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1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量基本定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c答案A解析B1M=B1B+BM=A1A+12(BA+BC)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6OP=OA+2OB+3OC,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,
2、B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面答案B解析由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即AP=2PB+3PC,AP,PB,PC共面.又三个向量的基线有同一公共点P,P,A,B,C四点共面.3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,则x的值不可能为()A.1B.0C.3D.13答案ABC解析OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四点共面,x+13+13=1,x=13.4.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A
3、,B,CC.B,C,DD.A,C,D答案A解析因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故ADAB,又AD与AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.5.下列说法错误的是()A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面B.设a,b是两个空间向量,则ab=baC.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面D.设a,b,c是三个空间向量,则a(b+c)=ab+ac答案C解析A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a,b是两个空间向量,则ab=ba,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,
4、可能不共面,故C错误;D.设a,b,c是三个空间向量,则a(b+c)=ab+ac,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C.6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,实数k=.答案1解析AD=AB+BC+CD=7e1+(k+6)e2,且AB与AD共线,故AD=xAB,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又e1,e2不共线,7-x=0,k+6-kx=0,解得x=7,k=1,故k的值为1.7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为.三个非零向量a,b,c不能构成
5、空间的一个基底,则a,b,c共面;若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;若a,b是两个不共线的向量,而c=a+b(,R且0),则a,b,c构成空间的一个基底.答案解析c与a,b共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-OABC,且OA=a,OC=b,OO=c.(1)用a,b,c表示向量AC;(2)设G,H分别是侧面BBCC和OABC的中心,用a,b,c表示GH.解(1)AC=AC+CC=OC-OA+OO=b+c-a.(2)GH=GO+OH=-OG+OH=-12(OB+OC)+12(OB+OO)=-12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(c
6、-b).9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解假设存在实数,使p=q+r,则a+b-c=(2-7)a+(-3+18)b+(-5+22)c.a,b,c不共面,2-7=1,-3+18=1,-5+22=-1,解得=53,=13,即存在实数=53,=13,使p=q+r,p,q,r共面.10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断CE与MN是否共线?解M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,MN=MA+AF+FN=12CA+A
7、F+12FB.又MN=MC+CE+EB+BN=-12CA+CE-AF-12FB,12CA+AF+12FB=-12CA+CE-AF-12FB,CE=CA+2AF+FB=2(MA+AF+FN)=2MN,CEMN,即CE与MN共线.关键能力提升练11.如图,梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,OA=a,OB=b,OC=c,向量OD=xa+yb+zc,则x,y,z分别是()A.1,-1,2B.-12,12,1C.12,-12,1D.12,-12,-1答案C解析OD=OC+CD=OC+12BA=OC+12(OA-OB)=12OA-12OB+OC=12a-12b+c,因此,x=1
8、2,y=-12,z=1.故选C.12.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG=xAB-2yBC+3zDH,则x+y+z等于()A.76B.23C.34D.56答案D解析由于AG=AB+BC+CG=AB+BC+DH,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1,那么对点M判断错误的是()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内答案ABD解析PM=PB1+7BA+6AA1-4A
9、1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,且11-6-4=1,于是M,B,A1,D1四点共面.14.已知空间单位向量e1,e2,e3,e1e2,e2e3,e1e3=45,若空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:me1=4,me2=3,me3=5,则x+y+z=,|m|=.答案834解析因为e1e2,e2e3,e1e3=45,空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:me1=4,me2=3,me3=5,所以(xe1+ye2+ze3)e1=4,(xe1+ye2+ze3)e2=3
10、,(xe1+ye2+ze3)e3=5,即x+45z=4,y=3,45x+z=5,解得x=0,y=3,z=5,所以x+y+z=8,|m|=34.15.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.答案-1解析OA=2xBO+3yCO+4zDO=-2xOB-3yOC-4zOD.由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O为ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB+yOA,求x,y的值.解因为AE=AB+BC+CE=OB-OA+OC-OB-12O
11、C=-OA+12OC=-OA+12(OD+DC)=-OA+12(OD+AB)=-OA+12OD+12(OB-OA)=-32OA+12OD+12OB,所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明证法一:令(e1+e2)+(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,则(+2+3v)e1+(+8-3v)e2=0.e1,e2不共线,+2+3v=0,+8-3v=0.易知=-5,=1,v=1是其中一组解,则-5AB+AC+AD=0.A,B,C,D四点共面.证法二:观察易得AC+AD=(2
12、e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5AB.AB=15AC+15AD.由共面向量知,AB,AC,AD共面.又它们有公共点A,A,B,C,D四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C平面ODC1.证明B1C=B1O+OC1+C1C=B1O+OC1+D1D=B1O+OC1+D1O+OD.O是B1D1的中点,B1O+D1O=0,B1C=OC1+OD.B1C,OC1,OD共面,且B1C平面OC1D.B1C平面ODC1.学科素养拔高练19.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分
13、别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.求证:四边形EFGH是梯形.证明E,H分别是边AB,AD的中点,AE=12AB,AH=12AD,EH=AH-AE=12AD-12AB=12BD.又FG=CG-CF=23CD-23CB=23(CD-CB)=23BD,EH=34FG,EHFG,|EH|=34|FG|.点F不在EH上,四边形EFGH是梯形.20.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)直线AB平面EFGH.证明(1)OA+AB=OB,kOA+kAB=kOB.而OE=kOA,OF=kOB,OE+kAB=OF.又OE+EF=OF,EF=kAB.同理,EH=kAD,EG=kAC.四边形ABCD是平行四边形,AC=AB+AD,EGk=EFk+EHk,即EG=EF+EH.又它们有同一公共点E,点E,F,G,H共面.(2)由(1)知EF=kAB,ABEF,即ABEF.又AB平面EFGH,AB与平面EFGH平行,即AB平面EFGH.5