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1、离散数学.复合函数与逆函数第1页，共22页，编辑于2022年，星期日 前域（定义域）前域（定义域）dom Xdom X，值域，值域(象集合象集合)ran f)ran f，陪域（共域）陪域（共域）Y Y 由函数的由函数的定义可知，函数是特殊的关系，特殊点有以定义可知，函数是特殊的关系，特殊点有以下两点：下两点：（1）函数的定义域是函数的定义域是X，而不是，而不是X的真子集。即任意的真子集。即任意x X都有象都有象y Y存在（象存在性）。存在（象存在性）。（2）一个一个x只能对应唯一的一个只能对应唯一的一个y（象唯一性）。（象唯一性）。函数的函数的定义式还可以写成：定义式还可以写成：f=|x X
2、y Y f(x)=y 第2页，共22页，编辑于2022年，星期日 定义定义4-1.2 4-1.2 设函数设函数 f:ABf:AB，g:CDg:CD，如果，如果A=CA=C，B=DB=D，且对所有且对所有x x A A和和x x C C，都有，都有f(x)=g(x)f(x)=g(x)，则称，则称函数函数f f f f等于函等于函数数g g g g,记为记为f=gf=g。如果如果A A C C，B BD D，且对每一，且对每一x x A A，f(x)f(x)g(x)g(x)。则称。则称 函数函数f f包含于函数包含于函数g g，记为，记为f f g g。因为函数是序偶的集合，故两个函数相等可用集合
3、相等因为函数是序偶的集合，故两个函数相等可用集合相等的概念予以定义。的概念予以定义。第3页，共22页，编辑于2022年，星期日 设X和Y都为有限集，分别有m个和n个不同元素，由于从X到Y任意一个函数的定义域是X，在这些函数中每一个恰有m个序偶。另外任何元素x X，可以有Y的n个元素中任何一个作为它的象，故共有nm个不同的函数。在上例中n=2,m=3,故应有23个不同的函数。今后我们用符号YX表示从X到Y的所有函数的集合，甚至当X和Y是无限集时，也用这个符号。第4页，共22页，编辑于2022年，星期日Y中的每一元素都有原象几类特殊情况：几类特殊情况：设设f：XY，如果对任意，如果对任意 y Y，
4、均有，均有 x X，使，使 y=f(x)，即，即ran f=Y，则称，则称 f为为X到到Y的满射函数的满射函数(surjection)，满射函数也称到，满射函数也称到上映射上映射上映射上映射。定义定义4-1.3 对于对于f：XY的映射中，如果的映射中，如果ran f=Y，即，即Y的每一个元的每一个元素是素是X中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满射（或到上映中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满射（或到上映射）。射）。第5页，共22页，编辑于2022年，星期日 Y中元素若有原象则原象唯一定义定义4-1.4 从从X到到Y的映射中，的映射中，X中没有两个元素有相同的象，中没有两个元素有相同的象
5、，则称这个映射为入射（或一对一映射）。则称这个映射为入射（或一对一映射）。设设f：XY，如果对任意，如果对任意x1，x2 X,x1 x2 蕴涵蕴涵 f(x1)f(x2)。则。则称称 f 为为X到到Y的单射函数的单射函数(injection)，单射函数也称单射函数也称一对一一对一一对一一对一的函数或的函数或入射函数。入射函数。第6页，共22页，编辑于2022年，星期日Y中的每一元素都有原象且原象唯一定义定义4-1.5 如果如果f既是既是X到到Y的单射，又是的单射，又是X到到Y的满射，则称的满射，则称 f 为为X到到Y的双射函数（的双射函数（bejection）。双射函数也称。双射函数也称一一对应
6、。一一对应。一一对应。一一对应。第7页，共22页，编辑于2022年，星期日151页(6)设A和B是有穷集合,有多少不同入射函数和多少不同的双射函数?解 设|A|=m，|B|=n，要使映射f：AB 为入射，必须有|A|B|，即mn。在B中任意选出m个元素的任一全排列，就能形成的一个不同的入射，故的不同入射共有：设A=a1,a2,am，B=b1,b2,bm，则对a1对应的元素共有m种取法，a2对应的元素共有m-1种取法，am-1对应的元素共有2种取法，am对应的元素共有1种取法。故f：AB 的不同双射共有m(m-1)(m-2)21=m!（个）（个）要使映射f：AB 为双射，必须|A|=|B|。第8
7、页，共22页，编辑于2022年，星期日第9页，共22页，编辑于2022年，星期日定理定理4-2.14-2.1 设设f:XYf:XY是一个双射函数，那么是一个双射函数，那么f fc c为为Y Y到到X X的双射函数，的双射函数，即有即有f fc c:YX:YX 。证明：证明：a).先证先证f fc c是一个函数（需要证是一个函数（需要证存在性存在性和和唯一性唯一性）设设f=|x X y Y f(x)=y 和和f fc c=|f 因因f f是双射，所以是双射，所以f f是满射，即所有的是满射，即所有的y Y都有都有x x与它对应，与它对应，这正是这正是f fc c的的存在性存在性。又因又因f f是
8、双射，所以是双射，所以f f是入射，即所有的是入射，即所有的y Y都只有唯一的都只有唯一的x x与它对应，这正是与它对应，这正是f fc c的的唯一性唯一性。b).二证二证f fc c是一个满射是一个满射 又因又因ran f fc c=dom f=X,ff=X,fc c是满射。是满射。c).三证三证f fc c是一个单射是一个单射 反设反设 若若y1 y2,有有f fc c(y1)=f fc c(y2)因为因为 f fc c(y1)=x1,f fc c(y2)=x2,得得x1=x2 ，故，故f f(x1)=f f(x2)，即即 y1=f f(x1)=f f(x2)=y2 。得出矛盾，假设不成立
9、。得出矛盾，假设不成立。第10页，共22页，编辑于2022年，星期日定义定义4-2.14-2.1 设设f:XY是一个双射函数，称是一个双射函数，称 YX的双射函数的双射函数f fC C为为f f的的逆函数，记为逆函数，记为f f-1-1。第11页，共22页，编辑于2022年，星期日与复合关系的记法正好相反定义定义4-2.24-2.2 设函数设函数f:XY,g:WZ,若若f(X)W W，则，则 g gf=f=|x Xz Z(y)(y)(y Yy=f(x)zz=g(y),称称g在函在函数数f的左边可复合。的左边可复合。定理定理4-2.24-2.2 设两个函数的复合是一个函数。设两个函数的复合是一个
10、函数。证明：设证明：设 g:WZ,f:XY为左复合为左复合,即即f(X)W W，a).先证象先证象存在性存在性 对于任意对于任意 x X,因为因为f为函数，故必有唯一的序偶为函数，故必有唯一的序偶使使y=f(x)成立。而成立。而f(x)f(X)，即，即f(x)W，又因为，又因为g是函数，是函数，故必故必有唯一的序偶有唯一的序偶使使z=g(y)成立成立,根据复合定义，根据复合定义，g gf f。即。即X中的每个中的每个x对应对应Z中的某个中的某个z。第12页，共22页，编辑于2022年，星期日b).再先证象再先证象唯一性唯一性 假定假定g gf f中包含序偶中包含序偶和和且且x1x2，这样在，这
11、样在Y中必中必存在存在y1和和y2，使得在，使得在f中有中有和和,在在g中有中有和和。因为。因为f为函数，故为函数，故y1=y2 。于是。于是g g中有中有和和,但但g g为函数为函数，故故z1=z2 。即每个。即每个x x只能对应一个唯一的只能对应一个唯一的z z，满足，满足 g gf f 。由由a).和和b).知知g gf f是一个函数。是一个函数。定理证毕。定理证毕。第13页，共22页，编辑于2022年，星期日定义定义4-2.24-2.2补充补充 设函数设函数f:XY,g:YZ,则则 g gf=f=|x Xz Z(y)(y)(y Yy=f(x)zz=g(y),称为复合函数，或称称为复合函
12、数，或称g gf f为为g对对f的左复合。的左复合。此定义中假定此定义中假定ran f dom g如果不满足这个条件，则定义如果不满足这个条件，则定义g gf f为空。为空。根据复合函数的定义，显然有根据复合函数的定义，显然有g gf(x)=g(f(x)f(x)=g(f(x)。解解 g gf=,f=,例题例题1 设设X=1,2,3，Y=p,q,Z=a,b,f=,g=,求求 g gf f。第14页，共22页，编辑于2022年，星期日定理定理4-2.34-2.3 设设 f:XYf:XY，g:YZg:YZ，g gf f是一个复合函数，则是一个复合函数，则 （1 1）如果）如果 f f 和和 g g
13、是满射的，则是满射的，则g gf f也是满射的。也是满射的。（2 2）如果）如果 f f 和和 g g 是单射的，则是单射的，则g gf f也是单射。也是单射。（3 3）如果）如果 f f 和和 g g 是双射的，则是双射的，则g gf f也是双射的。也是双射的。证明：证明：a).设设 f:XY,g:WZ为为,令令z为为Z的任意一个元素，因的任意一个元素，因g是满设，是满设，故必有某个元素故必有某个元素y Y使得使得g(y)=z，又因为，又因为f是满设，故必有某个元素是满设，故必有某个元素x X使得使得f(x)=y，故，故 g gf(x)=g(f(x)=g(y)=zf(x)=g(f(x)=g(
14、y)=z 因此，因此，Rg gf f=Z，g gf f是满设的。是满设的。b).设令设令x1、x2为为X的元素，假定的元素，假定x1x2，因为，因为f是入射的是入射的,故故f(x1)f(x2)。又因为。又因为g是入射的是入射的,故故g(f(x1)g(f(x2),于是于是x1x2 g gf(xf(x1 1)g)gf(xf(x2 2)，因此，因此，g gf f是入射的。是入射的。c).因为因为g g和和f f是双射，故根据是双射，故根据a).和和b).，g gf f为满满射和入为满满射和入射的，即射的，即g gf f是双射的。是双射的。定理证毕。定理证毕。第15页，共22页，编辑于2022年，星期
15、日第16页，共22页，编辑于2022年，星期日 定义定义4-2.3 4-2.3 函数函数f:XYf:XY叫做常函数叫做常函数,如果存在某如果存在某个个 y0 Y,对于每个对于每个x X都有都有f(x)=f(x)=y0 ,即即f(X)=f(X)=y0。定义定义4-2.4 4-2.4 ，如果，如果 Ix=|x X 则称函数则称函数Ix:XY:XY为恒等函数。为恒等函数。第17页，共22页，编辑于2022年，星期日定理定理4-2.44-2.4 设设f f：XYXY，则，则f=ff=f Ix =Iy f f这个定理的证明可以由定义直接得到。这个定理的证明可以由定义直接得到。证明：证明：a).f f-1
16、-1 f f 与与Ix的定义域都是的定义域都是X。b).因为因为f f是一一对应的函数，故是一一对应的函数，故f f-1-1也是一一对应的函数。也是一一对应的函数。若若f:xf(x)则则 f f-1-1(f(x)=x,由由a).和和b).得得f f-1-1 f=f=Ix。故。故x X(f f-1 1f)(x)f)(x)=f f-1-1(f(x)=x。定理证毕。定理证毕。例题例题3 3见见P-155P-155页页定理定理4-2.54-2.5 如果函数如果函数f:XYf:XY，有逆函数，有逆函数f f-1-1:YX:YX,则则 f f-1-1 f=f=Ix 且且f f f f-1-1 =Iy 第1
17、8页，共22页，编辑于2022年，星期日第19页，共22页，编辑于2022年，星期日 证明：证明：a).因因f f:XY是一一对应的函数，故是一一对应的函数，故f f-1-1:XY也是一一对应也是一一对应的函数。因此的函数。因此(f-1)-1:XY又是一一对应的函数。显然又是一一对应的函数。显然 dom f f=dom(f-1)-1=X b).设设x X f:xf(x)f f-1-1:f(x)x (f-1)-1:xf(x)。由由a).和和b).得得(f-1)-1=f。定理证毕。定理证毕。定理定理4-2.64-2.6 若若f:XY是可逆的，则是可逆的，则(f-1)-1=f。第20页，共22页，编
18、辑于2022年，星期日 定理定理4-2.74-2.7 设设 f:XYf:XY,g:YZg:YZ 都是可逆的都是可逆的,那么那么 g g f f也是可逆的，且也是可逆的，且(g(g f)f)1 1=f f-1-1 g g1 1。证明：证明：a).因因f:XYf:XY,g:YZg:YZ都是都是一一对应的函数一一对应的函数,故故f f-1-1 和和 g-1均存均存在，且在，且f f-1-1:YX:YX，g-1:ZY:ZY，所以所以f f-1-1 g g1 1:ZX:ZX。根据定理根据定理4-2.34-2.3，g g f:XZf:XZ是双射的，故是双射的，故(g(g f)f)1 1存在且存在且(g(g
19、 f)f)1 1:ZX:ZX。dom (f f-1-1 g g1 1)=dom(g(g f)f)1 1=Z b).对任意对任意z Z 存在唯一存在唯一y y Y Y,使得使得g(y)=z存在唯一存在唯一x x X,使使得得f(x)=y,故故 (f f-1-1 g g1 1)(z)(z)=f f-1-1 (g g1 1(z)(z)=f f-1-1 (y)(y)=x 但但 (g g f)(x)f)(x)=g g(f(x)=g(y)=z 故故 (g(g f)f)1 1(z)(z)=x 因此对任意因此对任意z Z有：有：(g(g f)f)1 1(z)(z)=(f f-1-1 g g1 1)(z)(z)由由a).和和b).得得(f f-1-1 g g1 1)=(g(g f)f)1 1。定理证毕。定理证毕。第21页，共22页，编辑于2022年，星期日 练习：P156 作业：P156 （6）第22页，共22页，编辑于2022年，星期日