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1、头条：数学源泉辅助圆思想题型一：共顶点等线段【例1】 在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）【解析】 图略， 如图，连接， 根据对称性可知， 以为圆心、长为半径作， 则， 【例2】 已知：中，中，连接、，点、分别为、的中点 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_； 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；（海淀一模）【解析】 等边
2、三角形，1； 证明：连接、由题意，得，、三点在同一直线上，、三点在同一直线上为中点，在中，在中，、四点都在以为圆心，为半径的圆上又，由题意，又在Rt中，题型二： 共斜边的直角三角形，【例3】 已知，是的平分线将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论； 【解析】 与的数量关系是相等 常规证法：过点作，垂足分别为点，易得，而，是的平分线，又， 辅助圆证法：，四点共圆， 平分，【例4】 如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证： 【解析】 连接四边形是正方形，是外角平分线，四点共圆，【例5】 在矩形ABC
3、D中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长； 将三角板从中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答： PEF的大小是否发生变化？请说明理由； 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长备用图（朝阳一模）【解析】 在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，PB= ， ABPDPC，即PC=2 PEF的大小不变理由：过点F作FGAD于点G四边形ABFG是矩形GF=AB=2， APEGFP. 在
4、RtEPF中，tanPEF= 即tanPEF的值不变PEF的大小不变 . 辅助圆证法： 连接， ，四点共圆， ，不会发生变化题型三： 四点共圆的简单应用【例6】 如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：【解析】 ，是圆内接四边形，平分，【例7】 已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围【解析】 是对角线，四点共圆，的大小不发生改变【例8】 （海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在ABC中，分别以AB，AC为直径在ABC外作半圆和半圆，
5、其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. 连结，证明：； 如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若ACB=90,DB=5，CE=3，求线段PQ的长; 如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线. 【解析】 如图一，F分别是AB，AC，BC边的中点，FAC且F =A，FAB且F =A，BF=BAC，CF=BAC，BF=CF点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，F =A=E，F =A=D，BD =90，CE =90，B
6、D=CE.DF=FE. 如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.点E是半圆圆弧的中点，AE=CE=3AC为直径，AEC=90，ACE=EAC =45，AC=，AQ是半圆的切线，CAAQ，CAQ=90，ACE=AQE=45，GAQ=90 AQ=AC=AG=同理：BAP=90，AB=AP=CG=,GAB=QAP，PQ=BGACB=90，BC=BG=，PQ=. 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CSMF于S，过B作BRMF于R，连接DR、AD、DM.F是BC边的中点，.BR=CS，由已证CAQ=90, AC=AQ，2+3=90FMPQ, 2+1=90，1=3,同理：2=4
7、,，AM=CS，AM=BR，同可证AD=BD，ADB=ADP=90,ADB=ARB=90, ADP=AMP=90A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且DBR+DAR=180，5=8, 6=7,DAM+DAR=180，DBR=DAM，5=9，RDM=90，5+7=90，6+8=90，PAB=90，PAAB,又AB是半圆直径，PA是半圆的切线.训练1. 如图，分别切于两点，满足，且，求的度数【解析】 都是的切线，三点都在以为圆心，为半径的圆上设，则，在中，即，即训练2. 如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证： 【解析】 连接是的中点，即，四点共圆，
8、很明显，训练3. 如图，已知在五边形中，且求证： 【解析】 连接，四点共圆同理四点共圆，五点共圆， 题型一 共顶点等线段【练习1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结 求证：是等边三角形； 点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、若，直接写出的度数；若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；【解析】 证明：如图，一次函数的图象与x轴交于点A（3，0），B（0，）C（3，0）OAOC又y轴AC，ABBC在RtAOB中， BAC=60.ABC是等边三角形. 答：A
9、EP=120 解：如图，作EHCP于点H，y轴垂直平分AC，ABC是等边三角形，EA=EC，BEABEC，DEP=30BEH=60ED垂直平分AP， EA=EP EAECEP，EH垂直平分CP，在CEP中，CEH=PEH，BEH=BECCEH=60AEP=AECPEC120 辅助圆的证法：点在轴上，以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，题型二 共斜边的直角三角形【练习2】 如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，求的长 【解析】 连接，是正方形，四点共圆，在中，设，则，解得，题型三 四点共圆的简单应用【练习3】 设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点求证：【解析】 连接，由题意可知四点共圆， 若在线段上，则，四点共圆， 若在的延长线上，则，四点共圆， 若在的延长线上，则，四点共圆，综上所述，命题成立 16