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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 年高考数学一轮复习精品学案年高考数学一轮复习精品学案（人教版人教版 A 版版）-空间几空间几何体的表面积和体积何体的表面积和体积一【课标要求】一【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二【命题走向】二【命题走向】近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题
2、转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测 2010 年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三【要点精讲】三【要点精讲】1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底h正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下
3、底+下底下底SS)正棱台21(c+c)h表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)31r2h31h(r21+r1r2+r22)34R3表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网四【典例解析】四【典例解析】题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方
4、体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：24)(420)(2zyxzxyzxy)2()1(由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=5，AD
5、=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=3。（1）求证：顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积图 1图 2解析：（1）如图 2，连结 A1O，则 A1O底面 ABCD。作 OMAB 交 AB 于 M，作ONAD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N。由三垂线定得得 A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而 OM=ON。点 O 在BAD 的平分线上。（2）AM=AA1cos3=321=23AO=4cosAM=223。又在 RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=929=29，A1
6、O=223，平行六面体的体积为22345V230。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网PABCDOE题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）A23B32C6D6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b2，c3，则对角线 l 的长为l=6222cba；答案 D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1V2=_。
7、解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则 V=V1+V2Sh。E、F 分别为 AB、AC 的中点，SAEF=41S,V1=31h(S+41S+41S)=127ShV2=Sh-V1=125Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型 3：锥体的体积和表面积例 5 7.(2009 山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.22 3B.42 3C.2 323D.2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,
8、四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,22侧(左)视图222正(主)视图http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.（2009 四川卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形，ABPAABCPA2,平面则下列结论正确的是A.ADPB B.PAB平面PBC平面C.直线BCPAE平面D.直线ABCPD与平面所成的角为 45【答案】【答案】D【解析【解析】AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂
9、直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BCAD平面 PAD,直线BCPAE平面也不成立。在PADRt中，PAAD2AB，PDA45.D 正确（2009 全国卷文）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的面积等于47，则球 O 的表面积等于答案：答案：8解 析：本 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识，注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进 行 运 算，由解 析：本 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识，注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进
10、行 运 算，由.8)14474(4422RS例 61.(2009 年广东卷文)（本小题满分 13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线 BD平面 PEGhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：P EFGHABCD EFGHVVV2214060402032000320006400032cm
11、（）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO 平面 EFGH,POHF又EGHFHF平面 PEG又BDHFPBD平面 PEG；.例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且 GC2，求点 B 到平面 EFC 的距离？解：如图，取 EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 BEFG。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD，EF，CO。而 GC平面 ABCD，且 GC2。由，得点
12、评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B为顶点，EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 82009 年上海卷理）已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是_.【答案】12323SSS【解析】2114 RS，112RS，同理：222RS332RS，即 R121S，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网R222S，R323S，由32132RRR得12323SSS例 9（2009 安徽卷文）（本小题满分 13
13、 分）如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同点，且 EA=ED，FB=FC，和是平面 ABCD 内的两点，和都与平面 ABCD 垂直，（）证明：直线垂直且平分线段 AD：（）若EAD=EAB=60，EF=2，求多面体 ABCDEF 的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想【解析】(1)由于 EA=ED 且EDABCDE DE C面点 E在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F在线段 BC 的垂直平分线上.又 ABCD 是四方形线段 BC 的垂直平分线也就是线段 A
14、D 的垂直平分线即点 EF都居线段 AD 的垂直平分线上.所以,直线 EF垂直平分线段 AD.(2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF两部分.设 AD 中点为 M,在 RtMEE中,由于 ME=1,32MEEE.EVABCD2114 222333SABCD EE四方形又EVBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC21112 2223323ABCSEE多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDVEBCF=2 2例 10（1）（2009 浙江卷理）如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动
15、点现将AFD沿AF折起，使平面ABD 平面ABC在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案：1,12【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，1t，随着 F点 到 C 点 时，因,CBAB CBDKCB平 面ADB，即 有CBBD，对 于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值范围是1,12.例 113.（2009 浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视
16、图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39，上面的长方体体积为3 3 19 ，因此其几何体的体积为 18例 122009 全国卷理）直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.例 13已知过球面上,A B C三点的截面和球心的距离为球http:/ 永久免费组
17、卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网半径的一半，且2ABBCCA，求球的表面积解：设截面圆心为O，连结O A，设球半径为R，则232 32323O A，在Rt O OA中，222OAO AO O，2222 31()34RR，43R，26449SR。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 14如图所示，球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且
18、 PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=2a,且 P 在ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。由正弦定理，得60sin2a=2r,r=36a。又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，而 PO平面 ABC，P、O、O共线，球的半径 R=22dr。又 PO=22rPA=2232aa=33a，OO=R 33a=d=22rR,(R33a)2=R2(36a)2，解得 R=23a,S球=4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R=23a,下略题型 9：球的面积、体积综合问题http:/ 永久免
19、费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例 15（1）表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球，求球 O1的体积。解：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14AA，2ACa，又24324R，9R，228 2ACACCC，8a，64 232 14576S 表（2）如图，设球 O 半径为 R，球 O1的半径为 r，E 为 CD 中点，球 O 与平面 ACD、BCD切于点 F、G，球 O1与平面 ACD 切于点 H由题设aGEAEAG
20、3622AOFAEGaRaaR233663，得aR126AO1HAOFRrRarRa36236，得ar246http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网3331728624634341aarVO球点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）（2）在半径为13cm的球面上有,A B C三点，12ABBCACcm，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径，OKAK，设C是北纬4
21、0的纬线长，40AOBOAK，22cos2cos40CAKOAOAKOA42 3.14 6370 0.76603.066 10()km答：北纬40纬线长约等于43.066 10 km（2）解：设经过,A B C三点的截面为O，设球心为O，连结OO，则OO 平面ABC，32124 323AO，2211OOOAOA，所以，球心到截面距离为11cm例 16在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网长为24R（R为地球半径），求,A B两点间的球面距离解：设北纬45圈的半径为r，则24rR，设O为北纬45圈的圆心，BAO
22、，24rR，2224RR，2，2ABrR，ABC中，3AOB，所以，,A B两点的球面距离等于3R点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离2009 江苏卷）（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，E、F分别是1AB、1AC的中点，点D在11BC上，11ADBC。求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面1AFD 平面11BBC C.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分五【思维总结】五【思维总结】1正四面体的性质设正四面体的棱长为 a，则这个正四面体的(
23、1)全面积：S全=3a2；(2)体积：V=122a3；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网(3)对棱中点连线段的长：d=22a；(4)内切球半径：r=126a；(5)外接球半径R=46a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体 AOCB 中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面 ABC 是锐角三角形；直角顶点 O 在底面上的射影 H 是ABC 的垂心；体积V=61abc；底面AB
24、C=21222222accbba；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC21OH=21a+21b+21c;外切球半径R=21222cba；内切球半径r=cbaABCBOCAOBS-SS3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，底面半径为r，则sin=cos2=lh，+2=90cos=sin2=lr.圆台如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，上、下底面半径分别为 r、r，则 h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆
25、；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网r=22d-R.4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中 R 为球半径，为 A,B 所对应的球心角的弧度数）