这这这些些些些因因因因素素素素主主主主要要要要是是是是噪噪噪噪声声声声干干干干扰扰扰扰、电电电电磁磁磁磁场场场场微微微微变变变变、零零零零件件件件的的的的摩摩摩摩擦擦擦擦和和和和配配配配合合合合间间间间隙隙隙隙、热热热热起起起起伏伏伏伏、空空空空气气气气扰扰扰扰动动
4、动动、大地微震、测量人员感官的大地微震、测量人员感官的大地微震、测量人员感官的大地微震、测量人员感官的无规律变化无规律变化无规律变化无规律变化等。等。等。等。第2页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）uu例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V1.235V1.235V1.235V，1.237V1.237V1.237V1.237V，1.234V1.234V1.234V1.2
5、34V，1.236V1.236V1.236V1.236V，1.235V1.235V1.235V1.235V，1.237V1.237V1.237V1.237V。uu单次测量的随差没有规律，单次测量的随差没有规律，单次测量的随差没有规律，单次测量的随差没有规律，但多次测量的总体却服从统计规律但多次测量的总体却服从统计规律但多次测量的总体却服从统计规律但多次测量的总体却服从统计规律。uu可通过数理统计的方法来处理可通过数理统计的方法来处理可通过数理统计的方法来处理可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值即求算术平均值即求算术平均值即求算术平均值u随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测随
6、机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差量进行无限多次测量所得结果的平均值之差 第3页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）u2.2.系统误差系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变，或，或，或，或在
7、测量条件在测量条件在测量条件在测量条件改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确
8、，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系系系系统统统统误误误误差差差差表表表表明明明明了了了了一一一一个个个个测测测测量量量量结结结结果果果果偏偏偏偏离离离离真真真真值值值值或或或或实实实实际际际际值值值值的的的的程程程程度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，
9、测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。度。系差越小，测量就越准确。系系系系统统统统误误误误差差差差的的的的定定定定量量量量定定定定义义义义是是是是：在在在在重重重重复复复复性性性性条条条条件件件件下下下下，对对对对同同同同一一一一被被被被测测测测量量量量进进进进行行行行无无无无限限限限多多多多次次次次测测测测量量量量所所所所得得得得结结结结果果果果的的的的平平平平均均均均值值值值与与与与被被被被测测测测量量量量的的的的真值之差。即真值之差。即真值之差。即真值之差。即第4页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）u3.3
10、.粗粗大大误误差差：粗粗粗粗大大大大误误误误差差差差是是是是一一一一种种种种显显显显然然然然与与与与实实实实际际际际值值值值不不不不符符符符的的的的误误误误差差差差。产产产产生粗差的原因有：生粗差的原因有：生粗差的原因有：生粗差的原因有：测测测测量量量量操操操操作作作作疏疏疏疏忽忽忽忽和和和和失失失失误误误误 如如如如测测测测错错错错、读读读读错错错错、记记记记错错错错以以以以及及及及实实实实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。测测测测量量量量方方方方法法法法不不不不当当当当或或或或错错
11、错错误误误误 如如如如用用用用普普普普通通通通万万万万用用用用表表表表电电电电压压压压档档档档直直直直接接接接测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测高内阻电源的开路电压测测测测量量量量环环环环境境境境条条条条件件件件的的的的突突突突然然然然变变变变化化化化 如如如如电电电电源源源源电电电电压压压压突突突突然然然然增增增增高高高高或或或或降降降降低低低低，雷雷雷雷电电电电干干干干扰扰扰扰、机机机机械械械械冲冲冲冲击击击击等等等等引引引引起起起起测测测测量量量量仪仪仪仪器器器器示示示示值值值值的的的的剧剧剧剧烈变化等。烈变化等。烈变化等。烈变化等。u含含有有粗粗差差的
12、的测测量量值值称称为为坏坏值值或或异异常常值值，在在数数据据处处理时，应剔除掉。理时，应剔除掉。第5页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.1 2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类（续）（续）（续）（续）u4.4.系差和随差的表达式系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同在
13、任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。时存在的。时存在的。时存在的。系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化 第6页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.2 2.1.2 测量结果的表征测量结果的表征uu准准准准确确确确度度度度表表表表示示示示系系系系统统统统误误误误差差差差的的的的大大大大小小小小。系系系系统统统统误误误误差差差差越越越越小小小小，则则则则准准准准
14、确确确确度度度度越越越越高高高高，即即即即测量值与实际值符合的程度越高。测量值与实际值符合的程度越高。测量值与实际值符合的程度越高。测量值与实际值符合的程度越高。uu精精精精密密密密度度度度表表表表示示示示随随随随机机机机误误误误差差差差的的的的影影影影响响响响。精精精精密密密密度度度度越越越越高高高高，表表表表示示示示随随随随机机机机误误误误差差差差越越越越小小小小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附
15、近。uu精精精精确确确确度度度度用用用用来来来来反反反反映映映映系系系系统统统统误误误误差差差差和和和和随随随随机机机机误误误误差差差差的的的的综综综综合合合合影影影影响响响响。精精精精确确确确度度度度越越越越高高高高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。射击误差示射击误差示意图意图 第7页，共71页，编辑于2022年，星期一2.1.2 2.1.2 测量结果的表征测量结果的表征（续）（续）（续）（续）u测量值测量值
16、是粗大误差是粗大误差第8页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2 2.2 测量误差的估计和处理测量误差的估计和处理u2.2.1 2.2.1 随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法在测量中，在测量中，在测量中，在测量中，随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的随机误差是不可避免的。随随随随机机机机误误误误差差差差是是是是由由由由大大大大量量量量微微微微小小小小的的的的没没没没有有有有确确确确定定定定规规规规律律律律的的的的因因因因素素素素引引引引起起起起的的的的，比比比比如如如如外外外外界界界界条条条条件件件件（温温温温度度度度、湿湿湿湿度度度度、气气气
17、气压压压压、电电电电源源源源电电电电压压压压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差多次测量，测量值和随机误差多次测量，测量值和随机误差多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。服从概率统计规律。可可可可用用用用数数数数理理理理统统统统计计计计的的的的方方方方法法法法，处处处处理理理理测测测测量量量量数数数数据据据据，从从从从而而而而减减减减少少少少随随随随机误差机误差机误差机误差对测量结果的影响对测量结果的影响对测量结果的
18、影响对测量结果的影响。第9页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（1 1）随机变量的数字特征）随机变量的数字特征 数学期望数学期望:反映其平均特性反映其平均特性。其定义如下：。其定义如下：uX X为为离散离散型随机变量：型随机变量：uX X为为连续连续型随机变量：型随机变量：1.1.随机误差的分布规律随机误差的分布规律第10页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）方差和标准偏差方差和标准偏差 方差是用来描述随机
19、变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X X X的数学期望为的数学期望为的数学期望为的数学期望为E(X)E(X)E(X)E(X)，则，则，则，则X X X X的方差定义为：的方差定义为：的方差定义为：的方差定义为：D(X)=E(XE(X)2 标准偏差标准偏差标准偏差标准偏差定义为：定义为：定义为：定义为：uu标标标标准准准准偏偏偏偏差差差差同同同同样样样样描描描描述述述述随随随随机机机机变变变变量量量量与与与与其其其其数数数
20、数学学学学期期期期望望望望的的的的分分分分散散散散程程程程度度度度，并并并并且且且且与与与与随随随随机变量具有相同量纲。机变量具有相同量纲。机变量具有相同量纲。机变量具有相同量纲。第11页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）u测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。成的许多微小误差的总和。u中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变为大量独立的随机变量
21、的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。量服从正态分布。为什么测量数据和随机误差为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？大多接近正态分布？(2)(2)(2)(2)测量误差的正态分布测量误差的正态分布第12页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性uu随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：随机误差的概率密度函数为：uu测量
22、数据测量数据测量数据测量数据X X X X的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：的概率密度函数为：uu随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：随机误差的数学期望和方差为：uu同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望同样测量数据的数学期望E(X)E(X)E(X)E(X)，方差，方差，方差，方差D(X)D(X)D(X)D(X)第13页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）正态分布时概率密度曲线正态分布时概率密度曲线正态分布
23、时概率密度曲线正态分布时概率密度曲线 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差差相同，只是横坐标相差随机误差具有：随机误差具有：对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 抵偿性抵偿性 第14页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）标准偏差意义标准偏差意义u标标准准偏偏差差是是代代表表测测量量数数据据和和测测量量误误差差分分布布离离散散程程度的特征数。度的特征数。u标标准准偏偏差差越越小小，则则曲曲线线形形状状越越尖尖锐锐，
24、说说明明数数据据越越集集中中；标标准准偏偏差差越越大大，则则曲曲线线形形状状越越平平坦坦，说说明明数据越分散。数据越分散。第15页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（3 3）测量误差的非正态分布）测量误差的非正态分布）测量误差的非正态分布）测量误差的非正态分布uu常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。uu均匀分布：仪器中的刻度盘回差
25、、最小分辨力引起的误差等；均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入四舍五入四舍五入四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。知其分布时，一般可假定均匀分布。知其分布时，一般可假定均匀分布。知其分布时，一般可假定均匀分布。概率密度概率密度:均值均值:当当 时时,标准偏差标准偏差:当当 时，时，
26、第16页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需求被测量的数字特征，理论上需无穷多次无穷多次无穷多次无穷多次测量，但在实际测量，但在实际测量，但在实际测量，但在实际测量中只能进行测量中只能进行测量中只能进行测量中只能进行有限次有限次有限次有限次测量，怎么办？测量，怎么
27、办？测量，怎么办？测量，怎么办？用事件发生的频度代替事件发生的概率，当用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则则令令n n个可相同的测试数据个可相同的测试数据x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n)次数都计为次数都计为1,1,当当 时，则时，则（1 1）有限次测量的数学期望的估计值）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值算术平均值被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各次测量值的算术平均值术平均值 第17页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续
28、）续）u规规定定使使用用算算术术平平均均值值为为数数学学期期望望的的估估计计值值，并并作作为最后的测量结果。即：为最后的测量结果。即：u算算术术平平均均值值是是数数学学期期望望的的无无偏偏估估计计值值、一一致致估估计计值和最大似然估计值。值和最大似然估计值。有限次测量值的算术平均值有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？比测量值更接近真值？第18页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（2 2 2 2）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差故：故：算术
29、平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性倍。原因是随机误差的抵偿性 。*第19页，共71页，编辑于2022年，星期一算术平均值算术平均值：2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（2 2）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标
30、准偏差的估计值 ：第20页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）【例例3.13.1】用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的序列（见下个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差第21页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减
31、少方法(续续续续3.3.测量结果的置信问题测量结果的置信问题测量结果的置信问题测量结果的置信问题（1 1 1 1）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：）置信概率与置信区间：置信区间置信区间置信区间置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。内包含真值的概率称为置信概率。内包含真值的概率称为置信概率。内包含真值的概率称为置信概率。置信限：置信限：置信限：置信限：k k k k置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信系数（或置信因子）置信概率是图中阴影置信概率是图中阴影部分面积部分面积第22页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2
32、.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（2 2 2 2）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率）正态分布的置信概率u当分布和当分布和k k值确定之后，则置信概率可定值确定之后，则置信概率可定u正态分布正态分布,当当k=3时时置信因子置信因子置信因子置信因子k k置信概率置信概率置信概率置信概率PcPc1 10.6830.6832 20.9550.9553 30.9970.997区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大第23页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少
33、方法(续）续）续）续）（3 3 3 3）t t分布的置信限分布的置信限ut t分布与测量次数有关。当分布与测量次数有关。当n20n20以后，以后，t t分布趋于分布趋于正态分布。正态分布是正态分布。正态分布是t t分布的极限分布。分布的极限分布。u当当n n很小时，很小时，t t分布的中心值比较小，分散度较大，分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，即对于相同的概率，t t分布比正态分布有更大的置分布比正态分布有更大的置信区间。信区间。u给定置信概率和测量次数给定置信概率和测量次数n n，查表得置信因子，查表得置信因子ktkt。自由度：自由度：v=n-1v=n-1第24页，共71页，
34、编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）第25页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）（4 4 4 4）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子）非正态分布的置信因子uu由由由由于于于于常常常常见见见见的的的的非非非非正正正正态态态态分分分分布布布布都都都都是是是是有有有有限限限限的的的的，设设设设其其其其置置置置信信信信限限限限为为为为误误误误差差差差极极极极限限限限 ，即误差的置信区间为，即误差的置
35、信区间为，即误差的置信区间为，即误差的置信区间为 置信概率为置信概率为置信概率为置信概率为100100。（P=1)反正弦均匀三角分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布例：均匀分布 有有有有 故故故故:第26页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.12.2.1随机误差的统计特性及减少方法随机误差的统计特性及减少方法(续）续）续）续）第27页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）1.1.1.1.系统误差的特征：系统误差的特征：系统误差的特征：系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的
36、绝对值和符号保在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。第28页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）2.2.系统误差的发现方法系统误差的发现方法系统误差的发现方法系统误差的发现方法u（1 1）不变的系统误差）不变的系统误差：校校校校准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。准、修正和实验比对。u（2 2）变化的系统误差）变
37、化的系统误差 残残残残差差差差观观观观察察察察法法法法，适适适适用用用用于于于于系系系系统统统统误误误误差差差差比比比比随随随随机机机机误误误误差差差差大大大大的的的的情情情情况况况况 将将将将所所所所测测测测数数数数据据据据及及及及其其其其残残残残差差差差按按按按先先先先后后后后次次次次序序序序列列列列表表表表或或或或作作作作图图图图，观观观观察察察察各各各各数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。数据的残差值的大小和符号的变化。存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差第29页，共71页，编辑于2022年
38、，星期一2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）马利科夫判据：马利科夫判据：马利科夫判据：马利科夫判据：若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，若有累进性系统误差，D D D D 值应明显异于零。值应明显异于零。当当当当n n n n为偶数时，为偶数时，为偶数时，为偶数时，当当当当n n n n为奇数时，为奇数时，为奇数时，为奇数时，u阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。第30页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消
39、除方法（续）（续）（续）（续）3.3.系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法系统误差的削弱或消除方法（1 1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差 要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。注注注注意意意意周周周周围围围围环环环环境境境境对对
40、对对测测测测量量量量的的的的影影影影响响响响，特特特特别别别别是是是是温温温温度度度度对对对对电电电电子子子子测测测测量量量量的影响较大。的影响较大。的影响较大。的影响较大。尽尽尽尽量量量量减减减减少少少少或或或或消消消消除除除除测测测测量量量量人人人人员员员员主主主主观观观观原原原原因因因因造造造造成成成成的的的的系系系系统统统统误误误误差差差差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。（2 2 2 2）用修正方法减少系统误差）用修正
41、方法减少系统误差修正值误差修正值误差修正值误差修正值误差=（测量值真值）（测量值真值）（测量值真值）（测量值真值）实际值测量值修正值实际值测量值修正值实际值测量值修正值实际值测量值修正值第31页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.2 2.2.2 系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法（续）（续）（续）（续）（3 3 3 3）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法）采用一些专门的测量方法u替代法替代法替代法替代法uu 交换法交换法交换法交换法 uu 对称测量法对称测量法对称测量法对称测量法 uu 减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半
42、周期法减小周期性系统误差的半周期法减小周期性系统误差的半周期法 系统误差可忽略不计的准则系统误差可忽略不计的准则是：是：系系系系统统统统误误误误差差差差或或或或残残残残余余余余系系系系统统统统误误误误差差差差代代代代数数数数和和和和的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值不不不不超超超超过过过过测测测测量量量量结结结结果果果果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。第32页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则 u大误差出现的概率
43、很小，列出可疑数据，分析大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除剔除。u1.粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因 测量人员的主观原因测量人员的主观原因测量人员的主观原因测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；：操作失误或错误记录；客客客客观观观观外外外外界界界界条条条条件件件件的的的的原原原原因因因因：测测测测量量量量条条条条件件件件意意意意外外外外改改改改变变
44、变变、受受受受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差防止产生粗大误差防止产生粗大误差防止产生粗大误差。第33页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）（续）（续）2.2.粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则统计学的
45、方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法莱特检验法 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 第34页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）（续）（续）应注意的问题应注意的问题应注意的问题应注意的问题u所所有有的的检检验验法法都都是是人人为为主主观观拟拟定定
46、的的，至至今今无无统统一一的的规规定定。当当偏偏离离正正态态分分布布和和测测量量次次数数少少时时检检验不一定可靠。验不一定可靠。u若若有有多多个个可可疑疑数数据据同同时时超超过过检检验验所所定定置置信信区区间间，应应逐逐个个剔剔除除，重重新新计计算算，再再行行判判别别。若若有有两两个个相相同数据超出范围时，应逐个剔除。同数据超出范围时，应逐个剔除。u在一组测量数据中，在一组测量数据中，可疑数据应很少可疑数据应很少。反之，。反之，说明系统工作不正常。说明系统工作不正常。第35页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.3 2.2.3 粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则（续）（续）（续）（
47、续）解：解：计算得计算得 s=0.033s=0.033计算残差填入表计算残差填入表3 37 7，最大，最大，是可疑数据。是可疑数据。用莱特检验法用莱特检验法 3 3 s=30.033=0.099 s=30.033=0.099 故可判断故可判断 是粗大误差，应予剔除。是粗大误差，应予剔除。再再对对剔剔除除后后的的数数据据计计算算得得：s=s=0.016 0.016 3 3s=0.048s=0.048各测量值的残差各测量值的残差V V填入表填入表3 37 7，残差均小于，残差均小于3 s3 s故故1414个数据都为正常数据。个数据都为正常数据。【例例3.33.3】对某电炉的温度进行多次重复测量，所
48、得对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表结果列于表3 37 7，试检查测量数据中有无粗大误差。，试检查测量数据中有无粗大误差。第36页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.4 2.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤uu对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；uu求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值uu列出残差列出残差列出残差列出残差 ，并验证，并验证，并验证，并验证uu按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔
49、公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值uu按莱特准则按莱特准则按莱特准则按莱特准则 ，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；检查和剔除粗大误差；检查和剔除粗大误差；检查和剔除粗大误差；uu判判判判断断断断有有有有无无无无系系系系统统统统误误误误差差差差。如如如如有有有有系系系系统统统统误误误误差差差差，应应应应查查查查明明明明原原原原因因因因，修修修修正正正正或或或或消消消消除除除除系系系系统误差后重新测量；统误差后重新测量；统误差后重新测量；统误差后重新测量；uu计算算术平均值的标准偏差计算算术平
50、均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差 ；uu写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 （单位）（单位）（单位）（单位）。第37页，共71页，编辑于2022年，星期一2.2.4 2.2.4 测量结果的处理步骤测量结果的处理步骤（续）（续）（续）（续）u【例例3 34 4】对对某某电电压压进进行行了了1616次次等等精精度度测测量量，测测量量数数据据中中已已记记入入修修正正值值，列列于于表表中中。要要求求给给出出包包括误差在内的测量结果表达式。括误差在内的测量结果表达式。第38页，共71页，编辑于2022年，星期一2