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1、小学数学课程标准与教材分析罗少成本课程的主要容：小学数学课程标准与教材分析课程主要包括两个方面，一方面是介绍最新版2011版九年义务课程标准小学数学学段1-2学段的容。一方面结合具体的教学容，依据新课程标准，对于北师大版小学数学教材进行若干教学容的教材分析与拓展。一、2011小学数学课程标准简介总体目标可以概括为：四基、四能、情感、四目标。通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：1、获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基）2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、
2、分析问题和解决问题的能力。（四能）3、了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事的科学态度。（情感）“总体目标”具体阐述如下：（四目标）：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。知识技能*经历数与代数的抽象运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。*经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。*经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获得信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。*参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单实际问题的数学活动经验。数学
3、思考*体会代数表示运算和几何直观等方面的作用，初步建立数感、符号意识和空间观念，发展形象思维和抽象思维。*了解数据和随机现象，体会统计方法的意义，发展数据分析和随机观念。*在参与观察、实验、蔡祥、明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。*学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。问题解决*初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识和其他知识解决简单的数学问题，发展应用意识和实践能力。*获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。*学会与他人合作、交流。*初步形成评价与反思的意识。情感态度*积极参与数学活动，对
4、数学有好奇心和求知欲。*体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。*体会数学的特点，了解数学的价值。*养成勇于质疑的习惯，形成实事的态度。总体目标的四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。课程组织和教学活动中，应同时兼顾四个方面的目标。这些目标的实现，使学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展，有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。二、数学思想方法 一般认为，数学思想和数学方法是一组既有联系又有区别的概念。 首先，数学思想和数学方法都与数学知识密切相
5、关，两者都要以相关知识为载体，又反过来促进知识的深化以与知识向能力的转化；数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。 其次，数学思想和数学方法也具有不同的属性和功能：数学方法更多地被看成是解决数学问题或数学地解决问题的规则和程序，具有明确性、具体性、操作性和可仿效性；数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识，具有概括性和普遍性的特点。方法是体现相应思想的手段，思想则是对应方法的精神实质。 第三，数学思想和数学方法之间具有相对性。一方面，当人们使用“数学思想”这个词时，更多的是从知识价值的角度来说的，它联系着数学理论的本质；当人们使用“数学方
6、法”这个词时，更多的是从解决问题策略的角度讲的，它联系着数学活动行为。另一方面，解决任何问题都需要方法，但如果解决众多不同问题时都使用相同的方法，那么这种方法也就常常被称为数学思想或数学思想方法。 数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。（一）小学数学中蕴涵的数学思想方法尽管数学思想方法的容十分丰富，但就小学数学教学而言，我们所关注的应是与小学数学知识与其形成过程
7、密切相关的一些数学思想方法，对学生发现和提出问题、分析和解决问题以与对他们后续学习能够产生积极影响的一些数学思想方法，学生在获得数学显性知识的同时能够形成初步的感知和直觉的一些数学思想方法。一般来说，作为小学数学教学容的数学思想方法的选择，应该遵循以下原则：小学生能够感悟和接受，具有合适的知识载体，与知识的学习能够相互促进，对未来的学习和发展具有重要的指导作用。据此，我们认为，小学数学中蕴涵的数学思想方法主要包括：抽象、分类、归纳、演绎、模型、随机、转化、数形结合、方程、函数、集合、对应，等等。虽然这些数学思想方法并不都处于同一逻辑层面，但是，它们应该是小学生需要感悟、也是能够有所感悟的数学思
8、想方法的主体，是组织小学数学教学活动时应该关注的重点。考虑到方程、函数、集合、对应等数学思想方法，近二三十年来的大纲一直有所强调，我们相对比较熟悉，而随机思想将在中篇的有关章节中具体展开，这里重点对抽象、分类、归纳、演绎、转化、数形结合和模型等思想作一些较为具体的说明。一、抽象抽象通常是指人们在对客观事物的属性和特点进行分析、比较和综合的基础上，舍弃其非本质属性而抽取其本质属性的思维过程，是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法。抽象性是数学最本质的特征之一。数学中的数、运算、概念、公式、定理等等无一不是抽象的产物，就连最简单的数字1也是如此：一个人、一棵树、一幢建筑，去掉其中具体的质的容，
9、只留下“量”的外衣，即可抽象出数量“l”，并用数字“1”把它表示出来。抽象是数学活动中基本的思维方法，也是数学化活动的一般思想方法。作为一种数学思想方法的抽象，其要旨是：对有关数量关系和空间形式的直观背景材料进行去粗取精、去伪存真、由此与彼、由表与里的加工和提炼，以实现建立数学概念、构造数学模型、组织数学体系的目的。数学抽象的对象可以是某种现实原型，但更多的则是已经得到并且为人们熟知的一些数学概念或结构。也就是说，数学抽象是递进的，抽象的结果可以成为更高一级抽象的研究对象。例如，自然数是对一类等价集合元素个数抽象的结果，但在“摆一个三角形用3根小棒，摆a个三角形要用3a根小棒”。这个情境中，a
10、则可以看成是任意一个自然数，显然，它比任何一个自然数都具有更高的抽象性。就小学数学而言，抽象方法主要体现在数学概念、原理的形成过程以与解决实际问题的过程中。对数学抽象方法的初步体会，不仅有助于培养学生的数学意识、数学眼光，而且有助于逐步提高他们的抽象思维水平以与分析和解决问题的能力。比如，图1-1所示的例题中，单位“1”是对“一个物体”、“一个计量单位”、“一个整体”抽象的结果；“平均分成若干份”是对“平均分成4份”、“平均分成5份”、“平均分成3份”抽象的结果；“表示这样的一份或几份”则是对“表示这样的1份”、“表示这样的3份”、“表示这样的5份”抽象的结果。而上述抽象结论的综合就是所谓分数
11、的意义了。通过这样的数学活动过程，学生所获得的就不仅是一个已由前人经抽象概括而形成的数学知识，而且还能体会到形成这个知识的数学抽象方法。以上的例子是在概念认知过程中的一种抽象。其实，在数学学习中，符号化本身就是一种抽象。除了方程中使用抽象符号，在解答小学数学问题过程中，这种符号化的过程，也体现了抽象的过程。比如下面的几个题目：（1）一个圆柱侧面展开是一个正方形，如果它的底面积是15平方厘米，那么这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？（2）把一个横截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积是32.97平方厘米，底面直径与高的比是是1：3，原长方体的表面积是多少平方厘米?（3）有一个
12、六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得到的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？（4）小丁在他1995年过了生日后，发现他当时的实际年龄是他出生年份的四个数字之和，小丁是_年出生的(省第八届小学数学邀请赛)（5）在右面的竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么 代表_(2002年市沙坪坝区小学数学竞赛)在解答这几个问题的过程中，均要设法将已知条件以数学符号表示出来，这种以数学符号表达相关已知条件，并利用这种方法解题的过程，本质上是将实际问题抽象成数学问题，再加以解决。而小学生能够达到熟练应用此方法，需要在数学学习过程中教师逐步引导才可以，绝非一
13、日之功。再看下面两例，此问题的解决则是更高层次的一种抽象，即通过对已知条件的分析，获得为我所用的结论。（6）一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看就要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里，豹子扑了个空，豹子并不甘心，它仅仅地盯着小狗，在池边跟着小狗跑动，准备在小狗游上岸时抓住它。已知豹子奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍，问小狗有没有办法在它游上岸时，不被豹子抓住？请说明理由。（7）明夫妇参加了一次聚会，同时出席的还有另外3对夫妇， 一见面时大家互相握手，当然夫妇之间不握手，也没有人与同一个人握2次手，握手完毕后，明统计了包括妻子在7个人握手的次数，发现握手
14、的次数互不相同，请问明的妻子握了几次手?二、分类的思想：分类通常是指一种揭示概念外延的逻辑方法，也就是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的过程。分类也称为划分。 当人们遇到一件事情不能按同一标准统一处理时，常常会把这件事情先分成几种不同的情形或种类，再制定不同情形或种类的处理规则或办法，然后分别加以解决。这个过程中所蕴涵的就是分类讨论(处理)思想，而基于这一思想所形成的数学方法就是分类讨论(处理)方法。显然，分类讨论方法是建立在分类这一基本逻辑方法基础之上的。无论是作为逻辑方法的分类，还是作为数学思想方法的分类讨论，它们在数学学习以与解决数
15、学问题的过程中都有十分广泛的应用。实践表明，经历分类过程、应用分类方法有助于学生更好地建立认知结构，有助于他们全面地、合乎逻辑地进行思考。我们可以通过下面的若干个问题，初步了解分类的思想在小学数学中的应用。例题1 用125块体积相等的黑、白两种小正方体，黑白相间地拼成一个大正方体(如下图)。那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少个?例题2下图中有多少个带有“”的长方形？例题3 正方形ABCD的面积为16平方厘米，求注：例题3和下面的习题（1）中，既有分类的思想方法，也有转化的思想方法。思考题（1）图圆直径为20厘米，求（2）已知右图正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积
16、.（3）在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？（4）1，2，3，4，5，6，7，8，9每个数字只用一次，同时写出两个含有因数9的三位数，使得它们的和尽可能地大？尽可能地小？（5）三边均为整数，且最大边为2009的三角形共有多少个？A.1008016 B.1009020 C.1010025 D.2019045三、整体的思想：对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法例题1 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的，第二天吃了余下的，第三天吃了又余下的，这时还剩下60千克食堂共运来大米多少千克? 例题2 林喝了一杯牛奶的，然后用水加满，又喝了一
17、杯水的，再倒满水后又喝了半杯，又加满水，最后把一杯都喝了，林喝的牛奶多，还是水多？思考题（1）任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得5位数中质数的个数是（ ）A 4； B 8； C 12； D 0（2）有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时，所得的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？（3）甲乙两人相距100千米，两人同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米；甲带的一只狗，同甲一起出发，每小时走10千米，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，如此继续往返，这只狗一共走了多少千米？（4）一个正方形的部有1996个点，以正方形的4个顶点和
18、部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？四、不变量的思想在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。例题1 某班次集会，请假人数是出席人数的，中途又有2人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么这个班共有多少人？例题2 有一个分数，分母加上1，则为，分母减去2为，这个分数是多少？思考题（1）教室里有若干学生，走了10名女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10名女生后，男生人数是女生的4倍。求教室里原有学生多少名。（2）甲的钱数是乙钱数的4倍，若甲给乙1
19、10元，则乙的钱数是甲钱数的3倍，求甲、乙原来各有多少元钱？（3）甲乙两车在一条长10千米的环形公路上从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行4千米与乙车相遇，相遇后两车速度各加10继续前进，按此规律每次相遇后速度都增加10，第三次相遇时甲车离出发点多少千米？（4）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶酒精体积是多少立方厘米？五、假设的思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方
20、法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。例题1 鸡与兔共有30只，共有脚70只，鸡与兔各有多少只?例题2 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？思考题（1）一数学试卷，只有25道选择题做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分若小明得了78分，那么他做对、做错、没做各有几道题？（2）铅笔、圆珠笔、橡皮的单价分别为3角、8角、5角，一共110个，总价62元，其中铅笔的个数是橡皮的2倍，求三种学习用具分别有多少个？（3）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按
21、20的利润定价，乙商品按15的利润定价。后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元。甲种商品的成本是多少元?（4）一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若于天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。这件工作由甲先做了几天?六、模型的思想方法所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。广义的模型，比如，速度、
22、路程、时间之间的关系，效率、时间、工作量的关系等，在行程问题、工程问题中普遍适用，可以看成是广义的数学模型。（1）八年级数学中也有类似的问题，买东西，是每次买相同的斤数合算，还是每次买相同的钱数合算？（2）买鸡蛋问题：数学老师老师去买10斤鸡蛋，她拎了一个重0.5斤的篮子。当商贩把鸡蛋在托盘称上称好后，老师从盘子中往篮子中拣鸡蛋（鸡蛋一般来说，大约8个是一斤），可是老师发现鸡蛋只用70个，于是她断定商贩缺斤少两了，她向商贩提出了质疑，商贩把篮子放到托盘上称重，结果是10.55斤。于是商贩辩解没有缺斤少两。但老师用数学方法指出了商贩的问题，要回了一斤鸡蛋钱，请你用数学的方法说一说，老师是如何要回
23、一斤鸡蛋钱的？（3）王奶奶带了一篮子土豆去换苹果，每1千克土豆换0.5千克苹果，当她把一篮子土豆放到托盘称上称重好后，卖苹果的商人说：“就单独称篮子了，一会称苹果时候也带篮子称不就一样了吗。”请你用数学方法对这件事进行一下分析。这样做到底谁合适？（4）一只小狗遇到了一只豹子，撒腿就跑，豹子赶紧追赶，眼看要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形池塘的旁边，连忙跳进水里，豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧盯着小狗，在池边跟着小狗跑动，准备在小狗上岸时抓住它，豹子奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。问小狗有没有办法在它上岸时，不被豹子抓住，并说明理由。七、归纳的思想方法归纳通常是指一种由特殊到一般的推理方
24、法，也就是由一系列具体事实概括出一般原理的过程。归纳分为完全归纳和不完全归纳：完全归纳法是根据一类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，从而推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的方法；不完全归纳是通过观察一类事物中的部分对象，并由它们所具有的某些相同性质而推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的方法。完全归纳法考察的是一类事物中的所有特殊对象，所得出的结论是可靠的；不完全归纳法考察的是一类事物 中的部分对象，所得出的结论可能为真也可能为假，因此需要通过证明进一步确认其可靠性。归纳也被看做数学探索和发现过程中一种特别重要的方法。大数学家高斯曾经说过，“许多定理都是靠归纳法发现的，证明只
25、是补行的手续”。事实上，受小学生知识经验和认知水平的限制，小学数学部分知识的形成和建立都离不开归纳(主要是不完全归纳)。这其中包括概念的抽象、计算方法的概括、数学规律和数学关系的发现，等等。不完全归纳法在小学数学的教学中应用比较广泛。小学数学中很多运算法则、公式、定律等的推导，都是在例举几个特殊例子的基础上得出的。如根据40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等几个有限的例子，得出加法交换律。数学课程标准特别强调培养学生探索图形和数的排列规律，探索规律的过程就是一个应用不完全归纳法的过程。例题1 加法交换律的获得例题2 数线段公式的获得例题3 平面上有10个点
26、，没有任何三个点在一条直线上。现在连接任意两个点可以形成一条直线。那么一共可以组成多少条直线？请解答该题目，并归纳出一般的公式。例题4 有一个数学运算符号“”,使下列算式成立:24=10,53=18,35=14,97=34.求73=?例题5 观察下面的一组算式，你能发现什么规律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 46+64=110, 38+83=121分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别
27、分解质因数发现，每个数都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是11的倍数。再举例验证：57+75=1321112，69+96=165=1115，初步验证猜想是正确的。那么如何进行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是19的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证明了结论的正确。例题6a表示顺时针旋转90，b表示顺时针旋转180，c表示逆时针旋转90，d表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。分析与解： ab表示先顺时针转90，再顺时针
28、转180，等于顺时针转270，也等于逆时针转90，所以ab=c。bc表示先顺时针转180，再逆时针转90，等于顺时针转90，所以bc=a。ca表示先逆时针转90，再顺时针转90，等于没转动，所以ca=d。对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是cb的结果。因为运算符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。思考题1、下图中有多少个长方形？请你给出解答过程并归纳出公式2、下图中有多少个带有“”的长方形？请你归出此类问题的公式。3、下图中含有“*”的长方形有几个？（有1个或2个*都可以），请你解答并归纳出此类
29、问题的一般解法。4、已知两个数的和是38，差是6，那么这两个数分别是多少？请你给出此题的解答，并归纳出此类问题的一般公式。5、已知两个数的和是20，一个数是另一个数的4倍，求这两个数分别是多少？请你解答此题并归纳出此类问题的一般公式。6、已知两个数的差是30，一个数是另一个数的6倍，求这两个数，请你解答此题目，并归纳出此类问题的一般公式。7、归纳规律并解决问题：13+23+33+993除以4余数是_。8、归纳规律并解答问题：有70个数排成一行，除两头的两个数以外，每个数的3倍恰好都等于它前后两个数之和。这一行数最左边的几个是：0，1，3，8，21，那么，最右边的一个数被6除的余数是_。9、从下
30、题中归纳出规律，在解决该问题：将自然数列从小到大如图排成螺旋数阵，在2处拐第1个弯，在3处拐第2个弯，在5处拐第3个弯，那么，在_处拐第20个弯。10、规定42=48,23=246,14=1234，求35=？11、练习一：用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240，b表示顺时针旋转120，c表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。八、演绎的思想方法与归纳相反，演绎通常是指一种由一般到特殊的推理方法，也就是从普遍性结论或一般性前提出发，推出个别或特殊结论的过程。演绎推理的形式主要有三段论、关系推理、假言推理和选言推理等
31、。由于演绎推理的前提和结论之间具有蕴涵关系，因而演绎与归纳、类比不同，它属于必然性推理。逻辑演绎方法在数学中的运用是十分广泛。一般认为，数学论证只允许运用演绎逻辑(尽管其标准因时代而不同)，而不承认不完全的归纳论证、类比论证、实验论证等等。就小学数学而言，尽管很少涉与数学证明这样严格规的演绎推理，但一些数学结论的推导过程以与大部分数学知识的应用过程都蕴涵了极为丰富的演绎思想。对演绎思想的感受和体会，不仅有助于建立对数学结论确定性的信念，培养合乎逻辑的表达能力，而且有助于增进对数学容的理解，有助于提高分析和解决问题的能力。三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般
32、模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情况，结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被整除，(3)是奇数，所以(3)不能被整除。在人们的传统观念中，小学几何是实验几何，很难在演绎推理证明方面有所渗透。同时，在初中阶段，培养学生的演绎推理能力是重要的教学目标之一；然而对于部分初中学生而言，这部分知识又是学习中的难点。那么，在小学高年级，能否进行演绎推理思想的渗透，从而使刚升入初中的学生有演绎推理的初步经验呢？下面的案例也许能说明问题。案例：如下图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段
33、，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：因为1和2、1和4分别组成平角，所以1+2=180、1+4=180，根据加减法各部分间的关系，可得2=180-1、4=180-1，根据等量代换，可得2=4。再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三
34、角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。选言推理的一种特殊情况是二选一的情况。例如矛盾关系的推理：矛盾关系是指两个语句或命题之间不能同真（必有一假），也不能同假（必有一真）。不能同真，就是说当其中一个命题真时，另一个命题必假；不能同假，就是说当其中一个命题假时，另一个命题必真。例如，“我们单位所有职工都买了保险”与“我们单位有些职工没有买保险”之间是矛盾关系，“我们单位所有职工都没有买保险”与“我们单位有些职工买了保险”之间也是矛盾关系，“云是总经理”与“云不是总经理”之间也具有矛盾关系。根据直言命题之间的矛盾关
35、系必有一真，必有一假，我们可以求解一些问题。例题1莎士比亚在威尼斯商人中，写富家少女鲍细娅品貌双全，贵族子弟、公子王纷纷向她求婚。鲍细娅按照其父遗嘱，由求婚者猜盒定婚。鲍细娅有金、银、铅三个盒子，分别刻有三句话，其中只有一个盒子，放有鲍细娅肖像。求婚者通过这三句话，猜中鲍细娅的肖像放在哪只盒子里，就嫁给谁。三个盒子上刻的三句话分别是：（1）金盒子：“肖像不在此盒中。”（2）银盒子：“肖像在铅盒中。”（3）铅盒子：“肖像不在此盒中。”鲍细娅告诉求婚者，上述三句话中，最多只有一句是真的。如果你是一位求婚者，如何尽快猜中鲍细娅的肖像究竟放在哪一个盒子里？ A金盒子。B 银盒子。C铅盒子。D 要么金盒
36、子要么银盒子。E不能确定。例题2某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审。四人的口供如下：甲：案犯是丙。乙：丁是罪犯。丙：如果我作案，那么丁是主犯。丁：作案的不是我。四个口供中只有一个是假的。如果上述断定为真，那么以下哪项是真的？A说假话的是甲，作案的是乙。B 说假话的是丁，作案的是丙和丁。C说假话的是乙，作案的是丙。D 说假话的是丙，作案的是丙。E 说假话的是甲，作案的是甲。假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是，那么这个数能被整除；这个数的末位是，所以这个数能被
37、整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)传递性关系推理，ab，bc，所以ac。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。在小学数学中虽然没有初中类似于数学证明等严密规的演绎推理，但是在很多结论的推导过程中间接地应用了演绎推理。如推导出平行四边形的面积公式之后，三角形的面积公式的推导
38、过程是先把两个同样的三角形拼成一个平行四边形，再根据平行四边形的面积公式推出三角形的面积公式。这个过程实际上应用了演绎推理，如下：平行四边形的面积等于底乘高，两个同样的三角形的面积等于平行四边形的面积，所以两个同样的三角形的面积等于底乘高；因而一个三角形的面积就等于底乘高的积除以2。小学数学中推理思想的应用如下表。思想方法知识点应用举例不完全归纳法找规律找数列和图形的规律整数计算四则计算法则的总结运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不变的规律分数分数的基本性质面
39、积长方形面积公式的推导体积长方体体积公式的推导圆柱体积公式的推导圆锥体积公式的推导完全归纳法三角形三角形角和的推导类比推理整数读写法亿以与亿以上的数的读写，与万以数的读写相类比整数的运算四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比小数的运算整数的运算法则、顺序和定律推广到小数分数的运算整数的运算顺序和运算定律推广到分数除法、分数和比除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比面积与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式。长
40、度、面积、体积线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量问题解决数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比鸡兔同笼不同素材的鸡兔同笼问题的类比抽屉原理不同素材的抽屉原理问题的类比三段论多边形多边形角和的推导面积正方形面积公式的推导平行四边形面积公式的推导三角形面积公式的推导梯形面积公式的推导圆面积公式的推导体积正方体体积公式的推导选言推理类似于人教版二年级上册数学广角中的“猜一猜”假言推理根据概念、性质等进行判断的一些问题关系推理大小比较、恒等变形、等量代换等等九、化归的思想方法1. 化
41、归思想的概念。人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。2. 化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体
42、的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则： （1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度
43、上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是
44、重要的原则之一。 3. 化归思想的具体应用。学生面对的各种数学问题，可以简单地分为两类：一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；另一种是陌生的知识、或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决的问题。如知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形面积公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二类问题转化为第一类问题。解决问题的过程，从某种意义
45、上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。化归思想在小学数学中的应用如下表。知识领域知识点应用举例数与代数数的意义整数的意义：用实物操作和直观图帮助理解小数的意义：用直观图帮助理解分数的意义：用直观图帮助理解负数的意义：用数轴等直观图帮助理解四则运算的意义乘法的意义：若干个相同加数相加的一种简便算法。除法的意义：乘法的逆运算。四则运算的法则整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法。小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算。小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点。小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数除法的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点
46、对齐。分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法。分数除法：转化为分数乘法。四则运算各部分间的关系a + b = c, c a = bab=c, a=cb简便计算利用运算定律进行简便计算方程解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）。解决问题的策略化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等。化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮助推理。化实际问题为数学问题：化一般问题为特殊问题：化未知问题为已知问题：空间与图形三角形角和通过操作把三个角转化为平角多边形的角和转化为三角形求角和面积公式正方形的面积：转化为长方形求面积平行四边形面积：转化为长方形求面积三角形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积圆的面积：转化为长方形求面积组合图形的面积：转化为求基本图形的面积体积公式正方体的体积：转化为长方体求体积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆锥体积：转化为圆柱求体积