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1、单元素养评价(四)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(每题5分,共40分)1李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同把戏的裙子,另有两套不同样式的连衣裙“五一节需选择一套服装参加歌舞演出,那么不同的选择方式有()A24种 B14种 C10种 D9种【解析】选B.由题意可得李芳不同的选择方式有43214种2自2022年起,山东夏季高考成绩由“33组成,其中第一个“3指语文、数学、英语3科,第二个“3指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目某同学方案从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,那么该同学3科选考科目的不同选法的种
2、数为()A6 B7 C8 D9【解析】选D.某同学方案从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,那么该同学3科选考科目的不同选法的种数为CC9.3电影?夺冠?讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,是一部见证中国体育改革40年的力作,该影片于2022年9月25日正式上映在?夺冠?上映当天,一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为平安起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐,那么不同的坐法种数是()A8 B12 C16 D20【解析】选C.根据题意,将两名家长、孩子全排列,有A24种排法,其中两个孩子相邻且
3、在两端的情况有AAA8种,那么每个小孩子要有家长相邻陪坐的不同坐法有24816种4.如下图,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,那么最多的栽种方案有() A180种 B240种 C360种 D420种【解析】选D.由题意知,最少用三种颜色的花卉,按照花卉选种的颜色可分为三类方案,即用三种颜色,四种颜色,五种颜色.当用三种颜色时,花池2,4同色和花池3,5同色,此时共有A种方案当用四种颜色时,花池2,4同色或花池3,5同色,故共有2A种方案当用五种颜色时有A种方案因此所有栽种方案为A2AA420种5甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮
4、比赛,得出了第1至第5名的不同名次,甲、乙两人向裁判询问成绩,裁判对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军对乙说:“你当然不是最差的根据裁判的答复,5人的名次排列共有_种不同的情况()A54B108C210D96【解题指南】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名乙的限制最多,故先排乙,有3种情况;再排甲,也有3种情况;余下的问题是三个元素在三个位置全排列,根据分步乘法计数原理得到结果【解析】选A.第一名不是甲和乙,那么只能是丙、丁、戊三人中某一个,有C种选法,而乙不是最差的,那么乙只可能是第二、三、四名,有C种可能,再将剩下的三人排成一列,依次插入即可,由分步乘法计数原理可知,共有CCA54种不同的情况
5、6假设二项式(2x)10,按(2x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10的方式展开,那么展开式中a8的值为()A90 B180 C360 D405【解析】选D.由题意得,(2x)10(2x)103(1x)10,所以展开式的第9项为T9C(3)2(1x)8405(1x)8,即a8405.【加练固】设(2x)5a0a1xa2x2a5x5,那么的值为()ABCD1【解析】选B.令x1,可得a0a1a2a3a4a51,再令x1可得a0a1a2a3a4a535.两式相加除以2求得a0a2a4122,两式相减除以2可得a1a3a5121.由题意得a51,故.7甲、乙、丙 3人站到共有7级的
6、台阶上,假设每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,那么不同的站法种数是()A210 B336 C84 D343【解析】选B.由题意知此题需要分组解决,因为对于7级台阶上每一级只站一人有A种;假设有一级台阶有2人另一个是1人,那么共有CA种,所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数为ACA336.8某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)(m1,n1)或(m,n)(m1,n1).假设该动点从原点出发,经过6步运动到点(6,2),那么不同的运动轨迹有()A15种 B14种 C9种 D103种【解析】选C.由运动规律可知,每一步的
7、横坐标都增加1,只需考虑纵坐标的变化,而纵坐标每一步增加1(或减少1),经过6步变化后,结果由0变到2,因此这6步中有2步是按照(m,n)(m1,n1)运动的,有4步是按照(m,n)(m1,n1)运动的,因此,共有C15种,而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),当第一步(m,n)(m1,n1)时不符合要求,有C种;当第一步(m,n)(m1,n1),但第二、三两步为(m,n)(m1,n1)时也不符合要求,有1种,故要减去不符合条件的C16种,故共有1569种二、多项选择题(每题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9有四位学生参加三项不同的竞
8、赛,那么以下说法正确的选项是()A每位学生必须参加一项竞赛,那么不同的参赛方法有64种B每项竞赛只许有一位学生参加,那么不同的参赛方法有81种C每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,那么不同的参赛方法有24种D每位学生只参加一项竞赛,每项竞赛至少有一位学生参加,那么不同的参赛方法有36种【解析】选CD.根据题意,依次分析选项:对于A,每位学生必须参加一项竞赛,那么每位学生都有三种参赛方法,故四位学生有N33333481种A不正确;对于B,每项竞赛只许有一位学生参加,每一项可以挑4名不同的学生,故有N4444364种B不正确;对于C,原问题等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个
9、工程的竞赛,每人参加一项,故共有43224种,C正确;对于D,先把四个学生分成三组,再分配到三个比赛中,故共有CA36种D正确10假设C3C,那么m的取值可能是()A6 B7 C8 D9【解析】选BC.根据题意,对于C和3C,有0m18且0m8,那么有1m8,假设C3C,那么有3,变形可得:m273m,解得:m,综合可得:0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,那么以下说法正确的选项是()A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含x15项的系数为45【解析】选BCD.因为(a0)的展开式中第5项与第
10、7项的二项式系数相等;所以CCn10;因为展开式的各项系数之和为1 024,所以(a1)101 024;因为a0;所以a1.原二项式的二项式通项为:Tk1C(x2)10kCx20k;展开式中奇数项的二项式系数和为:1 024512,故A错;因为此题中二项式系数和项的系数一样,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,B对;令20k0k8,即展开式中存在常数项,C对;令20k15k2,C45,D对三、填空题(每题5分,共20分)13(2022全国卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,那么不同的安排方法共有_种【解析】因为4名同学到3个小区
11、参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C6(种),现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:A6(种),根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有6636(种).答案:36【补偿训练】甲、乙、丙、丁4人进行篮球训练,互相传球,要求每人接球后立即传给别人,开始由甲发球,并作为第一次传球,第四次传球后,球又回到甲手中的传球方式共有_种【解析】可以分两类:其一是第一次甲传球给乙、丙、丁,有C种;第二次是传球给甲,有1种;第三次是甲传球给乙、丙、丁,有C种;第四次是传给甲,有1种;由分步乘法计数原理可得C1C19种;第二类是第一次甲先传
12、给乙、丙、丁,有C种;第二次分别传给其他两人,有C种;第三次再分别传给另外两人,有C种;第四次传给甲,只有1种;由分步乘法计数原理可知CCC112种,由分类加法计数原理可得所有传球方式共有91221(种).答案:2114多项式x5a1x4a2x3a3x2a4x1a5,那么a4_,a5_.【解析】因为多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4x1a5,a4为x1项的系数,所以根据二项式定理得a4C122213C216,a5是常数项,所以a513224.答案:16415在n的二项展开式中,假设常数项为60,那么n等于_【解题指南】利用二项式通项,化简后令未知数x的指数等于0,从而确
13、定通项公式中r与n的等式,再根据常数项等于60,得到另一个r与n的等式,解方程组即可得【解析】Tr1C2rCx,n,rN*,得解得n6.答案:616某公园划船收费标准如表:船型两人船(限乘2人)四人船(限乘4人)六人船(限乘6人)每船租金(元/小时)90100130某班16名同学一起去该公园划船,假设每人划船的时间均为1小时,每条船必须坐满,那么租船最低总费用为_元,租船的总费用共有_种可能【解析】当租两人船时,租金为:90720元,当租四人船时,租金为:100400元,当租1条四人船,6条两人船时,租金为:100690640元,当租2条四人船,4条两人船时,租金为:2100490560元,当
14、租3条四人船,2条两人船时,租金为:3100290480元,当租1条六人船,5条2人船时,租金为:130590580元,当租2条六人船,2条2人船时,租金为:2130290440元,当租1条六人船,1条四人船,3条2人船时,租金为:130100390500元,当租1条六人船,2条四人船,1条2人船时,租金为:130210090420元,当租2条六人船,1条四人船时,租金为:2130100360元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能答案:36010四、解答题(共70分)17(10分)有9名学生,其中2名会下象棋但不会下围棋,3名会下围棋但不会下象棋,4名既会下围棋又会下象
15、棋现在要从这9名学生中选出2名学生,一名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法?【解析】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C,那么选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类:第一类:A中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为CC6(种);第二类:C中选1人参加象棋比赛,B中选1人参加围棋比赛,方法数为CC12(种);第三类:C中选1人参加围棋比赛,A中选1人参加象棋比赛,方法数为CC8(种);第四类:C中选2人分别参加两项比赛,方法数为A12(种);由分类加法计数原理,选派方
16、法数共有:61281238(种).18(12分)(2021南通高二检测)在(n3,nN*)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列(1)求n的值;(2)求展开式中含x2的项【解析】(1)因为在(n3,nN*)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,所以2CCC,求得n7或n2(舍去).(2)二项式通项为Tk1Cx,令2,求得k2,可得展开式中含x2的项为T3Cx2x2.19(12分)高二某班级有5名男生,4名女生排成一排(以下结果用数字作答)(1)从中选出3人排成一排,有多少种排法?(2)假设4名女生互不相邻,9名同学排成一排,有多少种不同的排法?【解析】(1)从9人
17、中选出3人排成一排有A504种排法(2)5名男生排成一排的排法有A种,4名女生插空有A种情况,那么由分步乘法计数原理得4名女生互不相邻有AA43 200种排法20(12分)(2021武汉高二检测)某医院有内科医生8名,外科医生6名,现选派4名参加某医疗队(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?【解析】(1)根据题意,某医院有内科医生8名,外科医生6名,共14人,从中选取4人,有C1 001种选法,其中甲、乙都没有参加的情况有C495种,那么甲、乙两人至少有一人参加的选法有1 001495506种(2)根据题意,从14人中任选4人
18、,有C1 001种选法,其中只有内科医生的选法有C70种,只有外科医生的选法有C15种,那么医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法有1 0017015916种21(12分)在(2x3y)10的展开式中,求:(1)各项的二项式系数的和(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和(3)各项系数之和(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和【解题指南】(1)根据二项式系数的性质求解(2)可采用赋值法,根据二项式定理,求得奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和,也可直接应用二项式系数的这局部性质,写出答案(3)采用赋值法,令xy1,求得各项系数之和(4)采用赋值法,令x1,y1,结合
19、(3),可分别求得奇数项系数的和与偶数项系数的和【解析】(1)各项的二项式系数的和为CCCC2101 024.(2)奇数项的二项式系数的和为CCC29512;偶数项的二项式系数的和为CCC29512.(3)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10 (*),各项系数之和即为a0a1a2a10,由于(*)是恒等式,故可用“赋值法求解令(*)中xy1,得各项系数之和为(23)10(1)101.(4)奇数项系数的和为a0a2a4a10,偶数项系数的和为a1a3a5a9.由(3)知a0a1a2a101. 令(*)中x1,y1,得a0a1a2a3a10510. ,得2(a0a2a10
20、)1510,故奇数项系数的和为 ;,得2(a1a3a9)1510,故偶数项系数的和为.22(12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样两人在不同汽车上效劳算作不同的情况(1)有几种不同的分配方法?(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员,有几种不同的分配方法?(3)男售票员和女售票员分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男女合在一起共有8人,每个车上安排2人,可以分四个步骤完成,先安排2人上第一辆车,共有C种,再安排第二辆车共有C种,再安排第三辆车共有C种,最后安排第四辆车共有C种,这样不同的分配方法有CCCC2 520(种).(2)要求男女各1人,因此先把男售票员安排上车,共有A种不同方法,同理,女售票员也有A种方法,由分步乘法计数原理,男女各1人的不同分配方法为AA576(种).(3)男女分别分组,4位男售票员平分成两组共有3种不同分法,4位女售票员平分成两组也有3种不同分法,这样分组方法就有339(种),对于其中每一种分法又有A种上车方法,因而不同的分配方法有9A216(种).