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1、2.8数的进制2.8.1相关概念 同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满10进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留惦一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信？我举一些例子。 两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；。怎么样？实际上还可以发现更多的这
2、样的例子。 随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。1、什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个一样的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100，那么5呢？应该是101。同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表： 表 1十进制二进制十进
3、制二进制123456781101110010111011110009101112131415161001101010111100110111101111100002、 二进制的优缺点 二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态0或1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。表 20与1白与黑虚与实负与正点与划小与大 当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。2.8.2二进制转十进制为了叙述的方便，我们约定
4、：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。步骤：（1） 将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；（2） 将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。例1 将（10110）2改成十进制数在表1中可以看到：二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；可以看出规律；二进制数100000应该表示十进制数32，。那么我们写下一个二进制数10110，则应表示它含有一个16，一个4与一个2，也就是（10110）21160814120
5、1=（22）10例2 将（101101）2改成十进制数。（101101）2=132+016+18+14+02+11=（45）102.8.3十进制转二进制2 71 12 35 12 17 12 8 02 4 02 2 0 1 1将十进制数写成二进制数的常用方法除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见右式。我们将71除以2，余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写0）；再将商35除以2，余数1相应写在右边；再将这步的商17除以2，重复上述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即
6、（71）10（1000111）2例2：把十进制数38改写成二进制数。2 38 0分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制数“满二进2 19 1一”的原则，用2连续去除这个十进制数，直到商为零为止，把2 9 1每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进制数，2 4 0 10这种方法叫做“除以二倒取余数”。 1 12 2 0 即：38（10）=100110（2）2.8.4二进制的四则运算 二进制四则运算和十进制四则运算原理一样，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。2.8.4.1加法二进制加法，在同一数位上只
7、有四种情况：000，011，101，1110。只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。例1 二进制加法（1）101101101；（2）1110101011。解 加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。101101101100011 1110101011111001通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如1011101110110110010。多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下 一个加数相加。例2 二进制加法（1）10111011110；（2）101（11011110）。解（1）101110111
8、10 （2）101（11011110）100101110 10111011100000； 100000从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。2.8.4.2减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，“借一当二”。例3 二进制减法（1）1101011110；（2）100011011。解（1）1101011111010111；（2）100011011110。例4 二进制加减混合运算（1）110101110111111；（2）1011011101111011。解（1）110101110111111100001011111100011（2）101101
9、11011110111001111011101101。2.8.4.3乘法二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有以下几条：000，010，100，111概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。二进制乘法算式和十进制写法也一样。例5 二进制乘法（1）1001101；（2）110011010。解（1）1011101110111；（2）11001101011111010。例6 二进制运算（1）1011101；（2）1101101；（3）（10111）1010；（4）1011010111010。解（1） （2）10111011000001； 11011011000001；（3）（10111）10101
10、010000；（4）10110101110101010000从例6的计算结果可以看出，二进制乘法满足“交换律”；乘法对加法也满足“分配律”。对这一结论，大家还可以进行多次验证。2.8.4.4除法除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也一样，而且更简单，每一位商数不是0，就是1。例7 二进制除法（1）101000101001；（2）10010011111。解 （1） （2）10100010100110010； 1001001111110101。例8 求二进制除法的商数和余数111010101解111010101 所得商数是1011，余数是11。在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是一样的。被除数除数商数余数。如例8，111010101101111。2.8.5二进制小数10 / 10