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1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.5空间中的距离课后篇稳固提升必备知识根底练1.如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,那么E,F两点间的距离为()A.1B.52C.62D.32答案C解析以点A为原点,建立如下图的空间直角坐标系,那么点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+(2-22)2=62,应选C.2.平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,那么点P(-2,1,4)到的距离为()A.10B.3C.83D
2、.103答案D解析由得PA=(1,2,-4),故点P到平面的距离d=|PAn|n|=|-2-4-4|3=103.3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,那么点A到直线BE的距离是()A.655B.455C.255D.55答案B解析建立空间直角坐标系如下图,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),那么BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),设ABE=,那么cos=|BABE|BA|BE|=225=55,sin=1-cos2=255.故A到直线BE的距离d=|AB|sin=2255=455.4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB
3、=12,那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5B.8C.6013D.133答案C解析方法一以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系,那么C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=(0,0,-5).设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由nBC,nCD1,得nBC=(a,b,c)(-x,0,0)=-ax=0,nCD1=(a,b,c)(0,-12,5)=-12b+5c=0,所以a=0,b=512c,所以可取n=(0
4、,5,12).又B1B=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1Bn|n|=6013.因为B1C1平面A1BCD1,所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013.方法二因为B1C1BC,所以B1C1平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1EA1B于点E.因为BC平面A1ABB1,且B1E平面A1ABB1,所以BCB1E.又BCA1B=B,所以B1E平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在RtA1B1B中,B1E=A1B1B1BA1B=12552+122=6013,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为
5、6013.5.ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.假设球O的外表积为16,那么圆心O到平面ABC的距离为()A.3B.32C.1D.32答案C解析由题意可知图形如图,ABC是面积为934的等边三角形,可得34|AB|2=934,即AB=BC=AC=3,所以AO1=23323=3,球O的外表积为16,设球O的半径为R,所以4R2=16,解得R=2,所以圆心O到平面ABC的距离为4-3=1.6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120的二面角,那么AB的长度为.答案211解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A,B,那么|AA|=3,|BB
6、|=2,|AB|=5,又AB=AA+AB+BB,|AB|2=32+52+22+23212=44,|AB|=211.7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,那么点D1到直线GF的距离为.答案423解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如下图的空间直角坐标系,那么D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以|GFGD1|GF|=2-13=13,|GD1|=5,所以点D1到直线GF的距离为5-13=423.8.如图,在三棱柱
7、ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1底面ABC,那么点B1到平面ABC1的距离为.答案217解析建立如下图的空间直角坐标系,那么A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),那么C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),那么有C1An=32x+12y-1=0,C1Bn=y-1=0,解得n=33,1,1,那么所求距离为|C1B1n|n|=113+1+1=217.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,BAC=90,M为BB1的中点,N为BC的中点.(
8、1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.解(1)建立如下图的空间直角坐标系,那么A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=|AM|2-|AMs0|2=5-12=322.(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),那么nA1C1=0,且nA1M=0,即(x,y,z)(0,2,0)=0,且(x,y,z)(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1
9、,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故点N到平面MA1C1的距离d=|MNn|n|=|-1-2|12+22=355.关键能力提升练10.(多项选择)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,那么以下结论不正确的选项是()A.AE=32B.EAD为AE与平面ABD所成的角C.DE为点D到平面ABC的距离D.AED为二面角A-BC-D的平面角答案ABC解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,那么ABC为边长是2的等边三角形.又E为BC中点,那么AE=AB2-BE2=(2)2-(22)2=3232
10、,故A错;由于DE与平面ABD不垂直,故EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;假设DE为点D到平面ABC的距离,那么DE平面ABC,故AED为直角,而在三角形ADE中,ADE为直角,矛盾,故C错;由于E为BC中点,那么AEBC,DEBC,故AED为二面角A-BC-D的平面角,故D正确.11.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,那么点B1到平面AD1C的距离为()A.83B.223C.423D.43答案A解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,那么A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4)
11、,AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,4),B1D1=(-2,-2,0).设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),那么nAC=0,nAD1=0,即-2x+2y=0,-2x+4z=0,取z=1,那么x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B1到平面AD1C的距离为|nB1D1|n|=83,应选A.12.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA底面ABCD,BCAD,ABC=90,PA=AB=BC=2,AD=1,那么AD到平面PBC的距离为.答案2解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由可知AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,
12、y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),那么PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),那么nPB,nBC,即2a-2c=0,b=0,取a=1,得n=(1,0,1).又AB=(2,0,0),所以d=|ABn|n|=2.13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,底面ABC为直角三角形,BAC=2,AB=AC=AA1=1.G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).假设GDEF,那么线段DF的长度的最小值为.答案55解析以A为坐标原点
13、,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设F(t1,0,0)(0t11),D(0,t2,0)(0t21),E0,1,12,G12,0,1.EF=t1,-1,-12,GD=-12,t2,-1.GDEF,t1+2t2=1,由此推出0t20),可得FC=(2,2,-z0).由|FC|=3,得22+22+(-z0)2=3,解得z0=1,那么F(0,0,1).因为ABDC,CD平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),那么AG=(x1,y1,z1).所以AGDF=0,且AGCD=0,而DF=(0,
14、-2,1),CD=(-2,0,0),所以-2y1+z1=0,-2x1=0,解得x1=0,所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且GFDF.又GF=(-x1,-y1,-z1+1),故有y12=-z1+1.联立,解得G0,25,45.所以|AG|为直线AB到平面EFCD的距离.而AG=0,25,45,所以|AG|=255,即直线AB到平面EFCD的距离为255.学科素养拔高练16.二面角-l-为60,动点P,Q分别在平面,内,点P到的距离为3,点Q到的距离为23,那么P,Q两点之间距离的最小值为()A.2B.2C.23D.4答案C解析作PM,QN,垂足分别为M,N.分别在平面,内作PEl,QFl
15、,垂足分别为E,F,如下图,连接ME,NF,那么MEl,PEM为二面角-l-的平面角.PEM=60.在RtPME中,|PE|=|PM|sin60=3sin60=2,同理|QF|=4.又PQ=PE+EF+FQ,|PQ|2=4+|EF|2+16+2PEEF+2PEFQ+2EFFQ=20+|EF|2+224cos120=12+|EF|2.当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,此时|PQ|=23.17.在直角梯形ABCD中,ADBC,BC=2AD=2AB=22,ABC=90,如图把ABD沿BD翻折,使得平面ABD平面BCD(如图).(1)求证:CDAB;(2)假设点M为线段BC的中点,求点M到平面
16、ACD的距离;(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60?假设存在,求出BNBC的值;假设不存在,请说明理由.(1)证明由条件可得BD=2,CD=2,CDBD.因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,又因为AB平面ABD,所以CDAB.(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),所以CD=(0,-2,0),AD=(-1,0,-1),MC=(-1,1,0).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),那么CDn,ADn,所以y=0,x+z=0,令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d=|nMC|n|=22.(3)解假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60,设BN=BC,01,那么N(2-2,2,0),所以AN=(1-2,2,-1),又因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60,所以sin60=|ANn|AN|n|=32,可得82+2-1=0,所以=14或=-12(舍去).综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成角为60,此时BNBC=14.6