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1、第1章三种坐标系与场1第1页，共67页，编辑于2022年，星期日本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理2第2页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1.标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的
2、代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。3第3页，共67页，编辑于2022年，星期日矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy4第4页，共67页，编辑于2022年，星期日（1）矢量的加减法）矢量的加减
3、法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线平行四边形的对角线,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律5第5页，共67页，编辑于2022年，星期日（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）q矢量矢量 与与 的夹角的夹角是 在 方向上的分量，有6第6页，共67页，编辑于2022年，星期日矢量的标积符合交换
4、律矢量的标积符合交换律（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，用单位矢量 表示。7第7页，共67页，编辑于2022年，星期日qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则8第8页，共67页，编辑于2022年，星期日（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积9第9页，共67页，编辑于2022年，星期日 三维空间任意一点的位置可通过三
5、条相互正交曲线的交点来确定。三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐标系、圆坐标系、圆柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐正交曲线坐标系标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。10第10页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1.
6、直角坐标系直角坐标系直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 11第11页，共67页，编辑于2022年，星期日图1-1 直角坐标系x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx12第12页，共67页，编辑于2022年，星期日2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量13第13页，共67页，编辑于2022年，星期日图1-3 圆柱坐标系 图1-4 圆柱坐标系中的单位
7、矢量、长度元、面积元和体积元 14第14页，共67页，编辑于2022年，星期日3.球坐标系球坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系（半平面半平面）（圆锥面圆锥面）（球面球面）15第15页，共67页，编辑于2022年，星期日4.三种坐标系之间的转换三种坐标系之间的转换 4.1三种坐标系坐标变量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系的坐标变量之间的转换（2）直角坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换16第16页，共67页，编辑于2022年，星期日（3）圆柱坐
8、标系与球坐标系的坐标变量之间的转换4.2三种坐标系的单位矢量之间的转换（1）直角坐标系与圆柱坐标系单位矢量 之间的转换17第17页，共67页，编辑于2022年，星期日图1-8 直角坐标系和圆柱坐标系中的坐标单位矢量及其关系18第18页，共67页，编辑于2022年，星期日用图表表示为：19第19页，共67页，编辑于2022年，星期日（2）圆柱坐标与球坐标系单位矢量之间的转换用图表表示为：20第20页，共67页，编辑于2022年，星期日图1-9 圆柱坐标系和球坐标系的坐标单位矢量及其关系21第21页，共67页，编辑于2022年，星期日 0（3）直角坐标系和球坐标系之间单位矢量的转换，可根据上面的
9、推导得出，用图表表示如下。-22第22页，共67页，编辑于2022年，星期日1.3场及场的特性场及场的特性 1场的概念“场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。例如，温度场是标量场，电场、磁场、流速场与重力场都是矢量场。23第23页，共67页，编辑于2022年，星期日2力线方程力线方程 图1-11 力线图 设P点处的位置矢量：设P点处切线微分方程为 设P点场量 24第24页，共67页，编辑于2022年，星期日因则得25第25页，共67页，编辑于2022年，星期日P点处场量为 的力线微分方程为26第26页，共67页，编辑
10、于2022年，星期日1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了
11、一个义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：27第27页，共67页，编辑于2022年，星期日1.1.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的
12、等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线(面面)28第28页，共67页，编辑于2022年，星期日2.方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念：u(M)沿沿 方向增加；方向增加；u(M)沿沿 方向减小；方向减小；u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向
13、上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？的方向余弦。的方向余弦。式中式中：29第29页，共67页，编辑于2022年，星期日3.标量场的梯度标量场的梯度（或或 ）标量场在空间某一点沿不同方向的变化率是不同的，在某个方向上的变化率可能最大，为此引入梯度的概念，用它来说明标量场的最大变化率和达到最大变化率的特定方向。也就是说，标量场u在点M处的梯度是一个矢量，其大小等于最大变化率，其方向是标量场u变化最大的方向。梯度可表示为30第30页，共67页，编辑于2022年，星期日其中31第31页，共67页，编辑于2022年，星期日圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐
14、标系其他坐标系下的梯度的表达式为其他坐标系下的梯度的表达式为：根据梯度定义，可得直角坐标下的梯度公式32第32页，共67页，编辑于2022年，星期日标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯
15、度垂直于通过该点的等值面（或切平面）33第33页，共67页，编辑于2022年，星期日 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.3.1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z)=x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求：(1)该该函函数数 在在点点 P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的单位矢量。的单位矢量。(2)求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点 P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较
16、，得出相应结论。34第34页，共67页，编辑于2022年，星期日表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为方向的方向导数为对于给定的对于给定的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为35第35页，共67页，编辑于2022年，星期日而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。36第36页，共67页，编辑于2022年，星期日1.4 矢量场的
17、通量与散度矢量场的通量与散度 1.矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 37第37页，共67页，编辑于2022年，星期日2.矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。引入通量的概念。通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元
18、穿过面积元 的通量。的通量。如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量38第38页，共67页，编辑于2022年，星期日通过闭合曲面有净通过闭合曲面有净的矢量线穿出的矢量线穿出有净的矢量有净的矢量线进入线进入进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面建立了矢量场通过闭合曲面的通量与
19、曲面内产生矢量场的源的关系。内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义39第39页，共67页，编辑于2022年，星期日3.矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。散度表示在点散度表示在点M M处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以散度描述了处的单位体积内散发出来的矢量的通量，所以散度描述了通量源的密度。
20、通量源的密度。40第40页，共67页，编辑于2022年，星期日圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：41第41页，共67页，编辑于2022年，星期日直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为 不失一般性，以点不失一般性，以点M为顶点作一很小的直平行六面体，如图所示。则为顶点作一很小的直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP42第42页，共67页，编辑于2022年，星期日穿出左、右两侧面的净通量值为穿出左、右
21、两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为又因为所以43第43页，共67页，编辑于2022年，星期日因此直角坐标系中的散度因此直角坐标系中的散度 表达式为表达式为44第44页，共67页，编辑于2022年，星期日4.散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积含体积中矢量场的散度的体积分，即分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁散度定理是闭合曲面积分
22、与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。理论中有着广泛的应用。45第45页，共67页，编辑于2022年，星期日1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场。例如：流速场。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。46第46页，共6
23、7页，编辑于2022年，星期日 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线47第47页，共67页，编辑于2022年，星期日q如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋无旋场场，又称为，又称为保守场保守场。环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的
24、环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，的线积分，即即q如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋有旋矢量场矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是磁场的旋涡源。电流是磁场的旋涡源。48第48页，共67页，编辑于2022年，星期日 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋
25、度。2.矢量场的旋度矢量场的旋度（）（1）环流面密度）环流面密度称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限49第49页，共67页，编辑于2022年，星期日 在磁场中，如果某点附近的面元方向与电流方向重合，则磁场强度 的环流面密度有最大值；如果面元方向与电流方向有一夹角，则磁场强度 的环流面密度总是小于最大值
26、；当面元方向与电流方向垂直时，则磁场强度 的环流面密度等于0。由于矢量场在点M处的环流面密度与面元S的法线方向 有关，因此，在矢量场中，一个给定点M 处沿不同 方向，其环流面密度的值一般是不同的。在某一个确定的方向上，环流面密度可能取得最大值。为了描述这个问题，引入旋度的概念。50第50页，共67页，编辑于2022年，星期日概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流点的环流 面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即物理意义物理意义：矢量场在点矢量场在点
27、M M处的旋度就是在该点处的旋度就是在该点的的旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度51第51页，共67页，编辑于2022年，星期日oyDz DyCzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中旋度的表达式直角坐标系中旋度的表达式以点M为顶点，取一个平行于yz面的矩形面元，则52第52页，共67页，编辑于2022年，星期日于是于是 同理可得同理可得故得故得53第53页，共67页，编辑于2022年，星期日旋度的计算公式旋度的计算公式:直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系54第54页，共67页，编辑于2022年，星期日旋度的有关公式
28、旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零55第55页，共67页，编辑于2022年，星期日3.斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线积分定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即矢量场的旋度
29、在该闭合曲线所围的曲面的通量，即56第56页，共67页，编辑于2022年，星期日4.散度和旋度的区别散度和旋度的区别 57第57页，共67页，编辑于2022年，星期日1.矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度；旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过
30、一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场58第58页，共67页，编辑于2022年，星期日2.矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：
31、静电场59第59页，共67页，编辑于2022年，星期日（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场60第60页，共67页，编辑于2022年，星期日（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分61第61页，共67页，编辑于2022年，星期日1.7 拉普拉斯
32、运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1.拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念：拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系62第62页，共67页，编辑于2022年，星期日 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：63第63页，共67页，编辑于2022年，星期日2.格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场那么，可以
33、证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式：根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。SV,式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，的闭合曲面，为标为标量场量场 在在 S 表面的外法线表面的外法线 方向上方向上的偏导数。的偏导数。64第64页，共67页，编辑于2022年，星期日基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。格格林林定定理理说说明明了了区区域域 V 中中的的场场与与边边界界 S 上上的的场场之之间间的的关关系系。因因此此，
34、利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。65第65页，共67页，编辑于2022年，星期日亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理:若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为 式中：式中：亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理66第66页，共67页，编辑于2022年，星期日有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。67第67页，共67页，编辑于2022年，星期日