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1、专题功能关系能量守恒定律功能关系的理解和应用1.对功能关系的理解(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。2.几种常见的功能关系及其表达式各种力做功对应能的变化定量关系合力做功动能变化合力对物体做功等于物体动能的变化量W合Ek2Ek1重力做功重力势能变化重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且WGEpEp1Ep2弹簧弹力做功弹性势能变化弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增加，且W弹E
2、pEp1Ep2只有重力、弹簧弹力做功系统机械能不变化系统机械能守恒，即E0非重力和弹力做功机械能变化除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能增加，做负功，机械能减少，且W其他E【例1】 (2017全国卷，16)如图1，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为()图1A.mgl B.mglC.mgl D.mgl解析由题意可知，PM段细绳的机械能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加Epmgmgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为Wmgl ，故选项A正确，B、C
3、、 D错误。答案A【例2】 (多选)(2019全国卷，18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图2所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得()图2A.物体的质量为2 kgB.h0时，物体的速率为20 m/sC.h2 m时，物体的动能Ek40 JD.从地面至h4 m，物体的动能减少100 J解析由于Epmgh，所以Ep与h成正比，斜率是kmg，由图象得k20 N，因此m2 kg，A正确；当h0时，Ep0，E总Ekmv，因此v010 m/s，B错误；由图象知h2 m时，E总90 J，Ep
4、40 J，由E总EkEp得Ek50 J，C错误；h4 m时，E总Ep80 J，即此时Ek0，即从地面上升至h4 m高度时，物体的动能减少100 J，D正确。答案AD1.如图3所示，某滑翔爱好者利用无动力滑翔伞在高山顶助跑起飞，在空中完成长距离滑翔后安全到达山脚下。他在空中滑翔的过程中()图3A.只有重力做功B.重力势能的减小量大于重力做的功C.重力势能的减小量等于动能的增加量D.动能的增加量等于合力做的功解析由功能关系知，重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应物体动能的变化，选项D正确。答案D2.(2019广东省惠州市第三次调研)质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度，从起点A出发竖直
5、向上抛出，在它上升到某一点的过程中，物体的动能损失了50 J，机械能损失了10 J，设物体在上升、下降过程空气阻力大小恒定，则该物体再落回到A点时的动能为(g10 m/s2)()A.40 J B.60 J C.80 J D.100 J解析物体抛出时的总动能为100 J，物体的动能损失了50 J时，机械能损失了10 J，则动能损失100 J时，机械能损失了20 J，此时到达最高点，返回时，机械能还会损失20 J，故从A点抛出到落回到A点，共损失机械能40 J，所以该物体再落回到A点时的动能为60 J，A、C、D错误，B正确。答案B摩擦力做功与能量的转化1.两种摩擦力的做功情况比较比较类别静摩擦力
6、滑动摩擦力不同点能量的转化方面只有能量的转移，而没有能量的转化既有能量的转移，又有能量的转化一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数和等于零一对滑动摩擦力所做功的代数和不为零，总功WFfl相对，即相对滑动时产生的热量相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功2.相对滑动物体能量问题的解题流程【例3】 (多选)(2019江苏卷，8)如图4所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中(
7、)图4A.弹簧的最大弹力为mgB.物块克服摩擦力做的功为2mgsC.弹簧的最大弹性势能为mgsD.物块在A点的初速度为解析物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即Fmg，A错误；根据功的公式，物块克服摩擦力做的功Wmgsmgs2mgs，B正确；根据能量守恒，弹簧弹开物块的过程中，弹簧的弹性势能通过摩擦力做功转化为内能，故Epmmgs，C正确；根据能量守恒，在整个过程中，物体的初动能通过摩擦力做功转化为内能，即mv22mgs，所以v2，D错误。答案BC1.(多选)如图5所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左
8、端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为Ff，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是()图5A.小物块到达小车最右端时具有的动能为(FFf)(Lx)B.小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ff xC.小物块克服摩擦力所做的功为Ff(Lx)D.小物块和小车增加的机械能为Fx解析由动能定理可得，小物块到达小车最右端时的动能Ek物W合(FFf)(Lx)，A正确；小物块到达小车最右端时，小车的动能Ek车Ff x，B正确；小物块克服摩擦力所做的功WfFf(Lx)，C正确；小物块和小车增加的机械能为F(Lx)F
9、f L，D错误。答案ABC2.高速公路部分路段旁建有如图6所示的避险车道，车辆可驶入避险。若质量为m的货车刹车后以初速度v0经A点冲上避险车道，前进距离l时到B点减速为0，货车所受阻力恒定，A、B两点高度差为h，C为A、B中点，已知重力加速度为g，下列关于该货车从A运动到B的过程说法正确的是()图6A.克服阻力做的功为mvB.该过程产生的热量为mvmghC.在AC段克服阻力做的功小于在CB段克服阻力做的功D.在AC段的运动时间等于在CB段的运动时间解析设货车所受阻力为f，根据动能定理有mghfl0mv，克服阻力做的功为Wfflmvmgh，故A错误；克服阻力做的功等于系统产生的内能，则该过程产生
10、的热量为mvmgh，故B正确；阻力做的功与路程成正比，在AC段克服阻力做的功等于在CB段克服阻力做的功，故C错误；从A到B做匀减速运动，AC段的平均速度大于BC段的平均速度，故在AC段的运动时间小于在CB段的运动时间，故D错误。答案B能量守恒定律的应用1.对能量守恒定律的理解(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。2.涉及弹簧的能量问题应注意两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：(1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机
11、械能守恒。(2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。【例4】 (2019保定一模)如图7所示，固定斜面AB和CB与水平面均由一小段光滑圆弧连接，倾角分别为、，OBh。细线一端固定在竖直挡板上，另一端系一质量为m的小物块，在小物块和挡板之间压缩一轻质弹簧(小物块与弹簧不连接)，烧断细线，小物块被弹出，滑上斜面AB后，恰好能运动到斜面的最高点，已知ADl，小物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，则()图7A.弹簧对小物块做功为mglB.斜面摩擦力对小物块做功为C.细线烧断前，弹簧具有的弹性势能为mghmg(l)D.撤去斜面AB，
12、小物块还从D点弹出，将沿斜面CB上滑并从B点飞出去解析烧断细线后，弹簧的弹性势能转化成小物块的重力势能与摩擦生成的热量之和，即Epmghmglmgcos mghmg(l)，弹簧对小物块做的功等于弹性势能减少量，也为mghmg(l)，故A错误，C正确；小物块从A到B过程中，斜面摩擦力对小物块做负功，且为mgcos mg，故B错误；物块克服摩擦力做的功Wfmg(l)mgOD，可见Wf与斜面倾角无关，所以撤去斜面AB，小物块从C点冲上斜面，仍恰能到达B点，D错误。答案C1.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图8所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为，物体
13、与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为()图8A.mvmg(sx) B.mvmgxC.mgs D.mg(sx)解析根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wfmg(sx)，由能量守恒定律可得mvW弹Wf，W弹mvmg(sx)，故选项A正确。答案A2.如图9所示，在距水平地面高h11.2 m的光滑水平台面上，一个质量m1 kg的小物块压缩弹簧后被锁定。现解除锁定，小物块与弹簧分离后以一定的水平速度v1向右从A点滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入竖直面内的光滑圆弧轨道BC。已知B点距水平地面的高度h20.6 m，圆弧轨道BC的
14、圆心O与水平台面等高，C点的切线水平，并与长L2.8 m的水平粗糙直轨道CD平滑连接，小物块恰能到达D处。重力加速度g10 m/s2，空气阻力忽略不计。求：图9(1)小物块由A到B的运动时间t；(2)解除锁定前弹簧所储存的弹性势能Ep；(3)小物块与轨道CD间的动摩擦因数。解析(1)小物块由A到B的过程中做平抛运动，有h1h2gt2，代入数据可得t s。(2)由图中几何关系可知cosBOC，解得BOC60，则有tan 60，解得v12 m/s，由能量的转化与守恒定律可知，Epmv，解得Ep2 J。(3)由功能关系可知：Epmgh1mgL代入数据可得0.5。答案(1) s(2)2 J(3)0.5
15、课时作业(时间：40分钟)基础巩固练1.韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中()A.动能增加了1 900 JB.动能增加了2 000 JC.重力势能减小了1 900 J D.重力势能减小了2 000 J解析由题可得：重力做功WG1 900 J，则重力势能减少1 900 J ，故选项C正确，D错误；由动能定理得，WGWfEk，克服阻力做功Wf100 J，则动能增加1 800 J，故选项A、B错误。答案C2.如图1所示，光滑水平面AB与竖直面上的半
16、圆形光滑固定轨道在B点衔接，BC为直径，一可看做质点的物块在A处压缩一轻质弹簧(物块与弹簧不连接)，释放物块，物块被弹簧弹出后，经过半圆形轨道B点之后恰好能通过半圆轨道的最高点C。现在换用一个质量较小的另一物块，被同样压缩的弹簧由静止弹出，不计空气阻力。则更换后 ()图1A.物块不能到达C点B.物块经过C点时动能不变C.物块经过C点时的机械能增大D.物块经过B点时对轨道的压力减小解析物块从A到C过程，由能量守恒有Epmg2Rmv，可知质量减小，物块经过C点时动能增大，vC增大，物块也能到达C点，故A、B错误；由能量守恒定律可知物块经过C点时的机械能不变均为Ep，故C错误；物块从A到B过程，由能
17、量守恒有Epmv，在B点有FNmgm，解得FNmg，减小，故D正确。答案D3.(多选)(2019福建省三明一中模拟)滑沙是人们喜爱的游乐活动，如图2是滑沙场地的一段斜面，其倾角为30，设参加活动的人和滑车总质量为m，人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止开始匀加速下滑，加速度为0.4g，人和滑车可视为质点，则从顶端向下滑到底端B的过程中，下列说法正确的是()图2A.人和滑车减少的重力势能全部转化为动能B.人和滑车获得的动能为0.8mghC.整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为0.2mghD.人和滑车克服摩擦力做功为0.6mgh解析沿斜面的方向有mamgsin 30Ff，所以Ff0.1mg
18、，人和滑车减少的重力势能转化为动能和内能，故A错误；人和滑车下滑的过程中重力和摩擦力做功，获得的动能为Ek(mgsin 30Ff)0.8mgh，故B正确；整个下滑过程中人和滑车减少的机械能为EmghEkmgh0.8mgh0.2mgh，故C正确；整个下滑过程中克服摩擦力做功等于人和滑车减少的机械能，所以人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh，故D错误。答案BC4.如图3所示为机场用于检查物品的装置，主要由水平传送带和X光透视系统两部分组成。若乘客把物品轻放在传送带上之后，物品总会先、后经历两个阶段的运动，传送过程传送带速度不变。用v表示传送带速率，用表示物品与传送带间的动摩擦因数，则()图3A.前
19、阶段，物品可能向传送方向的相反方向运动B.后阶段，物品受到摩擦力的方向跟传送方向相同C.v相同时，不同的等质量物品与传送带摩擦产生的热量相同D.相同时，v增大为原来的2倍，前阶段物品的位移也增大为原来的2倍解析前阶段，物品的速度小于传送带的速度，相对传送带向后运动，受到与传送方向相同的滑动摩擦力作用，在这个滑动摩擦力作用下向传送方向做初速度为零的匀加速直线运动，当物品的速度与传送带的速度相同时，两者无相对运动或者相对运动趋势，摩擦力为零，A、B错误；过程中物体的加速度为ag，加速运动时间t，所以摩擦产生的热量为Qmg(vt)mgvtmgvmv2，故v相同时，不同的等质量物品与传送带摩擦产生的热
20、量相同，C正确；物品加速位移x，当相同时，v增大为原来的2倍，前阶段物品的位移增大为原来的4倍，D错误。答案C5.如图4所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧处于原长时上端与刻度尺上的A点等高，质量m0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，底端距A点的高度h11.10 m，篮球静止释放测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x10.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h20.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x20.01 m，弹性势能为Ep0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度
21、范围内(重力加速度g取10 m/s2)。求：图4(1)弹簧的劲度系数；(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力；(3)篮球在整个运动过程中通过的路程；(4)篮球在整个运动过程中速度最大的位置。解析(1)篮球静止在弹簧上时，有mgkx20，解得k500 N/m。(2)篮球从开始运动到第一次上升到最高点，由动能定理得mg(h1h2)f(h1h22x1)0代入数值解得f0.5 N。(3)设篮球在整个运动过程中总路程s，由能量守恒定律得mg(h1x2)fsEp代入数值解得s11.05 m。(4)球在首次下落过程中，合力为零处速度最大速度最大时弹簧形变量为x3mgfkx30在A点下方，离A点x30.009
22、m。答案(1)500 N/m(2)0.5 N(3)11.05 m(4)第一次下落至A点下方0.009 m处速度最大6.(2019乐山模拟)如图5甲所示，在倾角为37足够长的粗糙斜面底端，一质量m1 kg的滑块压缩着一轻弹簧且锁定，两者不拴接，滑块可视为质点。t0时解除锁定，计算机通过传感器描绘出滑块的vt图象如图乙所示，其中Oab段为曲线，bc段为直线，在t10.1 s时滑块已上滑x0.2 m的距离(g取10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)。求：图5(1)滑块离开弹簧后在图中bc段对应的加速度大小a及动摩擦因数的大小；(2)t20.3 s和t30.4 s时滑块的速度v1、v
23、2的大小；(3)弹簧锁定时具有的弹性势能Ep。解析(1)由题图乙知滑块在bc段做匀减速运动，加速度大小为a|10 m/s2根据牛顿第二定律得mgsin 37mgcos 37ma解得0.5。(2)根据速度时间公式得t20.3 s时的速度大小v1vcat，解得v10在t2之后滑块开始下滑，下滑时由牛顿第二定律得mgsin 37mgcos 37ma解得a2 m/s2从t2到t3做初速度为零的匀加速运动，t3时刻的速度为v2at0.2 m/s。(3)从0到t1时间内，由能量守恒定律得Epmgxsin 37mgxcos 37mv解得Ep4 J。答案(1)10 m/s20.5(2)00.2 m/s(3)4
24、 J综合提能练7.(2019四川成都模拟)如图6甲所示，倾角30的足够长固定光滑斜面上，用平行于斜面的轻弹簧拉着质量m1 kg的物体沿斜面向上运动。已知物体在t1 s到t3 s这段时间的vt图象如图乙所示，弹簧的劲度系数k200 N/m，重力加速度g取10 m/s2。则在该段时间内()图6A.物体的加速度大小为2 m/s2B.弹簧的伸长量为3 cmC.弹簧的弹力做功为30 JD.物体的重力势能增加36 J解析根据速度图象的斜率表示加速度可知，物体的加速度大小为a1 m/s2，选项A错误；对斜面上的物体受力分析，受到竖直向下的重力mg、斜面的支持力和轻弹簧的弹力F，由牛顿第二定律，Fmgsin
25、30ma，解得F6 N。由胡克定律Fkx可得弹簧的伸长量x3 cm，选项B正确；在t1 s到t3 s这段时间内，物体动能增大Ekmvmv6 J，根据速度时间图象面积等于位移，可知物体向上运动位移x6 m，物体重力势能增加Epmgxsin 3030 J；根据功能关系可知，弹簧弹力做功WEkEp36 J，选项C、D错误。答案B8.(2018全国卷，18)如图7，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点
26、，机械能的增量为()图7A.2mgR B.4mgRC.5mgR D.6mgR解析设小球运动到c点的速度大小为vc，则对小球由a到c的过程， 由动能定理有F3RmgRmv，又Fmg，解得vc2。小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为t2，在水平方向的位移大小为xgt22R。由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量为EF5R5mgR，C正确，A、
27、B、D错误。答案C9.(2019哈尔滨市模拟)如图8所示，水平面右端放一质量m0.1 kg的小物块，给小物块一v04 m/s的初速度使其水平向左运动，运动位移d1 m后将弹簧压至最短(在弹簧的弹性限度内)，反弹回到出发点时物块的速度大小v12 m/s，若水平面右端与一长L3 m的水平传送带平滑连接，传送带以v210 m/s的速度顺时针匀速转动，传送带右端又与一竖直平面内的光滑圆形轨道的底端平滑连接，圆轨道半径R0.8 m，当小物块进入圆轨道时会触发闭合装置将圆轨道封闭，忽略空气阻力。(g10 m/s2，sin 530.8，sin 370.6)，求：图8(1)小物块与水平面间的动摩擦因数1；(2
28、)弹簧具有的最大弹性势能Ep；(3)要使小物块进入竖直圆轨道后不脱离圆轨道，传送带与物块间的动摩擦因数2应满足的条件。解析(1)小物块在水平面上向左运动再返回的过程中，根据能量守恒定律可得mvmv1mg2d代入数据解得10.3。(2)小物块从出发到运动到将弹簧压缩至最短时，弹簧具有最大的弹性势能，此过程中由能量守恒定律可得Ep1mgdmv代入数据解得Ep0.5 J。(3)该问题分两种情况讨论：设物块在圆轨道最低点时速度为v3，恰好到达圆心右侧等高点时速度为0根据机械能守恒定律可得mgRmv，解得v34 m/sv210 m/s说明物块在传送带上一直做匀加速运动，由动能定理可得2mgLmvmv，解得20.2，即要使物块不脱离圆轨道，进入轨道时物块速度应为vv3，故20.2。设物块在圆轨道最低点速度为v4时，恰好能到达圆轨道最高点，在圆轨道最高点有mgm物块从圆轨道最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律可得2mgRmvmv代入数据解得v42 m/sv210 m/s，说明物块在传送带上一直做匀加速运动由动能定理可得2mgLmvmv，解得20.6，即要使物块不脱离圆轨道，进入轨道时物块速度应为vv4，故20.6综上所述传送带与物块间的动摩擦因数2应满足的条件是20.2或20.6。答案(1)0.3(2)0.5 J(3)20.2或20.6