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1、-基础数学(第2册)电子教案(第七章)-第 13 页第7章 数列与数学归纳法课题7.1 数列的概念【教学目标】1掌握数列的定义。2掌握数列的通项公式。【教学重点】数列的定义和通项公式。【教学难点】任意角的表示方法。【教学设计】首先介绍数列的定义，然后介绍数列的通项公式，最后通过例题和练习所学知识。【教学设备】电脑、投影仪。【教学时间】2课时（90 min）。【教学过程】环节教学内容教师活动学生活动设计意图新课讲解一、数列的定义按照一定次序排成的一列数称为数列数列中的每一个数称为这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的
2、第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成，简记为其中，反映各项在数列中位置的数字分别称为对应各项的项数项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列例1 写出正偶数按从小到大顺序构成的数列，并指出第一项和第五项各是多少解 正偶数按从小到大顺序构成的数列为因此，二、数列的通项公式如果数列的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个公式就称为这个数列的通项公式各项都相等的数列称为常数列例2 已知数列的前4项，写出它们的一个通项公式：（1）； （2）解 （1）观察数列的前4项与其项数的关系， ， 由此可知，该数列的通项公式为（2）观察数列的前4项与其项数的
3、关系， ， 由此可知，该数列的通项公式为讲解说明分析讲解提问讲解说明分析讲解提问理解记忆思考回答理解理解记忆思考回答理解讲解数列的定义结合例题加深理解讲解数列的通项公式通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解理解应用练习7.1.11说说生活中常见的一些数列2数列和数列是同一个数列吗？3已知数列为，指出其中，各是多少？4指出下列数列中，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列：（1）020之间的质数按从小到大顺序构成的数列；（2）2的正指数幂按从小到大顺序构成的数列；（3）数列；（4）数列；练习7.1.21已知数列的前4项，写出它们的一个通项公式：（1）；（2）；（3）；（4）2根据下面数列的通项公式
4、，写出它们的前5项：（1）； （2）；（3）； （4）3观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出它们的一个通项公式：（1）；（2）；（3）4在商店里分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，第四层放16个，如此下去，第六层放几个？提问巡视指导思考动手解答交流通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况归纳总结1数列的定义。2数列的通项公式。回顾总结思考记忆通过归纳总结，回顾所学知识课后练习完成教材中习题7.1布置作业动手解答通过练习，巩固所学知识课题7.2 等差数列【教学目标】1掌握等差数列的定义。2掌握等差数列的通项公式。3掌握等差数列的前n项和公式【教学重点】等差数列的通项公
5、式和前n项和公式。【教学难点】等差数列的通项公式和前n项和公式。【教学设计】首先讲解等差数列的定义，然后介绍等差数列的通项公式和前n项和公式，然后通过例题讲解强化所学知识，最后通过练习巩固。【教学设备】电脑、投影仪。【教学时间】2课时（90 min）。【教学过程】环节教学内容教师活动学生活动设计意图新课讲解一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示如果三个数成等差数列，则，即此时，A就称为a与b的等差中项例1 求出下列等差数列中的未知项：（1）；（2）解 （1）由等差中项定义，可得
6、（2）由等差中项定义，可得二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为 （7-1）例2 求等差数列的第5项和第15项解 因，所以该数列的通项公式为该数列的第5项为该数列的第15项为例3 等差数列的第几项是59？解 因，所以该数列的通项公式为设该数列的第n项等于59，则，解得 因此，该数列的第20项为59三、等差数列的前n项和公式由此得到等差数列的前n项和公式为 （7-2）将等差数列的通项公式代入上式，可得 （7-3）例6 在等差数列中，求前20项的和解 由已知条件可得，解得 因此，其前20项之和为例7 已知数列的前n项和公式为，求出这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列？解 因为 所以当时，
7、也适合上式，所以该数列的通项公式为又因为因此，是等差数列讲解说明分析讲解提问讲解说明分析讲解提问讲解说明分析讲解提问理解记忆思考回答理解理解思考思考回答理解理解思考思考回答理解讲解等差数列的定义通过例题加深理解讲解等差数列的通项公式通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解解等差数列的前n项和的公式通过例题加深学生理解理解应用练习7.2.11判断下列数列是否为等差数列：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2求出下列等差数列中的未知项：（1）；（2）3在2和26之间插入5个数，使它们与这两个数构成等差数列，求这个数列的中间项练习7.2.21求等差数列的第4项和第10项2等差数列的第几项是？3
8、在等差数列中：（1）已知，求；（2）已知，求及；（3）已知，求；（4）已知，求4为了参加冬季奥运会的长跑，某同学给自己制定了7天的训练计划：第一天跑，以后每天比前一天多跑问这个同学第7天应该跑多少米的距离？5梯子的最高一级宽，最低一级宽，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度练习7.2.31在等差数列中：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求2已知数列的前n项和公式为，求出这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列？3屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一排铺了瓦片21块，后面每一排比前一排多铺3块，一共有20排，求该斜面共铺瓦片多少块？4某多边形的边长等于，各边的长成等差
9、数列，最小边的长为，公差为，求多边形的边数 提问巡视指导思考动手解答交流通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况归纳总结1等差数列的定义。2等差数列的通项公式。3等差数列的前n项和公式。回顾总结思考记忆通过归纳总结，回顾所学知识课后练习完成教材中习题7.2布置作业动手解答通过练习，巩固所学知识课题7.3 等比数列【教学目标】1掌握等比数列的定义。2掌握等比数列的通项公式。3掌握等比数列的前n项和公式。【教学重点】等比数列的通项公式和前n项和公式。【教学难点】等比数列的通项公式和前n项和公式。【教学设计】首先讲解等比通项的定义，然后介绍等比数列的通项公式和前n项和公式，然后通过例题与练习巩固相关
10、知识。【教学设备】电脑、投影仪。【教学时间】2课时（90 min）。【教学过程】环节教学内容教师活动学生活动设计意图新课讲解一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母q表示如果三个数a，G，b成等比数列，则即 此时，G就称为a与b的等比中项例1 求出下列等比数列中的未知项：（1）；（2）解 （1）由等比中项定义，可得，解得 （2）由等比数列定义，可得，则，将代入中，可得，解得 将代入中，可得二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为 （7-4）例2 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和
11、18，求它的第1项和第2项解 设这个等比数列的第1项为公比为q，那么 ，得将代入式，可得于是三、等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为 （7-5）例6 求下列数列前8项的和：（1）； （2）解 （1）因，所以，当时，（2）因，所以，当时，讲解说明分析讲解提问讲解说明分析讲解提问讲解说明分析讲解提问理解记忆思考回答理解理解记忆思考回答理解理解记忆思考回答理解讲解等比数列的定义通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解讲解等比数列的通项公式通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解讲解等比数列的前n项和公式结合例题增加理解理解应用练习7.3.11判断下列数列是否为等比数列：（1）；（2
12、）；（3）；（4）；（5）；（6）2求出下列等比数列中的未知项：（1）；（2），且3在2和578之间插入3个数，使它们与这两个数构成等比数列，求该数列的中间项练习7.3.21一个等比数列的第2项和第3项分别是和20，（1）求它的第5项和第6项；（2）求它的通项公式2求等比数列的第4项和第5项3已知等比数列中，判断是否为数列中的项，如果是，是第几项，如果不是，请说明理由4某企业2014年的年产值为2 000万元，若产值在2014年的基础上，每年递增10%，问2020年该企业的年产值能够达到多少万元?（精确到0.01万元）5某人计划贷款买一部家用汽车，贷款150 000元，贷款期限为5年，年利率为
13、5.20%，按复利计息法计算利息如果5年后一次性还款，此人应偿还银行多少钱？（精确到0.01元）练习7.3.31求等比数列前10项的和2在等比数列中：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求3某商场第一年销售计算机5 000台，如果以后每年的销售量都比上一年增长10%，那么该商场5年可销售计算机多少台？（精确到1台）4一条信息，若一人得知后用一小时将信息传递给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的两个人，如此继续下去，24小时可以有多少人知道此信息？提问巡视指导思考动手解答交流通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况归纳总结1等比数列的定义。2等比数列的通项公式。3等比数列的前n项
14、和公式。回顾总结思考记忆通过归纳总结，回顾所学知识课后练习完成教材中习题7.3布置作业动手解答通过练习，巩固所学知识课题7.4 数学归纳法【教学目标】掌握数学归纳法。【教学重点】数学归纳法。【教学难点】数学归纳法。【教学设计】讲解数学归纳法的一般步骤，根据例题和练习巩固相关知识。【教学设备】电脑、投影仪。【教学时间】2课时（90 min）。【教学过程】环节教学内容教师活动学生活动设计意图新课讲解一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）证明当n取第一个值时，命题成立；（2）假设时命题成立，证明当时命题也成立根据以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明
15、方法称为数学归纳法应用数学归纳法，可以对许多数学猜想进行验证，如哥德巴赫猜想、费马猜想、四色猜想等应用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤可用框图表示，如图7-2所示图7-2例1 用数学归纳法证明：如果数列是一个等差数列，公差为d，那么对任意都成立证明 （1）当时，左边，右边，等式成立（2）假设时，等式成立，即，那么，当时，由于，则，即当时，等式也成立综上所述，等差数列对任意都成立讲解说明分析讲解提问理解思考思考回答理解讲解数学归纳法的一般步骤通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解理解应用练习7.41用数学归纳法证明：如果数列是一个等比数列，公比为q，那么对任意都成立2用数学归纳法证明：3用数学归纳法证明：能被6整除提问巡视指导思考动手解答交流通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况归纳总结数学归纳法回顾总结思考记忆通过归纳总结，回顾所学知识课后练习完成教材中习题7.4布置作业动手解答通过练习，巩固所学知识