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1、课件中心版权所有课件中心版权所有 2006 立体几何总复习请将请将 移到相应移到相应项目上项目上 单击单击123456预备知识预备知识角的知识角的知识正弦定理正弦定理ABCbcS ABC=bc sinA余弦定理余弦定理ABCbcacosA=直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成
2、的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60和和A1B成角为成角为60的的面对角线面对角线共有共有 条。条。在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1E在正方体在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，求异面直线的中点，求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MNPABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的所成的角？角？E已知：两异面直线已知：两异面直线a,b所成的角是所成的角
3、是50，P P为为空间中一定点，则过点空间中一定点，则过点P P且与且与a,ba,b都成都成3030角的角的直线有直线有 条。条。abP PO2斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角AOB当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角（0,90）直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0,90异面直线所成的角异面直线所成的角（0,9
4、0若若斜线段斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内的射影内的射影长的长的2倍，则倍，则AB与与所成的角为所成的角为 。60AOB最小角原理最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。若若直线直线 l1与平面所成的角为与平面所成的角为60 ，则这条直线与，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为，最大的角为 。9060Ol1若若直线直线 l1与平面所成的角为与平面所成的角为30 ，直线，直线 l2 与与 l1 所所成的
5、角为成的角为60,求求直线直线 l2与平面所成的角与平面所成的角 的范围的范围?l10,90 l2 l2AOBC如图如图,直线直线OA与平面与平面所成的角为所成的角为,平面内一条直线平面内一条直线OC与与OA的射影的射影OB所成的角为所成的角为,设设AOC为为 2求证求证:cos 2=cos 1 cos 求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上
6、的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形，求出所成角的相应函数值解此直角三角形，求出所成角的相应函数值例题、如图，在正方体例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1OSACBOFE如图，如图，ACB=90，S为平面为平面ABC外一点，外一点，SCA=SCB=60，求，求SC与平面与平面ACB所成的角所成的角ABCDFEADFDACGBE正方形正方形ABCD边长为边长为3，AE=2BE，CF=2DF，沿，沿EF将直角梯形将直角梯形AEFD折起
7、，使点折起，使点A的射影点的射影点G落在边落在边BC上，求上，求AE与平面与平面ABCD所成的角所成的角？如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，O为下底为下底面面AC的中心，求的中心，求A1O与平面与平面BB1D1D所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1OOSACBOFE如图，如图，SA,SB,SC是三条射线，是三条射线，BSC=60,SA上一点上一点P到平面到平面BSC的距离是的距离是3,P到到SB,SC的的距离是距离是5,求求SA与平面与平面BSC所成的角所成的角P正四面体正四面体PABC中，求侧棱中，求侧棱PA与与底面底面ABC所成的角所成的角PABCHD从一
8、条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
9、条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O二面角的求法二面角的求法(1)(1)垂线法垂线法利用三垂线定理作出平利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小面角，通过解直角三角形求角的大小(2)(2)垂面法垂面法通过做二面角的棱的垂通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角面，两条交线所成的角即为平面角(3)(3)射影法射影法若多边形的面积是若多边形的面积是S S，它在一个平面上的射影图形面积是它在一个平面上的射影图形面积是SS，则二面角则二面角 的大小为的大小为COS =SS S
10、 S垂线法垂线法垂垂面法面法ABCDO射影法射影法ABCAM已知：如图已知：如图ABC的顶点的顶点A在平面在平面M上的射上的射影为点影为点A，ABC的的面积是面积是S，ABC的的面积是面积是S，设二面角设二面角A-BC-A为为 求证：求证：COS =S SDABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？O过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A引引SA底面底面ABCD，并使平面并使平面SBC，SCD都与底面都与底面ABCD成成45度角，求二面角度角，求二面角BSCD的大小？的大小？ABCDSOE在正方体在正方体AC1中，中，E，F分别是分别是AB
11、，AD的中点，求二面角的中点，求二面角C1EFC的大小？的大小？EFABDCA1B1D1C1ABC中中,ABBC,SA 平面平面ABC,DE垂垂直平分直平分SC,又又SA=AB,SB=BC,求二面角求二面角E-BD-C的大小的大小?SABCEDABCD求正四面体的侧求正四面体的侧面与底面所成的面与底面所成的二面角的大小？二面角的大小？求正四面体的侧求正四面体的侧面与底面所成的面与底面所成的二面角的大小？二面角的大小？三棱锥三棱锥P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC（1）求二面角）求二面角P-BC-A的大小的大小34三棱锥三棱锥P-ABC中，中，P
12、A 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC（1）求二面角）求二面角P-BC-A的大小的大小（2）求二面角）求二面角A-PC-B的大小的大小DEBD=DE=COS =在正方体在正方体AC1中，中，E,F分别是中点分别是中点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C在正方体在正方体AC1中，中，E,F分别是中点分别是中点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH四棱锥四棱锥P-ABCD的的底面是边
13、长为底面是边长为4的正方形，的正方形，PD面面ABCD，PD=6，M,N是是PB,AB的中的中点，求二面角点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？的平面角的正切值？PDABCNMOH直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系平面和平面的平行关系直线在平面内直线在平面内直线和平面相交直线和平面相交直线和平面平行直线和平面平行线面位置关系线面位置关系有无数个公共点有无数个公共点有且仅有一个公有且仅有一个公共点共点没有公共点没有公共点 位置关系位置关系 图图 示示表示方法表示方法公共点个数公共点个数直线在平直线在平面内面内a 无数个无数个直
14、直线线在在平平面面外外直直线线与与平平面面相相交交斜斜交交a 一个一个垂直垂直相交相交a 一个一个直线与平直线与平面平行面平行a 无无aaAAaa平行于同一平面的二直线的平行于同一平面的二直线的位置关系是位置关系是 （）（A）一定平行一定平行（B）平行或相交平行或相交（C）相交相交（D）平行，相交，异面平行，相交，异面D（1）点）点A是平面是平面 外的一点，过外的一点，过A和平面和平面 平行的直线有平行的直线有 条。条。A无数无数（2）点）点A是是直线直线l 外的一点，过外的一点，过A和和直线直线l 平行的平面有平行的平面有 个。个。A无数无数（3）过两条平行线中的一条和另）过两条平行线中的一
15、条和另一条平行的平面有一条平行的平面有 个。个。无数无数（4）过两条异面直线中的一条和另）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有一条平行的平面有 个。个。且且仅有一仅有一（5）如果）如果l1/l2,l1 平行于平面平行于平面，则则l2 平面平面 l1 l2l2 或或/（6）如果两直线）如果两直线a,b 相交，相交，a平行平行于平面于平面，则，则b与平面与平面 的位置关系的位置关系是是 。a bb相交或平行相交或平行过过直线直线 l 外两点外两点，作与直线，作与直线 l平行平行 的的平面，这样的平面平面，这样的平面 （）（A）有无数个有无数个（C）只能作出一个只能作出一个（B）不能作出不能作
16、出（D）以上都有可能以上都有可能ABl过过直线直线 l 外两点外两点，作与平面，作与平面 平行平行，的的平面，这样的平面平面，这样的平面 （）（A）有无数个有无数个（C）只能作出一个只能作出一个（B）不能作出不能作出（D）以上都有可能以上都有可能ABl过过直线直线 l 外两点外两点，作与平面，作与平面 平行平行，的的平面，这样的平面平面，这样的平面 （）（A）有无数个有无数个（C）只能作出一个只能作出一个（B）不能作出不能作出（D）以上都有可能以上都有可能ABlD(1)定义定义直线与平面没有公共直线与平面没有公共点点(2)定理定理如果平面外一条直线如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，
17、那么和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。这条直线和这个平面平行。(3)面面/面的性质面的性质若两个平面平行，则其若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。中一个平面内的直线必平行于另一个平面。线面平行判定定理线面平行判定定理如果平面外如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。那么这条直线和这个平面平行。已知：已知：a b a/b求证：求证：a/abP(1)a,b确定平面确定平面，=b(2)假设假设a与与 不平行不平行则则a与与 有公共点有公共点P则则P =b(3)这与已知这与已知a/b矛盾矛
18、盾(4)a /如图，空间四面体如图，空间四面体P-ABC,M,N分分别是面别是面PCA和面和面PBC的重心的重心 求求证：证：MN/面面BCAEFPMN/EF MN/面面BCA线线平行线线平行线面平行线面平行如图，两个全等的正方形如图，两个全等的正方形ABCD和和ABEF所在平面交于所在平面交于AB，AM=FN求证：求证：MN/面面BCEABCDEFMNGHMN/GH MN/面面BCE线线平行线线平行线面平行线面平行如图，两个全等的正方形如图，两个全等的正方形ABCD和和ABEF所在平面交于所在平面交于AB，AM=FN求证：求证：MN/面面BCEABCDEFMNHAFN BNH AN/NH=F
19、N/BN AN/NH=AM/MC MN/CH MN/面面BCEABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，中，E为为DD1的中点，求证：的中点，求证：DB1/面面A1C1EEFDB1/EF DB1/面面A1C1E线线平行线线平行线面平行线面平行在正方体在正方体AC1中，中，O为为平面平面ADD1A1的中心，的中心，求证：求证：CO/面面A1C1BABDCA1B1D1C1B1OF线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质线面平行的性质(1)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面则这条直线与这个平面无公共点无公共点(2)如果一条直线与一个平面平行，如果一
20、条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线成异面直线或平行直线(3)如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行。如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行如果一条直线与一个平面平行，如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条相交，则这条直线与交线
21、平行直线与交线平行已知：已知：a/,a,=b求证：求证：a/b ab =bb a/a b=a/b如果平面外的两条平行线中的一如果平面外的两条平行线中的一条与这个平面平行，则另一条直条与这个平面平行，则另一条直线与这个平面也平行线与这个平面也平行abc如果一条直线和两个相交平面都平如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行行，则这条直线与它们的交线平行abc l已知：已知：a/，a/，=l求证：求证：a/labABOMNPD如图，如图，a,b是异面直线，是异面直线，O为为AB的中点，的中点，过点过点O作平面作平面 与两异面直线与两异面直线a,b都平行都平行MN交平面于点交平面于
22、点P，求证：求证：MP=PN 知识点回顾知识点回顾：一、两个平面平行的判定方法一、两个平面平行的判定方法二、两个平面平行的性质二、两个平面平行的性质一、两个平面平行的判定方法一、两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面直线都平行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的都垂直于同一条直线的 两个平面两个平面两两个个平平面面平平行行二、两个平面平行的性质二、两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一、一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面个，则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直
23、线平行于、其中一个平面内的直线平行于另一个平面另一个平面3、两个平行平面同时和第三个平面、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行相交，它们的交线平行两两个个平平面面平平行行5、夹在两个平行平面间的平行线段、夹在两个平行平面间的平行线段相等相等1、两个平面没有公共点、两个平面没有公共点判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两平面平行、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行、与同一直线成等角的两平面平行4、垂直于同一平面的两平面平行、垂直于同一平面的两平面平行5、若、若,则则平面平面内
24、内任一直线任一直线a 6、若、若n ,m ,n,m 则则nm例题、如图，在正方体例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求证：面求证：面AB1D1面面BDC1ABCDA1B1C1D1证明：证明：BDB1D1BD 面面BDC1B1D1 面面BDC1B1D1面面BDC1同理：同理：AB1面面BDC1B1D1AB1=B1面面AB1D1面面BDC1线线线线线线面面面面面面ABCDA1B1C1D1证法证法2：ACBDA1A面面ACA1C在面在面AC上上的射影为的射影为ACA1CBDBDBC1=BA1CBC1同理同理:A1C面面BDC1同理同理:A1C面面AB1D1面面AB1D1面面BDC
25、1变形变形1:如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，E,F,G分别为分别为A1D1,A1B1,A1A的的中点中点求证：面求证：面EFG面面BDC1变形变形2:若若O为为BD上的点上的点求证：求证：OC1 面面EFGO面面面面 由上知由上知面面EFG面面BDC1OC1 面面BDC1ABCDA1B1C1D1EFG线线面面OC1 面面EFG变形变形3:如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，E,F,M,N分别为分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的的中点中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：面求证：面AEF面面BDMN小结小结：线线平行平
26、行 线线 线线平行平行 面面 面面平行平行 面面线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行判定面面平行性质面面平行性质三种平行关系的转化三种平行关系的转化AEBCDGF已知：四面体已知：四面体A-BCD，E,F,G分别为分别为AB,AC,AD的中点的中点求证：面求证：面EFG面面BCD练习练习线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法（1）定义）定义如果一条直线和一个平面内的如果一条直线和一个平面内的任意一条任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。直线都垂直，则直线与平面垂直。（2）判定定理）判定
27、定理1如果两条如果两条平行线平行线中的一中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。平面。（3）判定定理）判定定理2如果一条直线和一个平如果一条直线和一个平面内的面内的两条相交直线两条相交直线都垂直，则直线与平面都垂直，则直线与平面垂直。垂直。线面垂直的性质线面垂直的性质（1）定义）定义如果一条直线和一个平面垂直如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的则这条直线垂直于平面内的任意一条任意一条直线直线（2）性质定理）性质定理如果两条直线同垂直于一如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线个平面，则这两条直线平行平行。填空填空（1）l ,m l
28、_m（2）n,m,m与与n_,l m,l n,l （3）l ,m ,l_m（4）l/m,l ,m_ 相交相交/PABC如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，C是异于是异于A，B的圆的圆周上的任意一点，周上的任意一点，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面所在的平面（1）BC面面PACPABC如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，C是异于是异于A，B的圆的圆周上的任意一点，周上的任意一点，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面所在的平面则则AH面面PBCH若若AHPCABDCA1B1D1C1O在正方体在正方体AC1中，中，O为下底面的中心，为下底面的中心，求证：求证：AC面面D1B1BDABDCA1
29、B1D1C1OH在正方体在正方体AC1中，中，O为下底面的中心，为下底面的中心，B1H D1O求证：求证：AC面面D1B1BD求证：求证：B1H面面D1AC已知已知:l/,m 求证求证:l m m lnabA c 已知已知:a,b是异面直线是异面直线,AB是他们的是他们的公垂线，公垂线，a ,b ,c求证求证:AB/cBm如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果两个平面所成的二面角是如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直直二面角，则这两个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
30、则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直ABEDC线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直PABCPA面面ABC面面PAC面面ABC面面PAB面面ABCBC面面PAC面面PBC面面PAC面面ABC面面PAC如果两个平面垂
31、直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面ABDCE线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直面面垂直面面垂直求证：如果一个平面与另一个平面的求证：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直垂线平行，则这两个平面互相垂直 ab 求证：如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂
32、直于另一垂直于另一个平面个平面 l求证：如果两个相交平面都与另一个平面求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面 lPAB四面体四面体ABCD中，面中，面ADC面面BCD，面，面ABD 面面BCD，设，设DE是是BC边上的高，边上的高，求证：求证：平面平面ADE 面面ABC ABCED面面ADC面面BCD面面ABD 面面BCDAD 面面BCDAD BCDE BCBC 面面ADE面面ABC 面面ADE线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线线垂直线垂直PACBABC是直角三角形是直角三角形,ACB=90,P为为平面外一点
33、，且平面外一点，且PA=PB=PC 求求证：证：平面平面PAB 面面ABC O课课堂堂练练习习课课堂堂练练习习空间四面体空间四面体ABCD中，若中，若AB=BC，AD=CD，E为为AC的中点，则有（的中点，则有（）ABCED(A)平面平面ABD 面面BCD(B)平面平面BCD 面面ABC(C)平面平面ACD 面面ABC(D)平面平面ACD 面面BDE如图，如图，ABCD是正方形，是正方形，PA 面面ABCD，连接连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对问图中有几对互相垂直的平面？互相垂直的平面？ABDPC面面PAC面面ABCD面面PAB面面ABCD面面PAD面面ABCD面面PAD面面PA
34、B面面PAD面面PCD面面PBC面面PAB面面PBD面面PAC如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC中，面中，面PBC面面ABC，PBC是边长为是边长为a的正三角形，的正三角形，ACB=90，BAC=30，BM=MC求证：求证：PB AC 二面角二面角C-PA-M的大小的大小 PMBCAD如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC中，中，PB底面底面ABC，ACB=90,PB=BC=CA,E为为PC中点，中点，求证：求证：平面平面PAC 面面PBC 求异面直线求异面直线PA与与BE所成角的大小所成角的大小ACBEP如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，的底面是菱形，PA底面底面ABCD，BAD
35、=120,E为为PC上任意一点，上任意一点，ACDBPE求证：求证：平面平面BED 面面PACO若若E是是PC中点，中点，AB=PA=a,求求二面二面角角E-CD-A的大小的大小F点点点点点点线线点点面面线线线线线线面面点点点点PABO60sin60=2R=PO点点线线ABCDA1B1C1D1H已知：长方体已知：长方体AC1中，中，AB=a，AA1=AD=b求点求点C1到到BD的距离？的距离？C1H=线线线线ABCDEF已知：矩形已知：矩形ABCD和矩形和矩形ABEF所所在的平面相交，在的平面相交，EF=5，AD=13，求平行线求平行线AB和和CD的距离？的距离？点点面面AH从从平面外一点引这
36、个平面的垂线平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做垂足叫做点点在这个平面内在这个平面内的射影的射影这个点和垂足间的距离叫做这个点和垂足间的距离叫做点点到平面的距离到平面的距离线面垂直线面垂直点的射影点的射影点面距离点面距离已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PC试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PC两两两两垂直垂直,试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO为三角形为三角形ABC的的垂心垂
37、心DO已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的的顶点顶点P到底面三角形到底面三角形ABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等,试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO为三角形为三角形ABC的的内心内心OEF已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PC试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PC两两垂两两垂直直,试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？垂心垂心已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的的顶点顶点P到底面三角形到底面三角形ABC
38、的三条边的距离的三条边的距离相等相等,试判断点试判断点P在底在底面面ABC的射影的位置的射影的位置？内心内心PABCO直角三角形直角三角形ACB确定平面确定平面 ，点，点P在平面在平面 外，外，若点若点P到直角顶点到直角顶点C的距离是的距离是24，到两直角边的，到两直角边的距离都是距离都是6 ，求点，求点P到平面到平面 的距离？的距离？PABCEFO 例题：已知一条直线例题：已知一条直线 l 和一个平面和一个平面 平行，平行，求证：直线求证：直线 l 上各点到平面上各点到平面 的距离相等的距离相等 AABBl线线面面 lAA一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点一条直线和一个平面平行时，直线
39、上任意一点到这个平面的距离叫做到这个平面的距离叫做直线到平面的距离直线到平面的距离 lAA lAAB点点面面线线面面如果一条直线上有两个点到平面的距离如果一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和平面平行吗？相等，则这条直线和平面平行吗？已知一条直线上有两个点已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离到平面的距离分别为分别为3cm和和5cm，求，求AB中点到平面的距离中点到平面的距离35空间四面体空间四面体ABCD，问和点问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？距离相等的平面有几个？ABCD4空间四面体空间四面体ABCD，问和点问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？距离相等的平面有几
40、个？ABCDABCD43ABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离DABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离D(2)A到到BD1的距离的距离ABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离D(2)A到到BD1的距离的距离(3)A到面到面A1B1CDABCA1B1D1C1正方体正方体AC1的棱长为的棱长为1,求下列距离问题求下列距离问题(1)A到到CD1的距离的距离D(2)A
41、到到BD1的距离的距离(3)A到面到面A1B1CD(4)A到到平面平面BB1D1ABCDPFE已知：已知：ABCD是边长为是边长为4的正方形，的正方形，E，F分别是分别是AD，AB的中点，的中点，PC面面ABCD，PC=2，求点求点B到平面到平面PEF的距离？的距离？GOH点点线线点点面面线线面面棱长为棱长为1的正四面体的正四面体PABC中，中，求点求点P到平面到平面ABC的距离？的距离？ABCOP四个半径均为四个半径均为r的小球放置在水平桌面上，的小球放置在水平桌面上，形成一个下形成一个下3上上1的金字塔型，求此金字塔的金字塔型，求此金字塔的高度的高度体体积积问问题题常用体积公式常用体积公式
42、常用体积公式常用体积公式abcV长方体长方体=a b cs常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式hV棱柱棱柱=hs底底V棱柱棱柱=ls直直常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式V棱锥棱锥=hs底底将边长为将边长为a的正方形的正方形ABCD沿沿对角线对角线AC折折起，使起，使B，D两点间距离变为两点间距离变为a，求所得三求所得三棱锥棱锥D-ABC的体积？的体积？ABCDABCDOO将边长为将边长为a的正方形的正方形ABCD沿沿对角线对角线AC折折起，使起，使B，D两点间距离变为两点间距离变为a，求所得三求所得三棱锥棱锥D-ABC的体积？的体积？ABCDABCDO正方体正方体A
43、BCD-A1B1C1D1中，中，E，F分别是分别是BB1，DD1的中点，棱长为的中点，棱长为a,求四棱锥求四棱锥D1-AEC1F的体积？的体积？ABDCA1B1D1C1EF平行六面体中平行六面体中,已知已知AB=AD=2a，AA1=a，A1AD=A1AB=DAB=60（1）求证：）求证：AA1面面B1CD1A1B1C1D1ABCD平行六面体中平行六面体中,已知已知AB=AD=2a，AA1=a，A1AD=A1AB=DAB=60（1）求证：）求证：AA1面面B1CD1A1B1C1D1ABCD平行六面体中平行六面体中,已知已知AB=AD=2a，AA1=a，A1AD=A1AB=DAB=60（1）求证：
44、）求证：AA1面面B1CD1（2）求平行六面体的体积？）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDV=SA1B1CD1CEEoCE=SA1B1C1D1=平行六面体中平行六面体中,已知已知AB=AD=2a，AA1=a，A1AD=A1AB=DAB=60（1）求证：）求证：AA1面面B1CD1（2）求平行六面体的体积？）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDSB1CD1=VC1-B1CD1=SB1CD1CC1平行六面体中平行六面体中,已知已知AB=AD=2a，AA1=a，A1AD=A1AB=DAB=60（1）求证：）求证：AA1面面B1CD1（2）求平行六面体的体积？）求平行六面体的体积？A
45、1B1C1D1ABCDSB1CD1=VC1-B1CD1=SB1CD1CC1=SB1C1D1hV=(2 SB1C1D1)h求多面体的体积时常用的方法求多面体的体积时常用的方法1、直接法、直接法2、割补法、割补法3、变换法、变换法根据条件直接用根据条件直接用柱体柱体或或锥体锥体的体积公式的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其计算用困难，可将其分割成易求体积的分割成易求体积的几何体几何体，逐块求积，然后求和。，逐块求积，然后求和。如果一个如果一个三棱锥三棱锥的体积直接用体积公式的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱计算用困难，
46、可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得容易求得求棱长为求棱长为a的正四面体的体积？的正四面体的体积？已知正三棱锥的侧面积是已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为，高为3，求，求它的体积？它的体积？若正四棱锥的底面积是若正四棱锥的底面积是S，侧面积是侧面积是Q，则它的体积为？则它的体积为？过棱锥的高的三等分点作两个平行于过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为积之比（自上而下）为 。1719PABC三棱锥三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，的三条侧棱两两垂直，PA=
47、a,PB=b,PC=c,ABC的面积为的面积为S求点求点P到底面到底面ABC的距离的距离ABCDPFE已知：已知：ABCD是边长为是边长为4的正方形，的正方形，E，F分别是分别是AD，AB的中点，的中点，PC面面ABCD，PC=2，求点求点B到平面到平面PEF的距离？的距离？GOH点点线线点点面面线线面面ABCDPFE已知：已知：ABCD是边长为是边长为4的正方形，的正方形，E，F分别是分别是AD，AB的中点，的中点，PC面面ABCD，PC=2，求点求点B到平面到平面PEF的距离？的距离？GV棱锥棱锥B-PEFV棱锥棱锥P-BEF=SBFEPC=SPFEh斜三棱柱斜三棱柱ABC-ABC的侧面的
48、侧面BBCC的面积为的面积为S，AA到此侧面的距离是到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？求此三棱柱的体积？ABCABC斜三棱柱斜三棱柱ABC-ABC的侧面的侧面BBCC的面积为的面积为S，AA到此侧面的距离是到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？求此三棱柱的体积？ABCABC如图，在多面体如图，在多面体ABCDEF中，已知面中，已知面ABCD是边长为是边长为3的正方形，的正方形，EF/AB，EF=1.5,EF与面与面AC的距离为的距离为2，求此多面体的体积？，求此多面体的体积？ABCDEFGHV棱柱棱柱BCF-GHEV棱锥棱锥E-ADHG=4.5=3多面体多面体ABCDEFV=7.5如图，在
49、多面体如图，在多面体ABCDEF中，已知面中，已知面ABCD是边长为是边长为3的正方形，的正方形，EF/AB，EF=1.5,EF与面与面AC的距离为的距离为2，求此多面体的体积？，求此多面体的体积？=6BCDEFAV棱锥棱锥E-ABCDV棱锥棱锥F-BCEV棱锥棱锥C-BFE=1.5=V棱锥棱锥C-AEB=V棱锥棱锥E-ABCDACBA1C1B1正三棱柱正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为的底面边长为3，侧棱长为侧棱长为4，求四面体，求四面体ABB1C1的体积的体积已知三棱锥有一条棱长为已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱，其余各棱长为长为3，求其体积？，求其体积？334ABCD已知三棱锥有
50、一条棱长为已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱，其余各棱长为长为3，求其体积？，求其体积？ABCDEV棱锥棱锥D-ABCV棱锥棱锥D-BCEV棱锥棱锥A-BCE=SBCEADV棱锥棱锥D-ABC已知三棱锥已知三棱锥P-ABC中，中，PA=1，AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60，求三棱锥的求三棱锥的体积？体积？ABCP已知三棱锥已知三棱锥P-ABC中，中，PA=1，AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60，求三棱锥的求三棱锥的体积？体积？ABCP解法一解法一EO直接法直接法已知三棱锥已知三棱锥P-ABC中，中，PA=1，AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60，求三棱锥的求三棱锥