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1、-参数法在解题中的妙用-第 4 页参数法在解题中的妙用广东佛山市顺德区汇贤中学 （528308） 赵阳云参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。在解题中若能巧妙的选择好参数，就能达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。以下几个例子，供大家参考。一、 巧设参数,解连等式问题例1、若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。解：设k（k0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k代入x+yz=,得：2k3k4k=,解得：k=， 所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于参数的一元方程问题。二、
2、巧设参数,解代数式的最值问题例2、设a、b为实数，那么a2+ab+b2a2b的最小值是多少？（1998年全国初中数学联赛）解：设a2+ab+b2a2b=k，整理得：b2 (a2)b（a2ak）= 0把上述等式看成是关于b的方程,因为b为实数，0，（a2）24a24a4k0, 4k3a24ka21 a为实数，所以：当a=0时，k有最小值为1。即a2+ab+b2a2b的最小值是1。评注：引入参数，把代数式问题转化为方程的问题是本题的独到之处。三、巧设参数,求方程的整数解问题例3、求3x+5y=27的正整数解。解：显然此不定方程的一组正整数解为：x=4，y=3设3x+5y=27的整数解的参数方程为：
3、（k为参数，且为整数） x0，y0 ， ，解得：k1k=o ，所以：此方程的正整数解为1组，为x=4，y=3评注：引入参数，把非定向的问题转化为定向问题，构造含参数方程组是解题的关键。四、巧设参数,解不等式问题例4、若xyz=1,求证：x2y2+z2。证明：设x=k1，y=k2，z=(k1k2)x2y2+z2=(k1)2(k2)2(k1k2)2=k12k22(k1k2)2 当且仅当k1= k2=0时，等号成立。评注：引入参数，构造出含有目标的数字，参数在证明过程中起到了一种桥梁的作用。五、巧设参数,解完全平方数问题例5、设N=23x+92y为完全平方数且不超过2392，则满足上述条件的一切正整
4、数对（x,y）共有多少对？（2002年全国初中数学联合竞赛）解：N=23（x+4y）为不超过2392的完全平方数。23为素数（即质数）所以x+4y必为23的倍数。设x+4y=23k (k为参数，且是完全平方数)N=2323k2392，k5，所以：k=1或4当k=1时，x+4y=23，x=234y，x为正整数，所以：y=1，2，3，4，5 ；x=19, 15, 11, 7, 3 当k=4时，x+4y=92，x=924y，x为正整数，所以：y=1，2，3， ，22 ；x=88，84，80， ，4所以满足条件的一切正整数对（x,y）共有5+22=27对。评注：抓住完全平方数的特征，引入参数，从而达到
5、化繁为简，化难为易的目的。六、巧设参数,解应用题问题例6、已知一个五边形，其中每四边的和分别为：12、18、21、18、19，求五边形各边的长？解：设五边形的五边的和为k，则根据题意得：(k12)(k18)(k21)(k18)(k19)=k解得：k=22所以：五边形的各边的长为：10、4、1、4、2；评注：单独设元直接列方程去解，复杂难解，引入一个整体参数，把五元方程变成一元方程是解决此题的一条捷径。参数法的应用范围广泛，只要把握题目的特点，巧设参数是找到解题的突破口和提高解题速度的一把钥匙。练习：1、，求代数式的值？（仿照例1，答案：）2、求代数式的最大值和最小值？（仿照例2，答案：1，4）3、求方程3x7y=323的正整数解的组数是多少？（仿照例3，答案14组）4、如果对于不小于8的自然数n，当3n1是一个完全平方数时，n1都能表示成m个完全平方数的和，那么m的最小值为多少？（仿照例5，答案：3）5、已知一个四边形，其中每三边的和分别为19、23、25、29，求四边形各边的长？（仿照例6，答案：13、9、7、3）