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1、积分变换第讲拉氏逆变换第1页，共40页，编辑于2022年，星期日拉氏逆变换第2页，共40页，编辑于2022年，星期日前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).本节就来解决这个问题.由拉氏变换的概念可知,函数f(t)的拉氏变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换.第3页，共40页，编辑于2022年，星期日因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以ebt,则第4页，共40页，编辑于2022年，星期日右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的
2、正无穷.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.第5页，共40页，编辑于2022年，星期日定理 若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内),且当s时,F(s)0,则有第6页，共40页，编辑于2022年，星期日什么叫一个复变函数f(s)的奇点?那就是此函数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点.例如函数在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2,s3=-3复习：第7页，共40页，编辑于2022年，星期日假设s0是f(
3、s)的一个奇点,则f(s)总可以在s0处展开为罗朗级数,形式为:其中-1次方项(s-s0)-1的系数c-1就称为f(s)在s0点处的留数,记作Resf(s),s0=c-1或第8页，共40页，编辑于2022年，星期日围绕着f(s)的奇点s0的附近绕一圈环的积分就等于其中C是只围绕s0转一圈的任意闭合曲线.第9页，共40页，编辑于2022年，星期日如果函数f(s)有s1,s2,.,sn共n个奇点,闭合曲线C包围了这n个奇点,则实轴虚轴s1s2s3留数定理第10页，共40页，编辑于2022年，星期日定理的证明 作下图,闭曲线C=L+CR,CR在Re(s)0时,有第12页，共40页，编辑于2022年，
4、星期日最常见的情况,是函数F(s)是有理函数,即其中A(s)和B(s)是不可约的多项式,B(s)的次数是n,A(s)的次数小于B(s)的次数,这时F(s)满足定理所要求的条件.第13页，共40页，编辑于2022年，星期日如果一元n次方程B(s)=0只有单根,这些单根称作B(s)的一阶零点,也就是第14页，共40页，编辑于2022年，星期日u一阶极点处留数的求法第15页，共40页，编辑于2022年，星期日第16页，共40页，编辑于2022年，星期日第17页，共40页，编辑于2022年，星期日如方程B(s)=0有一个二重根s1,称s1为B(s)的二阶零点,也是F(s)est的二阶极点,这时F(s)
5、est在s=s1处可展开为罗朗级数,其形式为:第18页，共40页，编辑于2022年，星期日um阶极点处留数的求法？第19页，共40页，编辑于2022年，星期日第20页，共40页，编辑于2022年，星期日还可以用部分分式和查表的办法来求解拉氏反变换.根据拉氏变换的性质以及第21页，共40页，编辑于2022年，星期日第22页，共40页，编辑于2022年，星期日最后得第23页，共40页，编辑于2022年，星期日卷积第24页，共40页，编辑于2022年，星期日1.卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质.两个函数的卷积是指如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t0时,f1(t)=f2(t)=0
6、,则上式可以写成第25页，共40页，编辑于2022年，星期日今后如不特别声明,都假定这些函数在t0时恒等于零,它们的卷积都按(2.20)式计算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t第26页，共40页，编辑于2022年，星期日按(2.20)计算的卷积亦有|f1(t)*f2(t)|f1(t)|*|f2(t)|,它也满足交换律:f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)第27页，共40页，
7、编辑于2022年，星期日第28页，共40页，编辑于2022年，星期日例1 求t*sin t第29页，共40页，编辑于2022年，星期日卷积定理假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则 f1(t)*f2(t)的拉氏变换一定存在,且第30页，共40页，编辑于2022年，星期日t=ttOt第31页，共40页，编辑于2022年，星期日由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序令t-t=u,则第32页，共40页，编辑于2022年，星期日不难推证,若fk(t)(k=1,2,.,n)满足拉氏变换存在定理中的条件,且L fk(t)=Fk(s)(k=1,2,.,n)则有 L f1(t)*f2(t)*.*fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)第33页，共40页，编辑于2022年，星期日第34页，共40页，编辑于2022年，星期日第35页，共40页，编辑于2022年，星期日第36页，共40页，编辑于2022年，星期日第37页，共40页，编辑于2022年，星期日第38页，共40页，编辑于2022年，星期日第39页，共40页，编辑于2022年，星期日作业 习题第40页，共40页，编辑于2022年，星期日