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1、课时素养评价二十五函数奇偶性的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)f(1).则下列各式中一定成立的是()A.f(-3)f(-1)B.f(0)f(5)C.f(-1)f(0)【解析】选AC.因为f(x)为偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),又f(3)f(1),所以f(-3)f(-1),f(3)f(-1)都成立.2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y=|x|B.y=(x0)C.y=-x2D.y=-x【解析】选D.根据题意
2、,依次分析选项:对于A,y=|x|,为偶函数,不符合题意;对于B,y=,(x0),是奇函数但在其定义域上不是减函数,不符合题意;对于C,y=-x2,是二次函数,为偶函数,不符合题意;对于D,y=-x,是正比例函数,在其定义域内既是奇函数又是减函数,符合题意.3.已知函数f(x)和g(x)满足f(x)=2g(x)+1,且g(x)为R上的奇函数,f(-1)=8,求f(1)=()A.6B.-6C.7D.-7【解析】选B.因为f(-1)=2g(-1)+1=8,所以g(-1)=,又因为g(x)为奇函数,所以g(-1)=-g(1).所以g(1)=-g(-1)=-,所以f(1)=2g(1)+1=2+1=-6
3、.4.定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)0时,由f(x)=0=f(3)得0x3,当x0时由f(x)=0=f(-3),所以x-3,当x=0时f(x)=0不符合题意,故f(x)0的解集为(-,-3)(0,3).【加练固】 已知奇函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,且f(1)=0,则不等式0的解集为()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)【解析】选C.根据题意,函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,且f(1)=0,则在(0,1)上,f(x)0.又由f(x)为奇函数,则在(-,-1)上,f(x)0,
4、0或,则有-1x0或0x1,即不等式0的解集为(-1,0)(0,1).二、填空题(每小题4分,共8分)5.定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2+-x,则f(x)=_.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f=0; 又因为x0时,f(x)=-f(-x)=-2x2+-x; 综上,f(x)=答案:6.设f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,则b=_,f(x-1)f(3)的解集为_.【解析】f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,所以-2b+3+b=0,所以b=3,所以f(x)是定义在-6,6上的偶函数,且在-6,0上为增函数,所以f(x)在0,6上
5、为减函数,所以由f(x-1)f(3)得:.解得-2x4,所以f(x-1)f(3)的解集为:x|-2x4.答案:3x|-2x4三、解答题(共26分)7.(12分)试探究函数y=1-的性质,并作出函数的图像.【解析】函数的定义域为D=x|x0,从而可知函数的图像有左右两部分.设f(x)=1-,则对任意xD都有-xD,而且f(-x)=1-=1-=f(x),所以函数f(x)=1-是偶函数,函数的两部分图像关于y轴对称.因为x1,x2(0,+),且x10,所以函数f(x)=1-在(0,+)上是增函数,且f(x)1.列出部分函数值如表所示,描点作图.x123f(x)=1-30再根据函数是偶函数,可得出函数
6、图像如图所示.8.(14分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时,f(x)=.(1)求f(2)的值;(2)证明:y=f(x)在区间(-,0)上是减函数.(3)求f(x)的解析式【解析】(1)根据题意,由函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=1+,则f(2)=-f(-2)=-=-;(2)任取x1,x2(-,0),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=(1+)-=-=,所以=-,又由x1-10,x2-10,可得0时,-x0的解集为_.【解析】根据题意,偶函数f(x)在(-,0上单调递减,则在0,+)上递增,又由f(2)=0,则在(0,2)上,f(x)0,又由f(x)为偶函数,则在(-
7、,-2)上,f(x)0,在(0,2)上,f(x)0或,解得-2x2,即不等式的解集为(-2,1)(2,+).答案:(-2,1)(2,+)5.(14分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时f(x)=-x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立,求实数t的取值范围.【解析】(1)当x0,又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x2+2x)=x2-2x,所以f(x)=;(2)f(m-1)+f(m2+t)0,所以f(m-1)-f(m2+t),又f(x)是奇函数,所以f(m-1)-t-m2恒成立,所以t-m2-m+1=-+
8、恒成立,所以t即实数t的范围为.1.函数f(x)是一个偶函数,g(x)是一个奇函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)等于()A.B.C.D.【解析】选A.由题知f(x)+g(x)=以-x代x,式得f(-x)+g(-x)=,即f(x)-g(x)=+得f(x)=.2.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若a=1,求f(x)的最小值.【解析】(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a0时f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),f(a)-f(-a),此时, f(x)为非奇非偶函数.(2)因为a=1,所以f(x)=x2+|x-1|+1=当x1时,f(x)=-2,当x1时,f(x)=x2-x+2=+,故函数f(x)的最小值为.8